2024年福建省高考数学一模试卷

这是一份2024年福建省高考数学一模试卷，共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）（2024•福建一模）已知，，则“”是“”的
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
2．（5分）（2024•锦州模拟）已知复数满足，在复平面内对应的点为，则
A．B．C．D．
3．（5分）（2024•福建一模）在一组样本数据，，，，，，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点，，2，，都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
A．B．1C．D．
4．（5分）（2024•福建一模）已知函数，，若，，使得，则的最小值为
A．B．C．D．
5．（5分）（2024•福建一模）在三棱锥中，平面，底面为正三角形，三棱锥的体积为6，的外接圆半径为2，则该三棱锥的外接球的体积为
A．B．C．D．
6．（5分）（2024•福建一模）已知实数，满足，，则的最小值是
A．B．C．D．
7．（5分）（2024•福建一模）若，，则
A．B．C．D．
8．（5分）（2024•福建一模）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，，是圆上的两点，则的最大值为
A．B．C．D．
二、多选题
9．（5分）（2024•福建一模）若，则的值可以是
A．10B．12C．14D．15
10．（5分）（2024•福建一模）已知数列，1，2，1，3，5，1，4，7，10，，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则
A．
B．
C．存在正整数，使得，，成等比数列
D．有且仅有3个不同的正整数，使得
11．（5分）（2024•重庆模拟）数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线在平面直角坐标系中的方程为．当时，以下四个结论正确的是
A．曲线经过第三象限
B．曲线关于直线轴对称
C．对任意，曲线与直线一定有公共点
D．对任意，曲线与直线一定有公共点
三、填空题
12．（5分）（2024•福建一模）设函数的定义域为，若满足：①在内是单调增函数；②存在，，使得在，上的值域为，，那么就称是定义域为的“成功函数”，若函数是定义域为的“成功函数”，则的取值范围是 ．
13．（5分）（2024•福建一模）已知抛物线，斜率为的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，若，则 ．
14．（5分）（2024•福建一模）联想祖暅原理（夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等），请计算：由曲线，，直线，轴所围成的平面几何图形的面积等于 ．
四、解答题
15．（12分）（2024•福建一模）已知等比数列的公比为整数，且，，数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式．
16．（12分）（2024•福建一模）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求的最大值和取得最大值时相应的值．
17．（12分）（2024•福建一模）已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数，，的最大值为1，求实数的值；
（3）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
18．（12分）（2024•福建一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，侧棱和侧棱与底面所成的角均为，，为中点，为侧棱上一点，且平面．
（Ⅰ）请确定点的位置；
（Ⅱ）求平面与平面所成夹角的余弦值．
19．（12分）（2024•福建一模）已知抛物线的焦点为，准线为．若抛物线与直线交于，两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线与交于不同的两点，，为坐标原点，直线与交于点．连接，过点作的垂线与交于点．求证：，，三点共线．
2024年福建省高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题
1．（5分）（2024•福建一模）已知，，则“”是“”的
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【分析】令，，求导分析单调性，结合充要条件的定义，即可得出答案．
