2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模数学试题（含解析）

这是一份2024年湖北省黄石市铁山区部分学校中考二模数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10题，每题3分，共30分，在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．七年级（1）班一学期班费收支情况如下（收入为正）：元，元，元，元，则该班期末时班费结余为（ ）
A．82元B．85元C．35元D．92元
2．用5个完全相同的小正方体组成如图所示的立体图形，它的左视图是( )

A． B． C． D．
3．三峡电站总装机容量约22500000千瓦，是世界上装机容量最大的水电站．数22500000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，把一个含角的直角三角板的直角顶点C放在直尺上，，，则的度数是（ ）

A．10°B．12°C．15°D．20°
6．如图，王林从点出发沿直线前进5米到达点，向左转后又沿直线前进5米到达点，再向左转后沿直线前进5米到达点……照这样走下去，王林第一次回到出发点时所走的路程为（ ）

A．100米B．80米C．60米D．40米
7．将含角的直角三角板按如图方式摆放，已知，，则（ ）

A．B．C．D．
8．将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，小水杯中有部分水，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，点坐标为，点坐标为，将线段绕点逆时针旋转至，则点的坐标是（ ）

A．B．C．D．
10．在同一平面直角坐标系中，若抛物线与关于轴对称，则的值为（ ）
A．0B．C．4D．
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11．当x= 时，分式的值为零．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，⊙O为Rt△ABC的内切圆，则图中阴影部分的面积为（结果保留π） ．
13．如图，点，，，都在上，，，，则 度．
14．若点A（﹣5，y1），B（1，y2），C（2，y3）在反比例函数（a为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是 ．（用“＜”连接）
15．如图，在矩形中，，，是的中点，连结，是边上一动点，沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上，且对应点为，当是直角三角形时，的长为 ．
三、解答题（共9小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（1）；
（2）．
17．已知关于的一元二次方程．
(1)若方程的一个根为2，求的值；
(2)若方程有实数根，求的取值范围．
18．如图，B是的中点，，.求证：．

19．3月14日是国际数学日，“数学是打开科学大门的钥匙”为进一步提高学生学习数学的兴趣．某校开展了一次数学趣味知识竞赛，并从男、女生中各随机抽取了20名学生的成绩（满分100分，成绩得分用x（分）表示，共分为五组：A．；B．；C．；D．；E．；其中记为优秀），相关数据统计、整理如下：
男生被抽取的学生竞赛成绩：52，58，58，60，64，70，72，74，74，76，76，78，80，86，86，86，88，90，94，98．
女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组的具体分数为：70，72，74，76，76，76，78，78．
男、女生被抽取的竞赛成绩统计表：
请根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______；
(2)根据以上数据分析，从一个方面评价该校男、女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)该校共有3000人，请你估计该校学生中竞赛成绩优秀的有多少人？
20．“四月江南黄鸟肥，樱桃满市粲朝辉”，暮春时节，重庆市樱桃（俗称思桃儿）早已进入采摘期．某现代农业园区推行免入园费自助采摘活动．该园区种植了普通樱桃和乌皮樱桃两个品种，其中乌皮樱桃甜味香，肉质细嫩，售价比普通樱桃每斤高出20元．
（1）今年4月30日，普通樱桃销量为200斤，乌皮樱桃销量为400斤，若当天总销售额不低于26000元，则每斤普通樱桃至少卖多少元？
（2）为降低高温天气带来的经济损失，果园负责人决定在“五一”节推出优惠政策，若两种樱桃在（1）的条件下均以最低价格销售，5月1日，普通樱桃售价降低，销量比4月30日增加，乌皮樱桃售价不变，销量比4月30日增加了，且5月1日总销售额比4月30日增加了．求的值．（）．
21．如图，等腰内接于，，点是上的点（不与点，重合），连接并延长至点，连接并延长至点，与交于点．
(1)求证：；
(2)若的半径为5，，点是的中点，求的长．
22．如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，坐标原点是的中点，，，双曲线经过点．
（1）求；
（2）直线与双曲线在第四象限交于点．求的面积．
23．李老师让同学们以“旋转”为主题展开探究．
【问题情境】
如图1，在矩形中，，．将边绕点逆时针旋转得到线段，过点作交直线与点．
【猜想证明】
（1）当时，四边形的形状为________；（直接写出答案）
（2）如图2，当时，连接，求此时的面积；
【能力提升】
（3）在【问题情境】的条件下，是否存在，使点F，E，D三点共线．若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由．
24．抛物线与轴交于两点，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，已知．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
(3)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当面积最大时，求点的坐标及的最大值．
参考答案与解析
1．A
【分析】运用有理数的加法法则处理即可．
【解答】解：（元）；
故选：A
【点拨】本题考查有理数的加减运算；熟练运算法则是解题的关键．
2．C
【分析】根据左视图的定义，找到从左面看所得到的图形即可得答案．
【解答】从左面看，小正方体有两列，左边一列有3个小正方形，右边一列有1个小正方形，
故选C．
【点拨】本题考查了三视图的知识，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
3．B
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数，由此进行求解即可得到答案，
解题的关键是：熟记科学记数法的规则．
【解答】解：，
故选：B．
4．D
【分析】分别计算各选项的值即可．
【解答】解：，故选项A不符合题意；
，故选项B不符合题意；
，故选项C不符合题意；
，故选项D符合题意．
故选：D．
【点拨】本题重点考查合并同类项、幂的乘方和同底数幂的除法运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．
5．D
【分析】本题主要考查平行公理推论，平行线性质，直角三角形两锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线．
过点B作交于D，则，在中，，又在中，，则，从而求得，再证明，即可由平行线的性质求解．
【解答】解：过点B作交于D，

