2024年河南省平顶山市部分学校中考数学二模试卷附解析

这是一份2024年河南省平顶山市部分学校中考数学二模试卷附解析，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重．如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（ ）
A．4×10﹣11B．4×10﹣10C．4×10﹣9D．0.4×10﹣9
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．分解因式：a3﹣a＝a（a2﹣1）
D．2a2•4a3＝8a5
5．（3分）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．B．C．D．1
6．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
7．（3分）y＝﹣（x+1）2的图象平移或翻折后经过坐标原点有以下4种方法：①向右平移1个单位长度；②向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度；③向上平移1个单位长度；④沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度．你认为小郑的4种方法中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8．（3分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若∠ACD＝20°，则∠ABE的度数（ ）
A．40°B．44°C．50°D．55°
9．（3分）小明使用图形计算器探究函数y＝的图象，他输入了一组a、b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a、b的值满足（ ）
A．a＜0，b＜0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＞0，b＞0
10．（3分）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝60°，，点P沿BD从点B匀速运动到点D．设点P的运动时间为x，PM+PN＝y，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（ ）
A．B．C．D．3
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ ．
12．（3分）某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率为 ．
13．（3分）如图，一个钟摆的摆长OB为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角∠BOD为2a，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差AC为 .（用含a的式子表示）
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0，x＞0）的图象分别与边AO，AB交于点C，D．若D为AB的中点，则的值等于 ．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形翻折，使边AD与边BC重合，展开后得到折痕MN，E是AD的中点，动点F从点D出发，沿D→C→B的方向在DC和CB上运动，将矩形沿EF翻折，点D的对应点为G，点C的对应点为C′，当点G恰好落在MN上时，点F运动的距离为 ．
三、解答题（8小题，共75分）
16．（9分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A1B1C1；
（2）在图2中，作△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB2C2；
（3）在图3中，找出格点D并画出直线AD，使直线AD将△ABC分成面积相等的两部分．
17．（9分）证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
18．（9分）为了解甲、乙两种型号的扫地机器人的扫地质量，工作人员从某批生产的甲、乙两种型号扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘指数（满分为10分，除尘指数越高，说明除尘效果越好），并对数据进行整理、描述和分析．
a．10台甲型号扫地机器人除尘指数记录数据：
9，7.7，8.5，8，8.3，7.5，7.8，8.1，8，6.8．
10台乙型号扫地机器人除尘指数记录数据：
6.5，8.5，7，6，9.1，7，8.8，7.8，7，8.3．
b．甲、乙两种型号扫地机器人除尘指数的折线统计图：
c．甲、乙两种型号扫地机器人除尘指数的统计量如下：
（ 1 ）表格中 m＝ ，n＝ ．根据以上信息，解答下列问题：
（2） ．（填“＞”“＝”或“＜”）
（3）综合上表中的统计量，你认为哪种型号的扫地机器人的除尘效果较好？请说明理由．
19．（9分）如图，直线y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（n，8），与x轴交于点B（﹣3，0），与y轴交于点C（0，6），点M（）为反比例函数图象上一动点（0＜a＜6），过点M作MN∥x轴交AB于点N，连接BM．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直线MN沿y轴方向平移，当△BMN的面积最大时，求点M的坐标．