【解答】解：令，，
，
令，得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
当时，，即，
所以“”是“”的充分条件，
当，即时，与的大小关系不确定，
所以“”是“”的不必要条件．
故选：．
【点评】本题考查充要条件，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
2．（5分）（2024•锦州模拟）已知复数满足，在复平面内对应的点为，则
A．B．C．D．
【分析】由复数模的定义计算即可．
【解答】解：在复平面内对应的点为，则，
，即，所以有．
故选：．
【点评】本题主要考查复数模公式，属于基础题．
3．（5分）（2024•福建一模）在一组样本数据，，，，，，，，，，不全相等）的散点图中，若所有样本点，，2，，都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为
A．B．1C．D．
【分析】根据样本数据的所有样本点都在一条直线上，得出这组样本数据完全相关，再根据直线的斜率得出是正相关还是负相关即可．
【解答】解：这组样本数据的所有样本点，，2，，都在直线上，
这组样本数据完全相关，
即说明这组数据的样本完全负相关，其相关系数是．
故选：．
【点评】本题考查了相关系数以及正相关和负相关的应用问题，是基础题．
4．（5分）（2024•福建一模）已知函数，，若，，使得，则的最小值为
A．B．C．D．
【分析】由已知，，使得，可得，构造函数，，利用其单调性即可得出结论．
【解答】解：，，使得，
，
即，
令，，
则，
函数在上单调递增，
，即，
，
令，，
则，
可得时，函数取得极小值即最小值，．
故选：．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值及最值、构造法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
5．（5分）（2024•福建一模）在三棱锥中，平面，底面为正三角形，三棱锥的体积为6，的外接圆半径为2，则该三棱锥的外接球的体积为
A．B．C．D．
【分析】根据正弦定理求出底面边长，再利用棱锥体积公式求出，最后根据勾股定理求出外接球半径即可．
【解答】解：设底边正三角形的边长为，外接圆的半径为，外接圆的圆心为，三棱锥的外接球的球心为，
则根据正弦定理得，则，
平面，，
即，解得，
则外接球半径，
则外接球的体积为．
故选：．
【点评】本题考查多面体外接球体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
6．（5分）（2024•福建一模）已知实数，满足，，则的最小值是
A．B．C．D．
【分析】将已知式子化为，从而，再利用基本不等式求解．
【解答】解：因为实数，满足，，
所以，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值是．
故选：．
【点评】本题考查基本不等式的应用，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
7．（5分）（2024•福建一模）若，，则
A．B．C．D．
【分析】运用切化弦及二倍角公式化简即可求得，再结合同角三角函数平方关系即可求得．
【解答】解：因为，，
所以，
即，解得或（舍，
又因为，
所以．
故选：．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．
8．（5分）（2024•福建一模）在平面直角坐标系中，已知是圆上的一点，，是圆上的两点，则的最大值为
A．B．C．D．
【分析】判断的位置，然后求解夹角即可．
【解答】解：是圆上的一点，，是圆上的两点，
可知与圆距离最短，并且过与圆相切时，取得最大值，
此时，，可得，．
故选：．
【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
二、多选题
9．（5分）（2024•福建一模）若，则的值可以是
A．10B．12C．14D．15
【分析】利用组合数的性质建立方程即可求解．
【解答】解：由组合数性质知，或，且，，，
解得，或，都满足且．
故选：．
【点评】本题考查了组合数的性质，属于基础题．
10．（5分）（2024•福建一模）已知数列，1，2，1，3，5，1，4，7，10，，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则
A．
B．
C．存在正整数，使得，，成等比数列
D．有且仅有3个不同的正整数，使得
【分析】由题意将数列分组，第一组：1；第二组：1，2；第三组：1，3，5；以此类推，第组：1，，，，，，则每组构成以1为首项，为公差的等差数列，且项数为，结合等差数列的通项公式和前项和公式计算，依次判断选项即可．
