北京市西城区三帆中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意：
（1）时间100分钟，满分100分；
（2）请将答案填写在答题卡上．
一、选择题（每题3分，共30分）每道题只有一个选项符合题意．
1. 16的平方根是（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平方根，掌握平方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义进行解题即可．
【详解】解：，
故选：B
2. 在我校第十三届艺术节闭幕式中，场馆内共摆放了45排36列座位，初一年级的甲同学坐在第5列第8排，记为，初二年级的乙同学坐在第20列4排，可记为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了数对表示位置的方法的灵活应用，明确数对中第一个数字表示列，第二个数字表示行是关键．
根据用数对表示位置时，数对的第1个数表示列，第2个数表示行，据此即可解答．
【详解】初一年级的甲同学坐在第5列第8排，记为，
初二年级的乙同学坐在第20列4排，可记为，
故选：D．
3. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键．
无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
【详解】解：是无理数；
，，0是有理数；
故选：B．
4. 能由如图平移得到的图形是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了生活中平移的现象，解决本题的关键是熟记平移的定义．
根据平移的意义“平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移”．
【详解】解：根据“平移”的定义可知，由题图经过平移得到的图形是D．
故选：D．
5. 如果是关于x，y的二元一次方程的一个解，那么m的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的解，正确理解二元一次方程的解是解题的关键．
将代入二元一次方程即可得出答案．
【详解】解：将代入二元一次方程，得出：，
解得：，
故选：A．
6. 若，则点在平面直角坐标系中的第（ ）象限．
A. 一B. 二C. 三D. 四
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了坐标系内点的符号问题，解决本题的关键是记住平面直角坐标系中各个象限内点的符号．
由可得，进而确定点在平面直角坐标系中所在的象限．
【详解】解：∵，
，
∴点在平面直角坐标系中的第三象限．
故选：C．
7. 下列命题中，属于假命题的是（ ）
A. 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等
B. 在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直
C. 同旁内角互补，两直线平行
D. 对顶角相等
【答案】B
【解析】
【分析】主要考查命题真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
根据对顶角的性质、垂线的性质、平行线的性质一一判断即可．
【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，所以A选项为真命题；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以B选项为假命题；
C、同旁内角互补，两直线平行，所以C选项为真命题；
D、对顶角相等，所以D选项为真命题．
故选：B．
8. 若，那么b的值为（ ）
A. B. 2C. D. 1
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了非负数的性质，根据算术平方根和偶次方的非负性，求出、的值即可．
【详解】解：，
，，
，，
故选：C．
9. 某地修建一条长为的公路，由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩的工程．已知甲工程队每天比乙工程队多施工，求甲、乙工程队每天各施工多少米？设甲工程队每天施工，乙工程队每天施工，则根据题意列出的方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．
根据甲工程队独立施工2天后，乙工程队加入，两工程队联合施工3天后，还剩的工程和甲工程队每天比乙工程队多施工，可以列出相应的二元一次方程组，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，，
故选：A．
10. 目标达成度也叫完成率，一般是指个体的实际完成量与目标完成量的比值．树立明确具体的目标，能够帮助我们更好的自我认知，迅速成长．某班级A、B、C、D、E、F、G、H八位同学组成一个互助小组，如图是他们月初制定的目标跑步里程和月末实际完成情况绘制的统计图，有如下四个结论：
①同学E目标达成度是；
②目标完成量与实际完成量相差最多的是同学D；
③有四位同学超额完成了目标跑步量；
④实际跑步里程超过的有五位同学．
上述结论中，所有正确结论的序号是（）
