北京教育学院附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．本试卷共4页，共三道大题，26小题，满分100分．考试时间100分钟．
2．在试卷和答题纸上准确填写班级、姓名、学号．
3．试卷答案填写在答题纸的相应位置上，在试卷上作答无效．
4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
一、选择题
1. 的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是算术平方根必须是正数，注意平方根和算术平方根的区别．直接根据算术平方根的定义即可求出结果．
【详解】解：
故选：A．
2. 在实数：，，，中，无理数有（ ）
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】C
【解析】
【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
【详解】解：在实数：，，，中，
是有理数，，，是无理数，共个，
故选：C
【点睛】本题考查了无理数，求一个数立方根，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有的数．
3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据各象限内的点的坐标符号规律即可得．
【详解】解：因为点的横坐标为，纵坐标为，
所以点所在的象限是第四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查了点所在的象限，熟练掌握各象限内的点的坐标符号规律是解题关键．
4. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．直接利用二次根式的性质对各选项进行判断即可．
【详解】解：A、，故本选项符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故选：A．
5. 将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】标出字母，根据平行线的性质即可求解．
【详解】标出字母，如图
∵AB∥CD，
∴∠2=∠CEM，
∵∠1+90°+∠CEM=180°，
∴∠1+90°+∠2=180°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2=40°，
∴∠1=90°-40°=50°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案．
6. 以下命题是真命题的是（ ）
A. 相等的两个角一定是对顶角
B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等
D. 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
【答案】B
【解析】
【分析】利用对顶角的定义、平行线的性质等知识对选项逐一判断即可．
【详解】A、对顶角的定义为：有公共定点，两条边互为反向延长线的两个角互为对顶角，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角．故命题错误，是假命题，不符合题意．
B、根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故命题是真命题，符合题意．
C、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．故命题错误，是假命题，不符合题意．
D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．故命题错误，是假命题，不符合题意．
故选B
【点睛】本题考查命题与定理的相关知识，解决本题的关键是正确理解对顶角的定义，熟练应用平行线的性质及推论．
7. 如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CDAB的是（ ）
①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠5=∠B ④∠DCB+∠B=180°
A. ①②③④B. ①②③
C. ①③④D. ①②
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法对① ② ③④每一选项的正确性进行判断即可得到解答 ．
【详解】解：因为∠1和∠4是内错角，所以由∠1=∠4 可以得到CD ∥ AB，①正确；
因为∠2和∠3是DA与CB的内错角，不是CD 与 AB的内错角，所以由∠2=∠3不能得到CD ∥ AB，②错误；
因为∠5和∠B是同位角，所以由∠5=∠B可以得到CD ∥ AB，③正确；
因为∠DCB和∠B是同旁内角，所以由∠DCB+∠B=180°可以得到CD ∥ AB，④正确；
故选：C．
【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．
8. 某年级学生共有246人，其中男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则下面所列的方程组中符合题意的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意可知男生人数+女生人数=总人数，女生人数的2倍=男生人数+2，由此可列出方程组．
【详解】解：根据某年级学生共有246人，则x+y＝246；
男生人数y比女生人数x的2倍少2人，则2x＝y+2．
可列方程组为．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，题目中已设未知数，结合题意要先找出等量关系．
9. 如图，在平面直角坐标系xOy中，如果一个点的坐标可以用来表示关于x 、y的二元一次方程组的解，那么这个点是( )
A. MB. NC. ED. F
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系可直接进行求解．
【详解】解：由图象知，直线解析式为与相交于点E，若要求点E坐标即联立这两条直线解析式，即为，
故选C．
【点睛】本题主要考查一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系是解题的关键．
10. 如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2023秒时，这个粒子所处位置为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设粒子运动到时所用的时间分别为，则由，则，以上相加得到的值，进而求得来解，再找到运动方向的规律即可求解．
【详解】解：由题意，设粒子运动到时所用的间分别为
则
，
，
，
，
，
相加得：
，
．
，故运动了秒时它到点；
又由运动规律知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．
故达到时向左运动秒到达点，
即运动了秒．所求点应为．
故选：A．
【点睛】本题考查了规律型－点的坐标，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列的递推关系式是本题的突破口，对运动规律的探索知：中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动是解题的关键．
二、填空题
11. 平面直角坐标系中，点P(3，－4)到x轴的距离是________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据点的坐标表示方法得到点P(3，﹣4)到x轴的距离是纵坐标的绝对值即|﹣4|，然后去绝对值即可．
【详解】解：点P(3，-4)到x轴的距离为|﹣4|=4．
故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了点到坐标上的距离，正确掌握点的坐标性质是解题关键．
12. 将“平行于同一条直线的两条直线平行”改写成“如果……那么……”的形式为_________________________________________________.
【答案】如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【解析】
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【详解】命题可以改写为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行．
故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行
【点睛】任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别塞在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．
13. 已知 是关于x，y的方程的一个解，那么的值是__________．
【答案】6
【解析】
【分析】把代入方程计算即可求出m的值．
【详解】解：把代入方程得：2m−6=6，
移项得：2m=6+6，
解得：m=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值，掌握二元一次方程的解的定义是解题关键．
14. 若一个正数的平方根是和，则的值是_________．
【答案】-3
【解析】
【分析】根据一个正数有两个平方根，且互为相反数列出关于a的方程，求出方程的解得到a的值即可．
【详解】解：根据题意得：
解得：a=-3
故答案为：-3
【点睛】此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义（一个正数有两个平方根，且互为相反数）是解本题的关键．
15. 点M，N，P，Q在数轴上的位置如图所示，这四个点中有一个点表示实数，这个点是______．