20．（9分）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待m人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元．
（1）求甲旅行社一次最多能接待的人数；
（2）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x的合理范围．
21．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，以BD为直径作⊙O，AC是⊙O的切线，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E，交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证△ABF≌△ACD；
（2）请你添加一个条件 ，使四边形AFBO为菱形．
（3）在（2）的条件下，若 CD＝1，求BC的长．
22．（9分）综合与实践
23．（12分）在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答．
（1）观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点A（1，﹣3）作y轴的对称点A1，再分别作点A1关于直线y＝x和x轴的对称点A2，A3，则点A2可以看作是点A绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 ；点A3可以看作是点A关于点 的对称点．
（2）探究迁移
如图2，正方形ABCD中，P为直线AD下方一点，作点P关于直线CD的对称点P1，再分别作P1关于直线BD和直线AD的对称点P2和P3，连接PD，P2D，请仅就图2的情况解决以下问题：
①请判断∠PDP2的度数，并说明理由；
②若PD＝m，求P2，P3两点间的距离．
（3）拓展应用
在（2）的条件下，若，∠PDC＝30°，请直接写出P1P2的长．
2024年河南省平顶山市部分学校中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共30分）
1．（3分）如图，数轴上被墨水遮盖的数的绝对值可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】明确被覆盖数的范围，根据负数的绝对值取其相反数，得出答案．
【解答】解：由图可知，设被覆盖的数为a，则﹣4＜a＜﹣3，
∵当a＜0时，|a|＝﹣a，
∴3＜|a|＜4，
∵3＜＜4，满足题意，
故选：C．
2．（3分）杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成．秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重．如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看，可得它的主视图是．
故选：A．
3．（3分）“春江潮水连海平，海上明月共潮生”，水是诗人钟爱的意象，经测算，一个水分子的直径约为0.0000000004m，数据0.0000000004用科学记数法表示为（ ）
A．4×10﹣11B．4×10﹣10C．4×10﹣9D．0.4×10﹣9
【答案】B
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000000004＝4×10﹣10．
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．
B．
C．分解因式：a3﹣a＝a（a2﹣1）
D．2a2•4a3＝8a5
【答案】D
【分析】A．根据算术平方根的定义，进行计算，然后判断即可；
B．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
C．利用提公因式法和平方差公式分解因式，然后判断即可；
D．根据单项式乘单项式法则和同底数幂的乘法法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
B．∵，∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵a3﹣a＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），∴此选项的计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵2a2•4a3＝8a5，∴此选项的计算正确，故此选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）四边形不具有稳定性．四条边长都确定的四边形，当内角的大小发生变化时，其形状也随之改变．如图，改变正方形ABCD的内角，使正方形ABCD变为菱形ABC′D′，如果∠DAD′＝30°，那么菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比是（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】过D'作D'M⊥AB于M，求出正方形ABCD的面积＝AB2，再由含30°角的直角三角形的性质得AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'，然后求出菱形ABCD的面积＝AB×D'M＝AB2，即可求解．