A. ①③B. ①②③C. ①③④D. ①②③④
【答案】C
【解析】
【分析】本题是折线统计图，要通过坐标轴以及横坐标等读懂本图，根据图中所示的数量解决问题．
根据统计图中的数据分别计算即可得出结论．
【详解】解：由统计图得：
①同学月初制定的目标是30千米，月末实际完成30千米，完成了目标任务，正确；
同学月初制定的目标是20千米，月末实际完成大概35千米，相差15千米；
同学月初制定的目标是大概35千米，月末实际完成20千米，相差15千米；
同学月初制定的目标是50千米，月末实际完成30千米，相差20千米；
同学月初制定目标是大概45千米，月末实际完成60千米，相差15千米；
同学月初制定的目标是大概80千米，月末实际完成83千米，相差3千米；
同学月初制定的目标是大概35千米，月末实际完成40千米，相差5千米；
同学月初制定的目标是60千米，月末实际完成50千米，相差10千米；
②目标完成量与实际完成量相差最多的是同学，故错误；
③有四位同学超额完成了目标跑步量，分别是，正确；
④实际跑步里程超过的有五位同学，分别是，正确；
故选：C．
二、填空题（每题2分，共16分）
11. 已知点在x轴上，则a的值为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握坐标轴上点的坐标特点．
根据轴上的点纵坐标为零可得，再解即可．
【详解】解：∵点在轴上，
解得：，
故答案为：2．
12. 如图，直线，，则的度数是______°．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质进行求解是解决本题的关键．
由已知条件，可得，由平角的性质可得代入计算即可得出答案．
【详解】解：如图，
，
，
，
．
故答案为：．
13. 将方程变形为用含x的式子表示y，那么____．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，熟练掌握等式的性质进行移项是解题的关键．
利用等式的性质移项即可求解．
【详解】解：因为，
所以；
故答案为：．
14. 比较大小：（1）_____3；（2）______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查实数的大小比较，熟练掌握平方运算比较大小是解题的关键；
（1）先将要比较的数平方，找出在哪两个整数之间，再比较大小即可，
（2）先将要比较的数平方后，再根据不等式得基本性质比较大小即可．
【详解】，
故答案为：
，，
，
，
故答案为：
15. 将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________________________________.
【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【解析】
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．
16. 若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解方程组，用表示，把代入中得到关于的方程是解题的关键．
解方程组，用表示，把代入中得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：，
得：，
把③代入②得：，
，
，
，
故答案为：．
17. 已知点，点，轴，，则_____．
【答案】1或9
【解析】
【分析】本题考查的是两点间的距离公式，正确理解平行于坐标轴的点的坐标的特点是解题的关键．
根据轴求出，根据两点间的距离公式求出，计算即可．
【详解】解：∵点，点，轴，
，
，
，
解得：或6，
当时，，
当时，，
故答案为：1或9．
18. 刘老师的手机密码是四位数字，请你根据下面四个条件，推断正确的密码是：______．
①只有两个数字正确且位置正确；
②只有两个数字正确但位置都不正确；
③四个数字都不正确；
④只有三个数字正确但位置都不正确．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了逻辑推理，根据已知推断求解即可．
【详解】解：由③可知，3、5、2、9四个数字都不正确，
即密码中没有3、5、2、9四个数字；
由④可知，1、8、0、9只有三个数字正确但位置都不正确，
即密码中一定有1、8、0三个数字，且位置都不正确；
由①可知，6、4、3、8只有两个数字正确且位置正确；
即密码中数字8在第四位，另一个正确的数字为6在第一位或4在第二位；
若6在第一位为正确密码，则与②推断矛盾，即正确的密码中的数字为4在第二位；
由②④可知，密码数字0不在第二位和第三位，即在第一位。
则数字1在第三位，
即正确的密码是，
故答案为：．
三、解答题（第19～22题每题5分，第23～25题每题6分，第26题4分，第27～28题每题6分，共54分）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式、立方根、绝对值，正确化简各数是解题关键．
直接利用绝对值、立方根、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
【详解】
；
20. 解二元一次方程组：．
【答案】
【解析】
