北京市海淀区中央民族大学附属中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列图案中，可以由一个基本图形通过平移得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移不改变图形的大小和形状，只改变图形的位置，对各选项进行判断即可．
【详解】解：解：A、B、C选项中的图通过平移无法得到，D选项中的图是通过平移得到．
故选：D．
【点睛】本题注意考查的是利用平移设计图案，熟知平移与旋转的性质是解答此题的关键．
2. 如图，一条数轴被污渍覆盖了一部分，把下列各数表示在数轴上，则被覆盖数可能为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴上被覆盖的数在3与4之间，逐项进行判断即可．
【详解】解：根据数轴可知，被覆盖的数在3与4之间；
A．，不在3与4之间，故A错误；
B．，不在3与4之间，故B错误；
C．，在3与4之间，故C正确；
D．，不在3与4之间，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，解题的关键是估算出各个选项中的无理数在哪两个整数之间．
3. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，根据一个点的横坐标为负数，纵坐标为正数，进行判断该点位于第二象限，即可作答．
【详解】解：依题意，点的，
∴点所在的象限是第二象限，
故选：B．
4. 在下列图形中，线段的长表示点P到直线的距离的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离的概念判断．
【详解】解：因为A选项中垂直于，所以线段的长表示点P到直线的距离的是A选项．
故选：A．
【点睛】本题考查了点到到直线的距离的定义，解题关键在于熟练掌握点到直线距离定义．
5. 下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根和立方根的性质，即可．
【详解】∵，
∴，
∴A错误，不符合题意；
∵，
∴B正确，符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴C错误，不符合题意；
D、，
∴D错误，不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查平方根和立方根的知识，解题的关键是掌握平方根和立方根的性质．
6. 下列图形中，已知，则可得到的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先确定两角之间的位置关系，再根据平行线的判定来确定是否平行．
【详解】解：A、∠1和∠2的是对顶角，不能判断，故此选项不符合题意；
B、∠1和∠2的对顶角是同位角，且相等，所以，故此选项符合题意；
C、∠1和∠2是内错角，且相等，故，不是，故此选项不符合题意；
D、∠1和∠2互为同旁内角，同旁内角相等，两直线不一定平行，故此选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定定理．
7. 如图，直线与交于点O，，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用邻补角的定义结合垂线的定义进而得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】主要考查了邻补角和垂线的定义，正确得出的度数是解题关键．
8. 下列命题中，假命题是（ ）
A. 对顶角相等
B. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
C. 在同一平面内，垂直于同一条直线两条直线互相平行
D. 若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质、对顶角性质对各项分别进行分析判断即可．
【详解】解：A、对顶角相等，故原命题是真命题；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题是假命题；
C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行故原命题是真命题；
D、若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等或互补故原命题是真命题；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了命题的真假判断，熟悉各个章节的基础概念是解题关键．
9. 如图，点A，B，C，D，E，F，G为正方形网格图中的7个格点．建立平面直角坐标系，使点B，C的坐标分别为和，则上述7个点中在第二象限的点有（ ）