【解答】解：过D'作D'M⊥AB于M，如图所示：
则∠D'MA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴正方形ABCD的面积＝AB2，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∵∠DAD′＝30°，
∴∠D'AM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠AD'M＝30°，
∴AM＝AD'，D'M＝AM＝AD'，
∵四边形ABC′D′是菱形，
∴AB＝AD'＝AD，菱形ABCD的面积＝AB×D'M＝AB2，
∴菱形ABC′D′与正方形ABCD的面积之比＝＝，
故选：A．
6．（3分）如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心O的光线相交于点P，点F为焦点．若∠1＝155°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）
A．45°B．50°C．55°D．60°
【答案】C
【分析】由平行线的性质求出∠OFB＝25°，由对顶角的性质得到∠POF＝∠2＝30°，由三角形外角的性质即可求出∠3的度数．
【解答】解：∵AB∥OF，
∴∠1+∠OFB＝180°，
∵∠1＝155°，
∴∠OFB＝25°，
∵∠POF＝∠2＝30°，
∴∠3＝∠POF+∠OFB＝30°+25°＝55°．
故选：C．
7．（3分）y＝﹣（x+1）2的图象平移或翻折后经过坐标原点有以下4种方法：①向右平移1个单位长度；②向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度；③向上平移1个单位长度；④沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度．你认为小郑的4种方法中正确的个数有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】A
【分析】分别求出平移或翻折后的解析式，将点（0，0）代入可求解．
【解答】解：y＝﹣（x+1）2向右平移1个单位长度，得y＝﹣（x+1﹣1）2＝﹣x2，当x＝0时，y＝0，所以经过坐标原点，故①是正确的；
y＝﹣（x+1）2向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得y＝﹣（x+1﹣3）2+4＝﹣（x﹣2）2+4，当x＝0时，y＝0，所以经过坐标原点，故②是正确的；
y＝﹣（x+1）2向上平移1个单位长度，得y＝﹣（x+1）2+1，当x＝0时，y＝0，所以经过坐标原点，故③是正确的；
y＝﹣（x+1）2沿x轴翻折，再向下平移1个单位长度，得y＝（x+1）2﹣1，当x＝0时，y＝0，所以经过坐标原点，故④是正确的；
∴小郑的4种方法中正确的个数有4个．
故选：A．
8．（3分）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，点E是弧BD的中点，连接AC、BE，若∠ACD＝20°，则∠ABE的度数（ ）
A．40°B．44°C．50°D．55°
【答案】D
【分析】连接OE，利用圆周角定理求得∠AOD＝40°，再求得∠DOE＝∠BOE＝70°，根据等边对等角即可求解．
【解答】解：连接OE，如图所示：
∵∠ACD＝20°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝40°，
∵点E是弧BD的中点，
∴，
∵OE＝OB，
∴，
故选：D．
9．（3分）小明使用图形计算器探究函数y＝的图象，他输入了一组a、b的值，得到了下面的函数图象，由学习函数的经验，可以推断出小明输入的a、b的值满足（ ）
A．a＜0，b＜0B．a＜0，b＞0C．a＞0，b＜0D．a＞0，b＞0
【答案】C
【分析】由图象可知，当x＞0时，y＞0，可知a＞0；根据函数解析式自变量的取值范围可以知道x≠b，结合图象可以知道函数的x取不到的值大概是在1的位置，所以b＜0．
【解答】解：由图象可知，当x＞0时，y＞0，
∴a＞0；
∵x≠﹣b，结合图象可以知道函数的x取不到的值大概是在1的位置，
∴b＜0．
故选：C．
10．（3分）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ACB＝60°，，点P沿BD从点B匀速运动到点D．设点P的运动时间为x，PM+PN＝y，图2是点P运动时y随x变化的函数关系图象，则图2中最低点的纵坐标a的值为（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】作点N关于BD的对称点N′，连接MN′交BD于点P，连接NN′，PN′，MN，由菱形的性质可知，点N与点N′关于BD对称，根据两点之间线段最短可知，当M、P、N′三点共线时，PM+PN的最小值为MN′，在Rt△BCO中，解直角三角形可得BO＝，OC＝，于是BD＝3，AC＝3，易证△AMN∽△ABD，△DNN′∽△DAC，由相似三角形的性质分别求出MN和NN′，易知MN∥BD，则△MNN′为直角三角形．再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，作点N关于BD的对称点N′，连接MN′交BD于点P，连接NN′，PN′，MN，
∵四边形ABCD为菱形，
∴点N′在CD上，AC⊥BD，
∴BD垂直平分NN′，
∴PN＝PN′，NN′∥AC，
∴PM+PN＝PM+PN′，
∴当M、P、N′三点共线时，PM+PN的最小值为MN′