【分析】该题考查了解二元一次方程组，这类题目的解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法．
由于题中的系数较小，可找出最小公倍数后用加减消元法．
【详解】解：，
得：，
解得，
把代入①得：．
∴原方程组的解为．
21. 如图，已知三角形，点D在边上．
（1）过点A作的平行线；
（2）过点D作的垂线段，垂足为F；
比较线段与的大小：______（“”“ ”或“”填空），理由：_______；
（3）测量点B到直线的距离为_______（精确到）．
【答案】（1）作图见解析
（2）作图见解析，，垂线段最短
（3）
【解析】
【分析】本题考查了画平行线，垂线段，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握平行线的定义和垂线的定义及垂线段性质．
（1）根据平行线的定义作图即可；
（2）根据垂线段的定义作图，再利用垂线段的性质即可得；
（3）根据点到直线的距离，利用直尺测量即可得．
小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
如图所示，即为所求，
，理由：垂线段最短，
故答案为：，垂线段最短
【小问3详解】
利用带刻度的直尺测量，即点B到直线的距离为，
故答案为：．
22. 已知：如图，，，．求证：平分．
证明：∵，，
∴，（_______）．
∴．
∴__________（_______）．
∴（_________）．
（_________）．
又∵，∴（等量代换）．
∴平分．
【答案】垂线的定义；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；
【解析】
【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定和性质，角平分线的定义，掌握平行线的判定和性质是解题关键．根据垂线的定义，可证，进而推出，即可证明结论．
【详解】证明：∵，，
∴，（垂线的定义）．
∴．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
（两直线平行，内错角相等）．
又∵，
∴（等量代换）．
∴平分，
故答案为：垂线的定义；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
23. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，．将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点D、E、F分别为点A、B、C的对应点．
（1）在图中画出，并直接写出点F的坐标；
（2）求的面积；
（3）已知点P在x轴上，且的面积为9，直接写出点P的坐标为_______．
【答案】（1）见解析，
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了作图——平移变换，平移的性质，割补法求面积，绝对值方程，利用数形结合的思想，掌握平移的性质是解题关键．
（1）根据平移的性质作出图形，再根据图形写出点F的坐标即可；
（2）利用割补法求出的面积即可；
（3）设点P的坐标为，根据的面积列绝对值方程求解即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所求作，点F的坐标
【小问2详解】
解：的面积；
【小问3详解】
解：设点P的坐标为，
，
，
的面积为9，
，
解得：或，
点P的坐标为或，
故答案为：或．
24. 列方程（组）解应用题：为鼓励同学们积极参加“体育嘉年华”活动，学校计划购进一批足球作为活动奖品．已知购买A品牌足球2个和B品牌足球3个需340元，购买A品牌足球3个和B品牌足球2个需310元．
（1）A品牌足球和B品牌足球每个各多少元？
（2）经过评选有21名同学在活动中获奖，学校对每位获奖同学奖励一个A品牌足球或B品牌足球．若学校准备使用专项经费1500元购买奖品，且经费全部用完，那么购买A品牌足球多少个？
【答案】（1）购买一个种品牌的足球需要50元，一个种品牌的足球需要80元
（2）购买A品牌足球6个
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
（1）设购买一个种品牌的足球需要元，一个种品牌的足球需要元，根据“购买A品牌足球2个和B品牌足球3个需340元，购买A品牌足球3个和B品牌足球2个需310元”，得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买品牌足球个，购买品牌足球个，根据学校准备使用专项经费1500元购买奖品，且经费全部用完，即可得出关于的一元一次方程，即可解答．
【小问1详解】
解：设购买一个种品牌的足球需要元，一个种品牌的足球需要元，
依题意得：，
解得：．
∴购买一个种品牌的足球需要50元，一个种品牌的足球需要80元．
【小问2详解】
设购买品牌足球个，购买品牌足球个，
根据题意得：，
解得：，
故购买A品牌足球6个．
25. 如图，已知，于点H，．
（1）求证：；
（2）连接，若，且，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质、垂直等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．