A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】根据平面直角坐标中点的位置直接进行判断即可．
【详解】解：根据图形可知，点A、G在第二象限内，
∴7个点中在第二象限的点有2个，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系的象限分布．
10. 在平面直角坐标系中，对于任意一点的“绝对距离”，给出如下定义：若，则点P的“绝对距离”为；若，则点P的“绝对距离”为．例如：点，因为，所以点的“绝对距离”为．当点的“绝对距离”为2时，所有满足条件的点P组成的图形为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点的“绝对距离”为2，可知，或，，即可确定点P组成的图形．
【详解】解：∵点的“绝对距离”为2，
∴，或，，
即时，，时，，时，，时，，
即可确定点P组成的图形为图D中的正方形，
故选：D．
【点睛】本题考查了点的坐标，新定义，理解新定义是解题的关键．
二、填空题（本题共18分，每题3分）
11. 16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】解：∵
∴16的平方根为4和-4，
∴16的算术平方根为4，
故答案为：4
12. 在平面直角坐标系中，已知点在y轴上，则a的值是 ______．
【答案】1
【解析】
【详解】根据y轴上点的横坐标为0列方程求解即可．
【解答】解：因为点在y轴上，
所以，
解得．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键.
13. 已知点A的坐标为（1，2），直线AB∥x轴，且AB＝5，则点B坐标为_______________．
【答案】（﹣4，2）或（6，2）
【解析】
【分析】由直线轴可确定点B的纵坐标为2，然后分当点B在点A左边和点B在点A右边两种情况，结合解答即可．
【详解】解：∵AB∥x轴，点A的坐标为（1，2），
∴点B的纵坐标为2，
∵AB＝5，
∴点B在点A的左边时，横坐标为1﹣5＝﹣4，
点B在点A的右边时，横坐标为1+5＝6，
∴点B的坐标为（﹣4，2）或（6，2）．
故答案为（﹣4，2）或（6，2）．
【点睛】本题考查了图形与坐标，属于基础题目，正确分类、掌握解答的方法是解题关键．
14. 如图，在长方形ABCD内，两个小正方形的面积分别为分别为 1，2，则图中阴影部分的面积等于____．
【答案】##
【解析】
【分析】由两个小正方形的面积分别为1，2，得出其边长分别为1和，则阴影部分合起来是长等于1，宽等于（）的长方形，从而可得答案．
【详解】解：面积为2的正方形的边长为：，面积为1的正方形的边长为：1，
则阴影部分面积为：
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根在面积计算中的应用，根据题意求解出正方形的边长是解题的关键．
15. 已知两个不相等的实数满足：，，则的值为__________．
【答案】0
【解析】
【分析】由题意可得x、y是a的两个不相等的平方根，根据平方根的性质可得x+y=0即可解答
【详解】解：∵两个不相等的实数满足：，
∴x、y是a的两个不相等的平方根
∴x+y=0
∴=0．
故答案为0．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，掌握一个数的两个不相等的平方根的和为0成为解答本题的关键．
16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，，将线段平移，得到线段（点A的对应点为点C，点B的对应点为点D），线段上任一点在平移后的对应点为，其中，．
（1）若点C与点B恰好重合，则_____，_____；
（2）若，且平移后三角形的面积最大，则此时_____，的面积为 _____．
【答案】 ①. 4 ②. 2 ③. 5 ④. 5
【解析】
【分析】本题主要考查平移的性质和两点之间的距离，
根据平移的性质得到点，结合点C与点B恰好重合即可求得s和t；
平移的性质得三角形的面积等于三角形的面积，过C作轴，过A作，过B作，由平移得点C，将，即可求得答案．
【详解】解（1）∵线段上任一点在平移后的对应点为，
∴点A的对应点为点，
∵点C与点B恰好重合，
∴，
解得：，
故答案为：4，2；
（2）由平移的性质得，，，
∴三角形的面积等于三角形的面积，
过C作轴，过A作，过B作，如图，
由平移得点C，
∵，点，，
则
∵，
∴当时，面积最大，此时，
故答案为：5，5．
三、解答题（本题共52分，第17题4分，第18-19题，每题6分，第20-21题，每题4分，第22-23题每题5分，第24-26题，每题6分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 如图，点A在直线l外，点B在直线l上，连接．选择适当的工具作图．

（1）在直线l上作点C，使，连接；
（2）在的延长线上任取一点D，连接；
（3）在中最短的是________，依据是 ________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3），垂线段最短
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线的尺规作图，垂线段最短：
（1）过点A作于C即可；
（2）在的延长线上任取一点D，连接即可；
（3）根据垂线段最短求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问3详解】
解：根据垂线段最短可知，在中最短的是．
18. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3 （2）
【解析】
【分析】（1）先计算算术平方根、立方根和平方，再计算加减；
（2）先计算绝对值和乘法，再计算加减．
【小问1详解】
；
【小问2详解】
【点睛】本题考查了算术平方根，立方根，实数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是解题的关键．
19. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平方根定义解方程即可得到答案；
（2）根据立方根定义解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：，
，解得或；
【小问2详解】
解：，
，解得．
【点睛】本题考查利用平方根定义及立方根定义解方程，熟记相关定义是解决问题的关键．
20. 已知的三个顶点的坐标分别是．
（1）在所给的平面直角坐标系中画出的面积为 ；
（2）点P在x轴上，且的面积等于的面积，求点P的坐标．
【答案】（1）3 （2）点P的坐标为或
【解析】
【分析】（1）根据点的坐标的意义描出三点，然后根据三角形面积公式计算；
（2）设P点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后去绝对值解方程即可得到x的值，从而可确定P点坐标．
【小问1详解】
如图，
；
故答案为3；
【小问2详解】
设P点坐标为，
∵的面积等于的面积，
∴，解得或，
∴点P坐标为或．
【点睛】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形面积公式．
21. 如图，，．求证：．
请将下面的证明过程补充完整：
证明：∵，
∴___________．（理由：___________）
∵，
∴___________，（理由：___________）
∴．（理由：___________）
【答案】，两直线平行，内错角相等；，等量代换；同旁内角互补，两直线平行
【解析】
【分析】先证明，再证明，从而可得结论．
【详解】证明：∵（已知），
∴（两直线平行，内错角相等）．
∵（已知），
∴（ 等量代换）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：，两直线平行，内错角相等；，等量代换；同旁内角互补，两直线平行．
【点睛】本题考查的是平行线的性质与判定，掌握“平行线的性质与平行线的判定方法”是解本题的关键．
22. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，．