【解答】解：将数列分组，第一组：1；第二组：1，2；第三组：1，3，5；以此类推，
第组：1，，，，，，
则每组构成以1为首项，为公差的等差数列，且项数为．
选项，由，知是数列的第6组数中的第5项，故 正确；
选项，由，知是数列的第组数中的第项，
此时该组数据是以1为首项，为公差的等差数列，
所以，故正确；
选项，因为，，是数列中的连续3项：
所以①若，，是数列中第组的连续3项，
则，，是等差数列，不是等比数列；
②若，，是数列中第组和第组的3项，
当在第组，，在第组，此时，
，，既不是等差数列也不是等比数列；
当，在第组，在第组，此时，
，，既不是等差数列也不是等比数列；
综上，不存在正整数，使得，，成等比数列，故错误；
选项，当，在第组，在第组，此时，
得，解得，
当在第组，，在第组，此时，
，即，此方程无整数解；
当，，是数列中第组的连续3项，
则，，是等差数列；
所以，设是第组数据中的第个数，则即，
所以解得，，或，．
综上所述，有且仅有3个不同的正整数，使得，故正确．
故选：．
【点评】本题考查了数列的相关知识，等差数列的通项公式，前项和公式，属难题．
11．（5分）（2024•重庆模拟）数学家笛卡尔研究了许多优美的曲线，如笛卡尔叶形线在平面直角坐标系中的方程为．当时，以下四个结论正确的是
A．曲线经过第三象限
B．曲线关于直线轴对称
C．对任意，曲线与直线一定有公共点
D．对任意，曲线与直线一定有公共点
【分析】根据题意，曲线的方程为，通过讨论、均小于0的情况，判断出项的正误；将点代入曲线的方程，化简整理后与原方程相同，从而判断出项的正误；根据曲线的方程与直线方程联解，通过方程组的解的情况判断它们公共点的个数，从而判断出、两项的正误．
【解答】解：当时，曲线的方程为．
对于，当且时，，故第三象限内的点不可能在曲线上，故项不正确；
对于，将点代入曲线的方程得，即，
故曲线关于直线对称，项正确；
对于，当时，联立，其中即，
将代入，整理得，即，与矛盾，故方程组无解，
因此，曲线与直线没有公共点，可知项不正确；
联立，可得，
设，则，
当时，，
在单调递增，单调递减，
可知的值域为，所以有解；
当时，存在，使成立；
当时，恒成立，可知在上单调递增，
而，，所以存在，使成立．
因此，曲线与直线一定有公共点，故项正确．
故选：．
【点评】本题主要考查了曲线与方程、平面直角坐标系中的轴对称问题、利用导数判断函数的零点等知识，属于中档题．
三、填空题
12．（5分）（2024•福建一模）设函数的定义域为，若满足：①在内是单调增函数；②存在，，使得在，上的值域为，，那么就称是定义域为的“成功函数”，若函数是定义域为的“成功函数”，则的取值范围是 ．
【分析】先根据对数型复合函数的单调性求得，然后根据“成功函数”的定义列方程，从而转化为二次方程有两正根的问题，利用二次函数根的分布列不等式求解即可．
【解答】解：依题意，函数且在定义域上为单调递增函数，则，而时，不满足条件（2），所以，
设存在，，使得在，上的值域为，，
所以，即，
所以，是方程的两个不等的实根，设，则，
所以方程等价为的有两个不等的正实根，
即，所以，解得．
故答案为：．
【点评】本题主要考查函数与方程的综合应用，属于中档题．
13．（5分）（2024•福建一模）已知抛物线，斜率为的直线与抛物线相交于，两点，与抛物线的准线相交于点，若，则 ．
【分析】过，两点分别作准线的垂线，根据△△，结合抛物线定义可得，再结合已知可得，由点向作垂线交于点，再在中，由余弦定理即可得解．
【解答】解：如图，过，两点分别作准线的垂线，垂足分别为，，
则△△，所以，
由抛物线定义得，，所以，
由，得，所以，
由点向作垂线交于点，
不妨令，则，
在直角三角形中，，
因为直线斜率为，所以，，
在中，由余弦定理可得，
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
14．（5分）（2024•福建一模）联想祖暅原理（夹在两个平行平面间的几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等），请计算：由曲线，，直线，轴所围成的平面几何图形的面积等于 8 ．
【分析】类比祖暅原理求长宽即可求曲边面积．
【解答】解：夹在直线，间的图形，
被平行于这两条直线的任意直线所截的直线长度都为4，
所求的面积和高为2长为4的矩形面积一样，是．
故答案为：8．
【点评】本题考查祖暅原理、定积分等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
四、解答题
15．（12分）（2024•福建一模）已知等比数列的公比为整数，且，，数列的前项和为．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的通项公式．
【分析】（1）根据等比数列通项的基本量运算计算即可；
（2）根据前项和及通项公式的关系得出通项公式．