∵，
∴，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故选：D．
6．D
【分析】根据王林每次沿直线前进5米，向左转，得到王林所走过的图形为正多边形，求出边数，即可得解．
【解答】解：∵王林每次沿直线前进5米，向左转，
∴王林所走过的图形为正多边形，
∴边数，
∴王林第一次回到出发点时所走的路程为米；
故选D．
【点拨】本题考查正多边形的外角和．解题的关键是得到王林所走过的图形为正多边形，利用正多边形的外角和定理求出边数．
7．A
【分析】过点H作，推出，得到，求出，利用对顶角相等求出答案．
【解答】解：过点H作，

∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
故选：A．
【点拨】此题考查了平行线的性质求角第度，对顶角相等的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
8．B
【分析】根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象．
【解答】将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，
用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化．
故选：B．
【点拨】本题考查了函数的图象．解题的关键在于理解题意，抽象出函数图象．
9．B
【分析】分别过作轴的垂线，垂足分别为，则，证明，结合坐标性即可求解．
【解答】解：如图所示，分别过作轴的垂线，垂足分别为，则

∵点坐标为，点坐标为，
∴
∵将线段绕点逆时针旋转至，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点拨】本题考查了旋转的性质，坐标与图形，全等三角形的性质与判定，数形结合是解题的关键．
10．C
【分析】根据关于x轴对称，函数y是互为相反数即可解答．
【解答】解：∵与关于轴对称，
∴，即，
∴，解得：．
∴．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，根据关于x轴对称的坐标特征把抛物线化成关于x轴对称的抛物线的解析式是解题的关键．
11．-1
【分析】根据分式为0的条件列出方程组,即可解答．
【解答】解：由题意得：