在Rt△BCO中，BO＝BC•sin∠OCB＝3×＝，OC＝BC•cs∠OCB＝3×＝，
∴BD＝2BO＝3，AC＝2OC＝3，
∵，
∴，，
∵∠MAN＝∠BAD，MN∥BD，
∴△AMN∽△ABD，
∴＝，即，
∴MN＝，
∵NN′∥AC，
∴△DNN′∽△DAC，
∴＝，即，
∴NN′＝2，
∵MN∥BD，NN′⊥BD，
∴MN⊥NN′，即∠MNN′＝90°，
∴在Rt△MNN′中，MN′＝＝＝，
∴PM+PN的最小值为，即a＝．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（3分）计算：＝ 3 ．
【答案】3．
【分析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝﹣2﹣（﹣3）+2
＝﹣2+3+2
＝3．
故答案为：3．
12．（3分）某数学兴趣小组准备了4张地铁标志的卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同．把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率为 ．
【答案】．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：将这4张卡片分别记为A，B，C，D，
则正面图案是轴对称图形的卡片有：C，D．
列表如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的结果有：（A，C），（A，D），（B，C），（B，D），（C，A），（C，B），（D，A），（D，B），共8种，
∴这两张卡片的正面图案中只有一张是轴对称图形的概率为＝．
故答案为：．
13．（3分）如图，一个钟摆的摆长OB为1.5米，当钟摆向两边摆动时，摆角∠BOD为2a，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差AC为 （1.5﹣1.5csα）米 .（用含a的式子表示）
【答案】（1.5﹣1.5csα）米．
【分析】在Rt△BCO中，利用三角函数表示出OC的长即可解决问题．
【解答】解：由题知，
∠BOC＝．
在Rt△BOC中，
cs∠BOC＝，
所以OC＝1.5csα（米）．
又因为OA＝OB＝1.5（米），
所以AC＝OA﹣OC＝（1.5﹣1.5csα）米．
故答案为：（1.5﹣1.5csα）米．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OAB的直角顶点B在x轴的正半轴上，函数（k＞0，x＞0）的图象分别与边AO，AB交于点C，D．若D为AB的中点，则的值等于 ．
【答案】．
【分析】作CE⊥x轴于点E，通过证得△OCE∽△OAB，得到＝（）2，设A点坐标为（a，b），则S△OAB＝，利用线段中点坐标公式得到D点坐标为（a，），再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到k＝ab，利用反比例函数系数k的几何意义求得S△OCE＝＝ab，有进步即可求得的值．
【解答】解：作CE⊥x轴于点E，
∴△OCE∽△OAB，
∴＝（）2，
设A点坐标为（a，b），
∴S△OAB＝＝，
∵点D为斜边AB的中点，
∴D点坐标为（a，），
而点D在反比例函数（k＞0，x＞0）的图象上，
∴k＝a•b＝ab，
∴S△OCE＝＝ab，
∴＝＝（）2，
∴＝，
故答案为：．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形翻折，使边AD与边BC重合，展开后得到折痕MN，E是AD的中点，动点F从点D出发，沿D→C→B的方向在DC和CB上运动，将矩形沿EF翻折，点D的对应点为G，点C的对应点为C′，当点G恰好落在MN上时，点F运动的距离为 或9． ．
【答案】或9．
【分析】分两种情况讨论，点F在DC上和点F在BC上，构造直角三角形，运用勾股定理即可解答．
【解答】解：当点F在DC上时，过点E作EH⊥MN，如图：
∵E是中点，
∴DE＝EG＝HN＝5，EH＝AM＝AB＝3，
∴HG＝4，GN＝1，
设DF＝x，则GF＝x，FN＝3﹣x，
在Rt△GFN中，GF2＝FN2+GN2，
∴x2＝（3﹣x）2+12，
解得x＝，
当点F在BC上时，如图：
由题意得：△DEF≌△GEF，
∴EG＝ED＝AD＝5，
∵QG＝GP＝AM＝3，
∴EQ＝＝4，BP＝MG＝AQ＝AE﹣QE＝1，
∴CP＝BC﹣BP＝9，
设DF＝GF＝a，CF＝b，则PF＝9﹣b，
在Rt△GPF中，GF2＝PF2+GP2，
∴a2＝（9﹣b）2+32
在Rt△DFC中，DF2＝CF2+DC2，a2＝b2+62，
解得：b＝3，
点F运动的距离为：3+6＝9，
故答案为：或9．
三、解答题（8小题，共75分）
16．（9分）如图，在正方形网格中，△ABC的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中，作△ABC关于点O对称的△A1B1C1；
（2）在图2中，作△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上的△AB2C2；
（3）在图3中，找出格点D并画出直线AD，使直线AD将△ABC分成面积相等的两部分．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）见解答．
【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据题意，结合旋转的性质将△ABC绕点A逆时针旋转90°，由此作图即可．