【解答】解：（1）由题意，设等比数列的公比为，
则，，
，
，
化简整理，得，
解得（舍去），或，
，．
（2）由题意，设，
则数列的前项和，
则当时，，
当时，
，
当时，也满足上式，
，，
，，
，．
【点评】本题主要考查等比数列的基本运算，以及数列求通项公式．考查了方程思想，分类讨论，转化与化归思想，等比数列的通项公式的运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
16．（12分）（2024•福建一模）已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求的最大值和取得最大值时相应的值．
【分析】（1）根据正弦函数的单调性，利用整体代换法求解；
（2）根据正弦函数的最值，利用整体代换法求解．
【解答】解：（1）由，
得．
的单调递增区间是．
（2），
当，
即时，函数取得最大值2．
【点评】本题考查正弦函数的单调性与最值，属于中档题．
17．（12分）（2024•福建一模）已知函数是偶函数．
（1）求实数的值；
（2）若函数，，的最大值为1，求实数的值；
（3）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．
【分析】（1）由及对数函数的性质求解即可；
（2）由题意可得，，的最大值为1，令，，则，结合二次函数的性质求解即可；
（3）由题意可得方程有且只有一个实数根，即，结合指数函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）因为是偶函数，所以，
即对任意恒成立，
所以，，
解得；
（2）由题意，，的最大值为1，
令，，则，，的最大值为1，
①当，即时，当时，，所以；
②当，即时，时，，得（舍去）．
综上可知，实数；
（3）由（1）可得，
函数有且只有一个零点，即方程有且只有一个实数根．
由，得，即，
又，且在单调递减，所以，故．
所以的取值范围是．
【点评】本题考查函数奇偶性，最值及零点等相关知识，考查转化思想、逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
18．（12分）（2024•福建一模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，侧棱和侧棱与底面所成的角均为，，为中点，为侧棱上一点，且平面．
（Ⅰ）请确定点的位置；
（Ⅱ）求平面与平面所成夹角的余弦值．
【分析】取的中点，连接，则，过点作，交于点，则为的中点，推导出平面，平面，从而平面平面，由此能求出点的位置为的中点．
连接，则底面．以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成夹角的余弦值．
【解答】解：取的中点，连接，则，
过点作，交于点，则为的中点，
，且平面，平面，平面，
，平面，平面，平面，
又，平面平面，
又平面，平面，点的位置为的中点．
侧面底面，
侧棱和侧棱与底面所成的角分别为和，
则，所以为等边三角形，
连接，则底面．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，
，，0，，，，，，，，，，
则，，，．
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面与平面所成夹角为，
则，
平面与平面所成夹角的余弦值为．
【点评】本题线面平行的判定定理、平面与平面所成夹角的余弦值，考查推理论证能力、空间想象能力、运算求解能力，考查逻辑推理、直观想象、数学运算核心素养，是中档题．
19．（12分）（2024•福建一模）已知抛物线的焦点为，准线为．若抛物线与直线交于，两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过焦点的直线与交于不同的两点，，为坐标原点，直线与交于点．连接，过点作的垂线与交于点．求证：，，三点共线．
【分析】（1）联立直线与抛物线方程，再利用焦半径公式得到方程，解出即可；
（2）设直线的方程为，将其与抛物线方程联立得到韦达定理式，再求出，计算出，再得到直线的方程，再求出点坐标，最后计算斜率之差即可．
【解答】（1）解：设，，，，
联立方程，消去化简得，则△，
，
易知直线过焦点，
，解得，
抛物线的方程为；
（2）证明：如图，设直线的方程为，，，，，
联立，消去化简得，△，
则，，
直线的方程为，由，得，
令，则，则点的坐标为，
直线的斜率，则直线的斜率，
直线的方程为，
令，则，点的坐标为，
直线的斜率，
又直线的斜率，由得，
则，即，
，，三点共线．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于中档题．
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