（1）线段的长为________，请选用合适的工具，描出点的位置；
（2）若点的纵坐标为1，且，请判断：点的位置________（填“唯一”或“不唯一”），若唯一，请说明理由；若不唯一，请在图中标出所有点的位置．
【答案】（1）；画图见解析
（2）不唯一；图中标出所有点的位置见解析
【解析】
【分析】（1）根据两点间距离公式求出的长即可；连接，以点A为圆心，为半径画弧，交轴于一点，该点即为点C；
（2）根据点的纵坐标为1，且，且B点坐标为，得出点D的坐标为或，即可得出点D的位置不唯一．
【小问1详解】
解：线段的长为；
如图：连接，以点A为圆心，为半径画弧，交轴于一点，该点即为点C．

∵，
∴，
∴，
即点C坐标为为；
故答案为：．
【小问2详解】
解：∵点纵坐标为1，且，且B点坐标为，
∴点D的坐标为或，
∴点D的位置不唯一，如图所示：

故答案为：不唯一．
【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，平面直角坐标系中点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式．
23. 已知：实数a，b满足．
（1）可得___________，___________；
（2）若一个正实数m的两个平方根分别是和，求x和m的值．
【答案】（1），3
（2），
【解析】
【分析】（1）非负数之和等于0时，各项都等于0，得到，，即可求出a、b的值；
（2）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，即可求出x的值，由平方根的定义即可求出m的值．
【小问1详解】
解：∵，
∴，，
∴，，
故答案为：，3．
【小问2详解】
由题意可得：，
∴．
∵，，
∴，
∵
∴．
【点睛】本题考查非负数的性质：算术平方根、绝对值，平方根，关键是掌握平方根的性质，非负数的性质．
24. 如图，已知，．

（1）求证：；
（2）连接，恰好满足平分．若，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判断得出；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据垂直定义得出，根据平行线的性质得出，最后求出即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，垂线定义理解，补角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定．
25. 如图，线段AB，AD交于点A，C为直线AD上一点（不与点A，D重合）．过点C在BC的右侧作射线CE⊥BC，过点D作直线DF∥AB，交CE于点G（G与D不重合）．
（1）如图1，若点C在线段AD上，且∠BCA钝角．
①按要求补全图形；
②用等式表示∠B与∠CGD的数量关系，并证明．
（2）若点C在线段DA的延长线上，请直接写出∠B与∠CGD的数量关系_______．
【答案】（1）①见解析；②∠CGD-∠B=90°，理由见解析
（2）∠CGD+∠B=90°
【解析】
【分析】（1）依据过点C在BC的右侧作射线CE⊥BC，过点D作直线DF∥AB，交CE于点G，画出图形，根据平行线的性质即可得到∠1=∠B，再根据平行线的性质，即可得出∠2+∠HCG=180°，进而得出∠CGD-∠B=90°；
（2）过点C作CH∥AB，根据平行线的性质可得∠B=∠BCH，再根据平行线的性质即可得到∠CGD+∠HCG=180°，进而得出∠B+∠CGD=90°．
【小问1详解】
解：①补全图形如图所示：
②∠CGD-∠B=90°，理由如下：
如图：过点C作CH∥AB，
∴∠1=∠B，
∵AB∥DF，
∴CH∥DF，
∴∠2+∠HCG=180°，
∵CE⊥BC，
∴∠1+∠HCG=90°，
∴∠CGD+（90°-∠B）=180°，
即∠CGD-∠B=90°；
【小问2详解】
解：∠CGD+∠B=90°．
理由：如图，过点C作CH∥AB，
∴∠B=∠BCH，
∵AB∥DF，
∴CH∥DF，
∴∠CGD+∠HCG=180°，
又∵CE⊥CB，
∴∠BCG=90°，
∴∠BCH+90°+∠CGD=180°，
即∠B+∠CGD=90°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．
26. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，定义点A和点B的关联值如下：
若O，A，B在一条直线上；
若O，A，B不在一条直线上．
已知点A坐标为点B坐标为，回答下列问题：
（1）______；
（2）若，，则点P坐标为_______ ；
（3）在图中画出所有满足的点P，并说明理由．
（4）若一个正方形中任意一点P都满足，则称这个正方形为正规正方形．请直接写出包含点O的正规正方形面积的最大值：________．
【答案】（1）8 （2）或
（3）一三象限的角平分线，二四象限的角平分线，理由见解析
（4）2
【解析】
【分析】（1）根据题中的定义直接回答即可；
（2）由可得点P在x轴上，由可得，据此求出点P的坐标；
（3）根据可得点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上，据此画出图像即可；
（4）条件相当于，满足条件的点的全体是一个正方形，据此解答即可
【小问1详解】
∵点A坐标为点B坐标为，
∴，
故答案为：8；
【小问2详解】
∵，
∴点P在x轴上，
∵
∴，
设，
∴，
解得：，
∴P或
故答案为：或
【小问3详解】
点P在一三象限的角平分线，二四象限的角平分线上，作图如下：
理由：设点P坐标为，
那么，
所以．
因此或，
即为一三象限和二四象限的角平分线；
【小问4详解】
设点P坐标为，
∵，
∴，
∵满足条件的点的全体是一个正方形，且面积为2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查坐标与图形及坐标系中三角形面积问题，解题的关键是读懂“关联值”的定义，数形结合解决问题．