（3）取格点D，使四边形ABDC为平行四边形，则AD平分线段BC，即直线AD将△ABC分成面积相等的两部分．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求．
（2）如图2，△AB2C2即为所求．
（3）如图3，取格点D，使四边形ABDC为平行四边形，作直线AD，交BC于点O，
∴BO＝CO，
∴△AOC与△AOB面积相等，
即直线AD将△ABC分成面积相等的两部分，
则直线AD即为所求．
17．（9分）证明：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠1，∠2＝∠B，根据三角形的内角和定理得出∠2+∠B+∠A+∠1＝180°，代入即可求出∠1+∠2＝90°，即可推出答案．
【解答】如图：已知：CD平分AB，且CD＝AD＝BD，
求证：△ABC是直角三角形．
证明：∵AD＝CD，
∴∠A＝∠1．
同理∠2＝∠B．
∵∠2+∠B+∠A+∠1＝180°，
即2（∠1+∠2）＝180°，
∴∠1+∠2＝90°，
即：∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
18．（9分）为了解甲、乙两种型号的扫地机器人的扫地质量，工作人员从某批生产的甲、乙两种型号扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记录下它们的除尘指数（满分为10分，除尘指数越高，说明除尘效果越好），并对数据进行整理、描述和分析．
a．10台甲型号扫地机器人除尘指数记录数据：
9，7.7，8.5，8，8.3，7.5，7.8，8.1，8，6.8．
10台乙型号扫地机器人除尘指数记录数据：
6.5，8.5，7，6，9.1，7，8.8，7.8，7，8.3．
b．甲、乙两种型号扫地机器人除尘指数的折线统计图：
c．甲、乙两种型号扫地机器人除尘指数的统计量如下：
（ 1 ）表格中 m＝ 8.05 ，n＝ 7 ．根据以上信息，解答下列问题：
（2） ＜ ．（填“＞”“＝”或“＜”）
（3）综合上表中的统计量，你认为哪种型号的扫地机器人的除尘效果较好？请说明理由．
【答案】（1）8.05，7；
（2）＜；
（3）甲型扫地机器人的除尘效果较好，理由见解答．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据甲，乙两种型号扫地机器人除尘指数的折线图的波动情况判断即可；
（3）根据算术平均数和方差的意义判断即可．
【解答】解：（1）把10台乙型号扫地机器人除尘指数记录数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为8，8.1，故中位数m＝＝8.05；
在10台乙型号扫地机器人除尘指数记录数据中，7出现的次数最多，故众数n＝7．
故答案为：8.05，7；
（2）由折线统计图可知，甲型扫地机器人的10个除尘指数的波动较小，乙型扫地机器人的10个除尘指数的波动较大，
故答案为：＜；
（3）甲型扫地机器人的除尘效果较好，理由如下：
因为甲种型号扫地机器人的平均数高于乙型号扫地机器人，且方差比乙型号扫地机器人小，所以在甲、乙两种型号扫地机器人中，甲型扫地机器人的性能稳定，所以甲型扫地机器人的除尘效果较好．
19．（9分）如图，直线y＝kx+b与反比例函数的图象交于点A（n，8），与x轴交于点B（﹣3，0），与y轴交于点C（0，6），点M（）为反比例函数图象上一动点（0＜a＜6），过点M作MN∥x轴交AB于点N，连接BM．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直线MN沿y轴方向平移，当△BMN的面积最大时，求点M的坐标．
【答案】（1）反比例函数的表达式为y＝；
（2）M（，3）．
【分析】（1）由题意可知OB＝3，OC＝6，OP＝n，AP＝8，得到BP＝n+3，通过证得△BOC∽△BPA，得到，求得A（1，8），然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）待定系数法求得直线AB的解析式，由M（a，），MN∥x轴，得到点N（，则MN＝，得到S△BMN＝＝（）•a＝﹣（a﹣3）2+，即可求得a＝3时，△BMN的面积最大，从而求得M（，3）．
【解答】解：（1）∵B（﹣3，0），C（0.6），A（n，8），
∴OB＝3，OC＝6，OP＝n，AP＝8，
∴BP＝n+3，
过点A作AP⊥x轴于点P，则OC∥AP，
∴△BOC∽△BPA，
∴，即，
解得n＝1，
∴A（1，8），
∵反比例函数的图象过点A，
∴m＝1×8＝8，
∴反比例函数的表达式为y＝；
（2）∵C（0，6）在直线AB上，
∴直线AB的解析式为y＝kx+6，
将B（﹣3，0）代入得，﹣3k+6＝0，
解得k＝2，
∴直线AB的解析式y＝2x+6，
∵M（，a），MN∥x轴，
∴点N（，
∴MN＝，
∴S△BMN＝＝（）•a＝﹣（a﹣3）2+，
∴当a＝3时，△BMN的面积最大，
∴此时M（，3）．
20．（9分）研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴某研学基地参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待m人（即额定数量），超过额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元；乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元．
（1）求甲旅行社一次最多能接待的人数；
（2）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x的合理范围．