【答案】点P
【解析】
【分析】估算的大小，进而确定的整数位，从而确定点的位置．
【详解】∵
∴，
∴
故答案为：点P．
【点睛】本题考查无理数的估算，用数轴上点表示数，利用算术平方根估算无理数是解题的关键．
16. 下图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，则西单站的坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据崇文门站和北海北站的坐标，建立平面直角坐标系，即可得出答案．
【详解】解：根据崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，可建立如图所示的平面直角坐标系，
∴西单站坐标为，
故答案是．
【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，根据已知坐标正确得出坐标原点的位置是解题的关键．
17. 在平面直角坐标系中，若点在y轴上，则m的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】根据y轴上的点的特点为，横坐标求解即可．
【详解】解：∵点在y轴上，
∴
故答案为：2．
【点睛】本题考查了y轴上的点的特点，掌握y轴上的点的特点是解题的关键．
18. 如图，面积为的正方形的边在数轴上，点B表示的数为1．将正方形沿着数轴水平移动，移动后的正方形记为，点A，B，C，D的对应点分别为，，，，移动后的正方形与原正方形重叠部分图形的面积记为S．
①当正方形向右移动1时，移动后的正方形与原正方形ABCD重叠部分图形的面积为______；
②当时，数轴上点表示的数是______（用含a的代数式表示）．
【答案】 ①. ## ②. 或
【解析】
【分析】①当正方形向右移动1时，如图1，求出即可算出重叠部分的面积；
②平移可分为两种情况，向右平移和向左平移，根据面积求出边长，求出平移的距离，即可得出答案．
【详解】①当正方形向右移动1时，如图1，
∵正方形的面积为，
∴，
∴，
∴重叠部分图形的面积，
故答案是．
②当向右移动时，如图2，
∵重叠部分图形面积，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数是；
当向左移动时，如图3，
∵重叠部分图形的面积，
∴，
∴，
∴，
∴点表示的数是；
故答案是或．
【点睛】本题主要考查了在数轴上表示实数，解题的关键是求出点与原点间的距离．
三、解答题
19. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了求平方根的方法解方程，求立方根的方法解方程：
（1）根据求平方根的方法解方程即可；
（2）根据求立方根的方法解方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
．
【小问2详解】
解：，
，
，
．
20. 解方程组．
【答案】
【解析】
【分析】首先将可求得，将代入①可求得的值．
【详解】解：
，得，
解得：，
将代入①可得，
解得：，
原方程组的解为．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的求解，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解答本题的关键．
21. 计算：．
【答案】3
【解析】
【分析】根据立方根与平方根的意义以及绝对值的意义计算．
【详解】解：
=
=
【点睛】本题考查了实数的混合运算运算，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．
22. 如图，按要求画图并回答问题：
（1）过点画点到直线的垂线段，垂足为；
（2）过点画直线，交的延长线于点；
（3）在线段，，中，最短的是______，理由为______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），垂线段最短
【解析】
【分析】本题主要考查了画垂线，画平行线，垂线段最短：
（1）根据垂线的画法画图即可；
（2）根据平行线的画法画图即可；
（3）根据垂线段最短即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示，线段即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，直线即为所求；
小问3详解】
解：由垂线段最短可知，在线段，，中，最短的是，
故答案为：，垂线段最短．
23. 如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到三角形，其中点D，E，F分别为点A，B，C的对应点．