解得x=-1
故答案为-1．
【点拨】本题考查了分式为零的条件，即分式为零的条件为分子为零，分母不为零．
12．
【分析】利用切线长定理求得⊙O的半径，根据S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE列式计算即可求解．
【解答】解：设切点分别为D、E、F，连接OD、OE、OF，
∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，
∴AE=AF、BD=BF、CD=CE，OD⊥BC，OE⊥AC，
∵∠C=90°，
∴四边形CDOE为正方形，
∴∠EOF+∠FOD=360°-90°=270°，
设⊙O的半径为x，则CD=CE=x，AE=AF=4-x，BD=BF=3-x，
∴4-x+3-x=5，
解得x=1，
∴S阴影=S△ABC-( S扇形EOF+ S扇形DOF)- S正方形CDOE
=×3×4-×1×1
=5-．
故答案为：5-．
【点拨】本题考查了切线长定理，扇形的面积公式，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键．
13．
【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，三角形内角和定理，连接，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，，进而根据周角的定义求出，则由等边对等角可得．
【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∴，
同理可得，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14．y1＜y3＜y2．
【分析】先计算出自变量为﹣5、1、2对应的函数值，从而得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】当x=﹣5时，y1=﹣(a2+1)；
当x=1时，y2=a2+1；
当x=2时，y3=(a2+1)，
所以y1＜y3＜y2．
故答案为：y1＜y3＜y2．
【点拨】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
15．或
【分析】根据矩形的性质可得，，根据勾股定理可得，设，则，是直角三角形可以分和，两种情况讨论，根据和相似的性质列出方程求解即可．
【解答】∵四边形是矩形，，，
∴，，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵沿过点的直线将矩形折叠，使点落在上，且对应点为，
∴，
设，则，
要使得是直角三角形时，
①当时，，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
②当时，，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴；
综上所述，当是直角三角形时，或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了折叠问题、勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质、分类讨论是解题的关键．
16．（1）；（2）
【分析】（1）先计算括号和绝对值，然后进行加减运算即可；
（2）先计算乘方，然后进行加减运算即可．
【解答】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
．
【点拨】本题考查了绝对值，乘方，有理数的加减运算．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确的运算．
17．(1)
(2)
【分析】（1）由于是方程的一个根，直接把它代入方程即可求出的值．
（2）根据根的判别式公式，令，得到关于的一元一次不等式，解之即可．
【解答】（1）解：把代入得，
解得；
（2）解：方程有实数根，
，
．
的取值范围为．
18．见解析
【分析】根据已知条件证得，，然后证明，应用全等三角形的性质得到．
【解答】证明：∵B是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【点拨】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
19．(1)
(2)女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异，理由见解析
(3)该校学生中竞赛成绩优秀的有1200人
【分析】（1）根据题意，可得女生各组的人数，即可求出中位数和优秀率，根据众数的定义即可求出男生的众数；
（2）根据众数的比较，即可得出结论；
（3）根据男生、女生的优秀率均为40%，列式求解即可．
【解答】（1）女生被抽取的学生竞赛成绩中，C组有8个，占总数的，
A、B、E组各有个
则D组占总数的，即个
女生成绩的中间两个数都在C组，为76，76，
中位数为76，即；
女生被抽取的学生竞赛成绩中，大于等于80分的有D、E两个组的人数，共8个，
优秀率，即；
男生被抽取的学生竞赛成绩中，出现次数最多的是86，
众数为86，即；
故答案为：；
（2）女生的众数高于男生的众数，
女生本届数学趣味知识竞赛成绩谁更优异；
（3）人，
所以，该校学生中竞赛成绩优秀的有1200人．
【点拨】本题考查了统计表和扇形统计图，涉及中位数、众数、优秀率及用样本估计总体，熟练掌握知识点是解题的关键．
20．（1）30；（2）30
【分析】（1）设每斤普通樱桃卖x元，则每斤乌皮樱桃卖（x+20）元，根据总价=单价×数量结合当天总销售额不低于26000元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出结论；