【答案】（1）甲旅行社一次最多能接待30人；
（2）20≤x≤40．
【分析】（1）根据题意得出m＜35，再根据总费用为5700元．列出一元一次方程，解方程即可；
（2）根据要控制人均费用不超过165元，分两种情况，当0＜x≤30时，当x＞30时，分别列出一元一次不等式，解不等式，即可解决问题．
【解答】解：（1）若m≥35，则35名学生的总费用为：35×150+300＝5550（元）＜5700元，
∴m＜35，
根据题意得：300+150m+180（35﹣m）＝5700，
解得：m＝30，
答：甲旅行社一次最多能接待30人；
（2）当0＜x≤30时，150x+300≤165x，
解得：x≤20，
∴20≤x≤30；
当x＞30时，300+150×30+180（x﹣30）≤165x，
解得：x≤40，
∴30＜x≤40；
综上所述，每批组织人数x的合理范围为20≤x≤40．
21．（9分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D为BC边上一点，以BD为直径作⊙O，AC是⊙O的切线，过点B作BE⊥AC交CA的延长线于点E，交⊙O于点F，连接AF．
（1）求证△ABF≌△ACD；
（2）请你添加一个条件 BF＝OA（答案不唯一） ，使四边形AFBO为菱形．
（3）在（2）的条件下，若 CD＝1，求BC的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）BF＝OA（答案不唯一）；
（3）BC的长为3．
【分析】（1）连接OA，由AC是⊙O的切线，得OA⊥AC，故OA∥BE，有∠FBA＝∠OAB，而OA＝OB，有∠OAB＝∠OBA，又AB＝AC，知∠OBA＝∠C，故∠FBA＝∠C，根据四边形AFBD是⊙O的内接四边形，可得∠AFB＝∠ADC，即可证明△ABF≌△ACD（AAS）；
（2）可添加的条件是BF＝OA（答案不唯一）；
（3）连接OA，由△ABF≌△ACD，得AF＝AD，而四边形AFBO为菱形，知AF＝FB＝BO＝AO，即可得△AOD是等边三角形，∠ADO＝∠AOD＝∠OAD＝60°，可求出∠C＝∠ABO＝30°，∠DAC＝∠ADO﹣∠C＝60°﹣30°＝30°，从而AD＝CD＝1，从而可得BC的长为3．
【解答】（1）证明：连接OA，如图：
∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∵BE⊥AC，
∴OA∥BE，
∴∠FBA＝∠OAB，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠FBA＝∠OBA，
∵AB＝AC，
∴∠OBA＝∠C，
∴∠FBA＝∠C，
∵四边形AFBD是⊙O的内接四边形，
∴∠AFB＝∠ADC，
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ABF≌△ACD（AAS）；
（2）解：可添加的条件是BF＝OA，理由如下：
由（1）知，BF∥OA，
若BF＝OA，则四边形AFBO为平行四边形，
∵OA＝OB，
∴四边形AFBO为菱形；
故答案为：BF＝OA（答案不唯一）；
（3）解：连接OA，如图：
由（1）知，△ABF≌△ACD，
∴AF＝AD，
∵四边形AFBO为菱形，
∴AF＝FB＝BO＝AO，
∵BO＝DO，
∴AD＝AO＝DO，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠ADO＝∠AOD＝∠OAD＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠OAB＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABO＝30°，
∴∠DAC＝∠ADO﹣∠C＝60°﹣30°＝30°，
∴∠DAC＝∠C＝30°，
∴AD＝CD，
∵CD＝1，
∴AD＝CD＝1，
∴OD＝AD＝1＝OB，
∴BC＝OB+OD+CD＝1+1+1＝3，
∴BC的长为3．
22．（9分）综合与实践
【答案】（1），最大射程OC为6m；
（2）点B的坐标为（2，0）；
（3）．
【分析】（1）根据题意可得A（2，2）是外边缘抛物线的顶点，抛物线过点（0，1.5），用顶点式即可求解函数解析式，求出函数值为0时的x的值即可求喷出水的最大射程OC；
（2）根据y2对称轴为直线x＝2可得点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），则y2是由y1向左平移4m得到的，即可求出点B的坐标；
（3）根据EF＝0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得OD的最大值和最小值，从而得出答案．
【解答】解：（1）如图1，由题意得A（2，2）是外边缘抛物线的顶点，
设，
又∵抛物线过点（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴，
∴外边缘抛物线的函数解析式为，
当y＝0时，，解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴喷出水的最大射程OC为6m；
（2）∵y1对称轴为直线x＝2，
∴点（0，1.5）的对称点为（4，1.5），
∴y2是由y1向左平移4m得到的，
由（1）可得C（6，0），
∴点B的坐标为（2，0）；
（3）∵EF＝0.5，
∴点F的纵坐标为0.5，
∴，
解得 ，
∵x＞0，
∴，
当x＞2时，y随x的增大而减小，
∴当2≤x≤6时，要使y≥0.5，
则，
∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x＝0时，y＝1.5＞0.5，
∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则，
∵DE＝3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴OD的最大值为，再看下边缘抛物线，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是OD≥OB，
∴OD的最小值为2，
综上所述，OD的取值范围是．
23．（12分）在综合实践课上，老师设计下面问题，请你解答．
（1）观察发现
如图1，在平面直角坐标系中，过点A（1，﹣3）作y轴的对称点A1，再分别作点A1关于直线y＝x和x轴的对称点A2，A3，则点A2可以看作是点A绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为 90° ；点A3可以看作是点A关于点 O 的对称点．
（2）探究迁移
如图2，正方形ABCD中，P为直线AD下方一点，作点P关于直线CD的对称点P1，再分别作P1关于直线BD和直线AD的对称点P2和P3，连接PD，P2D，请仅就图2的情况解决以下问题：
①请判断∠PDP2的度数，并说明理由；
②若PD＝m，求P2，P3两点间的距离．
（3）拓展应用
在（2）的条件下，若，∠PDC＝30°，请直接写出P1P2的长．
【答案】（1）90°，O；
（2）①∠PDP2＝90°，理由见解答；②m；
（3）±1．
【分析】（1）观察图1即可求解；
（2）①证明∠BDC＝∠NDP1+∠P1DM＝α+β＝45°，得到∠PDP2＝∠NDP+∠NDP2＝2α+2β＝90°；
②由P2P3＝P3D＝DP＝m，即可求解；
（3）证明△P1P2N为等腰直角三角形，△DMN为等腰直角三角形，则P1N＝MN±P1M，即可求解．
【解答】解：（1）从图1看，则点A2可以看作是点A绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为90°；点A3可以看作是点A关于点O的对称点．
故答案为：90°，O；
（2）①∠PDP2＝90°，理由：
连接PP1交CD于点M，延长PM交DB于点N，
∵点P、P1关于CD对称，
则∠MDP1＝∠MDP2＝α，
同理∠NDP1＝∠NDP2＝β，
则∠BDC＝∠NDP1+∠P1DM＝α+β＝45°，
则∠PDP2＝∠NDP+∠NDP2＝2α+2β＝90°；
②如图，由（1）知，DP1＝DP3＝PD＝m，且∠P2DP3＝90°，
则P2P3＝P3D＝DP＝m；
（3）当点P在CD的右侧时，
如图，从（1）知，PN∥AD，P2N∥CD，
则△P1P2N为等腰直角三角形，
由BD为正方形ABCD的对角线得，△DMN为等腰直角三角形，则DM＝MN，
则P1P2＝P1N，
当∠PDC＝30°＝∠P1DM，
在Rt△PDM中，DM＝PD•cs30°＝＝＝MN，PM＝PD＝＝P1M，
则P1N＝MN﹣P1M＝，
则P1P2＝P1N＝﹣1．
当点P在CD的左侧时，
同理可得：P1N＝MN+P1M＝，
则P1P2＝P1N＝+1．
综上，P1P2＝1．平均数
中位数
众数
方差
甲
7.97
m
8
乙
7.6
7.4
n
优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
信息1
如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．

信息2
如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．内边缘抛物线y2是由外边缘抛物线y1向左平移得到，外边抛物线y1最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．
问题解决
任务1
确定浇灌方式
（1）求外边缘抛物线y1的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）直接写出内边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标；
任务2
提倡有效浇灌
（3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．
A
B
C
D
A
（A，B）
（A，C）
（A，D）
B
（B，A）
（B，C）
（B，D）
C
（C，A）
（C，B）
（C，D）
D
（D，A）
（D，B）
（D，C）
平均数
中位数
众数
方差
甲
7.97
m
8
乙
7.6
7.4
n
优化洒水车为公路两侧绿化带浇水效率
信息1
如图1，洒水车沿着平行于公路路牙方向行驶，喷水口H离地竖直高度OH为1.5m．

信息2
如图2，可以把洒水车喷出水的内、外边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形DEFG，其水平宽度DE＝3m，竖直高度EF＝0.5m．内边缘抛物线y2是由外边缘抛物线y1向左平移得到，外边抛物线y1最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m．
问题解决
任务1
确定浇灌方式
（1）求外边缘抛物线y1的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；
（2）直接写出内边缘抛物线y2与x轴的正半轴交点B的坐标；
任务2
提倡有效浇灌
（3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求OD的取值范围．