（1）在图中画出三角形；
（2）求三角形的面积；
（3）若三角形内一点P经过上述平移后的对应点为，直接写出点P的坐标（用含m，n的式子表示）．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意进行平移得，即可得；
（2）作点，构造图中的四边形，则，进行计算即可得；
（3）根据三角形内一点P经过先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到，即可得．
【小问1详解】
解：∵三角形三个顶点的坐标分别是，，．将三角形先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴，
如图所示，
；
【小问2详解】
解：如图所示，作点，构造图中的四边形，

则
．
【小问3详解】
解：∵三角形内一点P经过先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度后得到，
∴．
【点睛】本题考查了平移—作图，解题的关键是掌握平移．
24. 如图，AD//BC，的平分线交于点，交的延长线于点，．
求证：．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵AD//BC，
（理由： ）．
平分，
．
．
，
，
（理由： ）．
（理由： ）．
【答案】；两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
【解析】
【分析】根据平行线的性质与判定，角平分线的意义，补全证明过程即可．
【详解】
（理由：两直线平行，内错角相等），
平分，
，
．
，
，
（理由：同位角相等，两直线平行）．
（理由：两直线平行，同旁内角互补）．
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键．
25. 已知，点在射线上，点在外部，，以为顶点，为一边，大小为的角的另一边交射线于点．

（1）如图1，当点与点位于所在直线异侧时，的平分线与射线的交点为点．补全图形并直接写出直线与直线的位置关系；
（2）当点与点位于所在直线同侧时，射线与射线交于点，点在线段的延长线上．
①如图2，若平分，求证：平分；
②当时，直接写出的度数并画出符合题意的图形．
【答案】（1）作图见解析，
（2）①证明见解析；②，作图见解析
【解析】
【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义及性质，
（1）补全图形如图1所示，此时，由平分，且，可得，由，可得，即可得证；
（2）①由，得，，，由平分，得，再由，可得结论；
②由，可得，过点作，得，，然后由，可得出结论；
解题的关键是熟知角平分线的定义和性质．
【小问1详解】
解：补全图形如图1所示，此时，
理由如下：
∵平分，且，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
①证明：∵，
∴，，，
∵，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
②解：如图2，
∵，
∴，
∵，，
∴，
过点作，
∴，，
∵，
∴，
解得：．

26. 在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”：
①当时，为点与点的“远距离”，即；
当时，为点与点的“远距离”，即．
②点与点的“总距离”为与的和，即．
根据以上材料，解决下列问题：
（1）已知点，则______．
（2）若点在第一象限，且．求点的坐标．
（3）若点，且，所有满足条件的点组成了图形，请在图中画出图形．
【答案】（1）8 （2）或
（3）见解析
【解析】
【分析】本题考查平面直角坐标系，新定义运算：
（1）根据求解；
（2）分和两种情况，根据定义分别求解；
（3）根据可得，由此作图即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：8；
【小问2详解】
解：点在第一象限，
，，
当时，，
，
此时点的坐标为；
当时，，
，，
此时点的坐标为；
综上可知，点的坐标为或．
【小问3详解】
解：，，
，图形如下图所示．