（2）根据总价=单价×数量结合5月1日总销售额比4月30日增加了，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】（1）设每斤普通樱桃卖x元，则每斤乌皮樱桃卖(x+20)元，
依题意，得：200x+400(x+20)⩾26000，
解得：x⩾30
所以每斤普通樱桃至少卖30元．
故答案为：30
（2）依题意得：
30(1−)×200(1+5a%)+(30+20)×400(1+)=26000×(1+)，
整理，得：a2−30a=0，
解得：a1=0(舍去)，a2=30
∴a的值为30
故答案为：30
【点拨】本题考查了一元一次不等式的实际应用和一元二次方程的实际应用，根据题意找到等量关系列出不等式和方程式解题的关键．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由四边形为圆内接四边形，得到，结合，
得到，，即可求解，
（2）作，，由为的垂直平分线，得到，根据勾股定理，，根据平行线截线段成比例，得到，依次求出，，，根据勾股定理，即可求解，
本题考查了，圆内接四边形的性质，勾股定理，平行线截线段成比例，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【解答】（1）解：∵点均在上，
∴四边形为圆内接四边形．
．
又，
．
又，
．
又，，
．
（2）解：作于，
又∵，
为的垂直平分线，
过点作于点，连接，
为的垂直平分线，
点在上，
，
，
，
，，
．又，
，
，，
，
，
故答案为：．
22．（1）；（2）的面积
【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，由题意易得，进而可得，然后可得点，最后问题可求解；
（2）由（1）可先求出直线AC的解析式为，然后联立直线AC的解析式与反比例函数，进而可得点D的坐标，最后利用铅锤法求解三角形的面积即可．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示：
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴在Rt△AEC中，，
∵点O是BC的中点，
∴OC=2，
∴OE=1，
∴，
∴；
（2）由（1）可得：，，
∴设直线AC的解析式为，则把点A、C代入得：，
解得：，
∴直线AC的解析式为，
联立与反比例函数可得：，
解得：（不符合题意，舍去），
∴点，
∴．
【点拨】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握反比例函数与几何的综合及含30°直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．
23．（1）正方形；（2）；（3）存在，或．
【分析】（1）根据矩形的性质和旋转的性质可得，，即可；
（2）作于，可得，从而得到，再根据勾股定理可得，即可；
（3）分两种情况讨论：当点在上时；当点在的延长线上时，根据三角形全等可得，然后根据勾股定理列出方程即可求解．
【解答】解：（1）如图1，
四边形是矩形，
，
将边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形；
故答案为：正方形；
（2）如图2，作于，
，，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，当点在上时，连接，
，
∴
，，，
，
，
设，则，
根据旋转的性质得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
解得：；
如图4，当点在的延长线上时，
同理，，
设，则，，
，
解得：，
综上所述，或．
【点拨】本题考查了矩形、正方形的判定，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是分类讨论．
24．(1)；
(2)存在，点P的坐标为或或；
(3)，．
【分析】（1）由A、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；
（2）可设出P点坐标，则可表示出和的长，分、两种情况分别得到关于P点坐标的方程，可求得P点坐标；
（3）由B、C的坐标可求得直线的解析式，可设出E点坐标，则可表示出F点的坐标，从而可表示出的长，可表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值及此时点E的坐标．
【解答】（1）解：在抛物线上，
则，
解得，
∴抛物线解析式为；
（2）存在，
理由：，
∴抛物线对称轴为直线，
，且，
，
∵点P在对称轴上，
∴可设，
，
当时，则有，
解得，此时P点坐标为或；
当PC=CD时，则有，
解得（与D重合，舍去）或，
此时P点坐标为，
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为或或；
（3）当时，即，
解得或，
，，
设直线解析式为，
由题意可得，
解得，
∴直线解析式为，
∵点E是线段上的一个动点，
∴可设，则，
，
，
∴当时，S△CBF有最大值，最大值为，
此时，
，
∴当时，的面积最大，最大面积为4，此时E点坐标为．
【点拨】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用P点的坐标表示出和是解题的关键，在（3）中用E点坐标表示出的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
性别
男生
女生
平均数
76
76
中位数
76
众数
87
优秀率
40%