（1）先根据垂直的定义可得，再根据平行线的判定可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，最后根据平行线的判定即可得证；
（2）根据平行线的性质先求出，再根据求出，表示出，再根据得出即可求出解答，
【小问1详解】
，
，
，
，
【小问2详解】
由（1）得，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
26. 【阅读材料】
善于思考的小明通过观察下列各式的计算过程，找到了求较大数的立方根的一种方法：，，，，，，，，；
小明是这样求出的立方根的，他先估计的立方根的个位上的数字，由上面各式他猜想出这个立方根的个位上的数字为__________，又由；猜想出的立方根的十位上的数字为__________，从而得到的立方根；
【解决问题】
请你根据中小明的探究方法，完成如下填空：①__________，②__________．
【答案】；；
；．
【解析】
【分析】本题考查的知识点是立方和立方根，解题关键是理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数．
先根据题中所给分析方法，找出规律，再根据规律求出这两个数的立方根的个位数，再求出十位数，即可得出结论．
【详解】解：观察上述式子的计算过程，发现，
与的个位数均为，
可猜想的立方根的个位上的数字为，
，
猜想立方根的十位上的数字为，
故答案为：；．
解：的个位数是，猜想其立方根的个位符合的规律，
即的立方根的个位上的数字为，
又，
可猜想立方根的十位上的数字为，
即；
的最后一位数为，猜想其立方根的最后一位符合的规律，
即的立方根最后一位数字为，
又，
可猜想．
故答案为：；．
27. 如图，直线，直线与、分别交于点G、H，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，．
（1）填空：__________；
（2）若，的角平分线交直线于点O．
①如图②，当时，求的度数；
②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含的式子表示）．
【答案】（1）90 （2）①；②或．
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的性质，三角形外角的性质，利用分类讨论的思想是解题关键．
（1）过点作，根据平行线的性质，得到，，再结合，即可求解；
（2）①根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，进而得到，再结合（1）的结果，即可求出求的度数；
②根据平行线的性质和角平分线的定义，得到，再分两种情况讨论：点在点左侧和点在点右侧，根据平行线和三角形外角的性质分别求解即可．
【小问1详解】
解：如图，过点作，
，
，
，
，
，
，
故答案为：90；
【小问2详解】
解：①，，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
；
②，
，
是的角平分线，
，
，
当点在点左侧时，
，
，
，
，
；
当点在点右侧时，
，
，
，
，
综上可知，的度数为或．
28. 在平面直角坐标系中，对于点，，将的值叫做点A与点B的“纵横距离”，记为，即．若点P在线段CD上，将的最大值与最小值之差称为线段关于点A的“视差”，记为．已知点，．
（1）点A与点B的“纵横距离”的值为__________；
（2）已知点C在x轴上，线段关于点A的“视差”为3，则点C的坐标为__________；
（3）若点E与点A的“纵横距离”为4．
①的最小值为__________，最大值为__________；
②当取最小值时，请在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形．
【答案】（1）2 （2）或
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中“纵横距离”及“视差”的意义．
（1）根据“纵横距离”的定义：计算即可；
（2）①当点C在x轴上，根据点C的位置不同分两种情况：在点B的左侧或右侧讨论其最大值与最小值，根据线段关于点A的“视差”为3，列方程即可求解；
②根据当取最小值时，此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是，画出点E组成的图形．
【小问1详解】
解：点，．
∴．
故答案为2；
【小问2详解】
设点C坐标为，
当点C在x轴上，并且在点B的左侧时，如图：
，
此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为，
∴，解得，
当点C在x轴上，并且在点B的右侧时，如图：
∵，最大值不能为，∴点C在x轴正半轴，
此时点A到线段BC上一点的“纵横距离”的最大值是，最小值为，
∴，解得，
综上所述：点C的坐标为或，
故答案为：或；
【小问3详解】
①若点E与点A的“纵横距离”为4．
此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最大值始终是，
此时点A到线段OE上一点的“纵横距离”的最小值最大为，最小为OE过点A，0，
的最小值为，最大值为，
故答案为3；4．
②当取最小值时，在平面直角坐标系中画出所有符合题意的点E组成的图形是折线，如图：
此时折线的端点为、、、、．