2023年广东省高考数学一模试卷

2023年广东省高考数学一模试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则下列图中阴影部分可以表示集合的是　　

A． B． 

C． D．

2．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为　　

A． B． C． D．

3．已知函数若（a），则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

4．如图所示是中国年汽车进、出口量统计图，则下列结论错误的是　　

A．年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的 

B．从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量 

C．年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆 

D．年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差

5．在复平面内，已知复数满足为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为　　

A． B． C． D．

6．如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有　　

A．96种 B．64种 C．32种 D．16种

7．已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是　　

A． B． C． D．

8．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为　　

A．4 B． C． D．6

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是　　

A．小球运动的最高点与最低点的距离为 

B．小球经过往复运动一次 

C．时小球是自下往上运动 

D．当时，小球到达最低点

10．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则　　

A． 

B．与所成角为 

C．与平面所成角为 

D．与平面所成角的正切值为

11．已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是　　

A．若为的中线，则 

B．若为的角平分线，则 

C．存在直线，使得 

D．对于任意直线，都有

12．已知定义在上的函数，对于给定集合，若，，当时都有，则称是“封闭”函数．则下列命题正确的是　　

A．是“，封闭”函数 

B．定义在上的函数都是“封闭”函数 

C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数 

D．若是“，封闭”函数，则不一定是“封闭”函数

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

13．已知向量满足，则与的夹角为 　　．

14．在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为 　　．

15．已知是定义在上的奇函数，且在，上单调递减，为偶函数，若在，上恰好有4个不同的实数根，，，，则　　．

16．已知动圆经过点及原点，点是圆与圆的一个公共点，则当最小时，圆的半径为 　　．

《2023年高考“最后三十天”训练计划》第二十天——省级模拟好卷助攻卷

《小题训练计划》（三）省级模拟

2023年广东省高考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合，，则下列图中阴影部分可以表示集合的是　　

A． B． 

C． D．

【解析】：集合，，

或，，

对于，图中阴影部分可以表示集合为，故错误；

对于，图中阴影部分可以表示集合为，故正确；

对于，图中阴影部分可以表示集合为，故错误；

对于，图中阴影部分可以表示集合为，且，

，，

，且或，故错误．

故选：．

2．已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为　　

A． B． C． D．

【解析】：设圆锥和圆柱的底面半径为，

因为圆锥的轴截面是等边三角形，

所以圆锥的母线长为，

则圆锥和圆柱的高为，

所以圆锥的侧面积为，

圆柱的侧面积为，

所以圆锥和圆柱的侧面积之比为，

故选：．

3．已知函数若（a），则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】：根据函数的图象，可得在上单调递增，

若（a），则有，

，，

则实数的取值范围是．

故选：．

4．如图所示是中国年汽车进、出口量统计图，则下列结论错误的是　　

A．年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的 

B．从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量 

C．年中国汽车出口量的第60百分位数是106万辆 

D．年中国汽车进口量的方差大于出口量的方差

【解析】：由条形图可知年中国汽车进口量和出口量都是有增有减的，所以选项正确；

由条形图可知从2018年开始，中国汽车的出口量大于进口量，所以选项正确；

年中国汽车出口量由小到大排列为：72.3，73，89.7，92，99，104，108，115，121.5，212，因此第60百分位数是，所以选项正确；

由条形图可知年中国汽车进口量的波动小于出口量的波动，因此年中国汽车进口量的方差小于出口量的方差，所以选项不正确，

故选：．

5．在复平面内，已知复数满足为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值为　　

A． B． C． D．

【解析】：设，

，

，即，化简整理可得，，

复数的对应点的轨迹，

对应的点为点，

点与点之间距离的最小值为．

故选：．

6．如图，在两行三列的网格中放入标有数字1，2，3，4，5，6的六张卡片，每格只放一张卡片，则“只有中间一列两个数字之和为5”的不同的排法有　　

A．96种 B．64种 C．32种 D．16种

【解析】：根据题意，分3步进行，

第一步，要求“只有中间一列两个数字之和为5”，则中间的数字只能为两组数1，4或2，3中的一组，共有种排法；

第二步，排第一步中剩余的一组数，共有种排法；

第三步，排数字5和6，共有种排法；

由分步计数原理知，共有不同的排法种数为．

故选：．

7．已知双曲线，点的坐标为，若上的任意一点都满足，则的离心率取值范围是　　

A． B． C． D．

【解析】：设，，

由，代入不等式中，

整理得恒成立，

则，解得，

又，则；

故选：．

8．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为　　

A．4 B． C． D．6

【解析】：要使半球形容器内壁的半径的最小，只需保证小球与球各面（含球面部分）都相切，

此时，如上图示，为半球的球心，为其中一个小球球心，则是棱长为2的正方体的体对角线，且该小球与半球球面上的切点与，共线，

所以半球形容器内壁的半径的最小值为小球半径与长度之和，即，

故选：．

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．如图，弹簧下端悬挂着的小球做上下运动（忽略小球的大小），它在时刻相对于平衡位置的高度可以田确定，则下列说法正确的是　　

A．小球运动的最高点与最低点的距离为 

B．小球经过往复运动一次 

C．时小球是自下往上运动 

D．当时，小球到达最低点

【解析】：小球运动的最高点与最低点的距离为，所以选项错误；

因为，所以小球经过往复运动一次，因此选项正确；

当时，，所以是自下往上到最高点，再往下运动，因此选项错误；

当时，，所以选项正确．

故选：．

10．在四棱锥中，平面，四边形是正方形，若，则　　

A． 

B．与所成角为 

C．与平面所成角为 

D．与平面所成角的正切值为

【解析】：选项，因为底面，面，

所以，因为四边形是正方形，

所以，又，，平面，

所以平面，又面，

所以，选项正确；

选项，因为平面，又面，

所以，故选项错误；

选项，因为底面，面，

所以，又四边形是正方形，

所以，又，，平面，

所以平面，所以与平面所成角为，

易知，故选项正确；

选项，如图，取中点，连，，

因为底面，面，所以，

双四边形是正方形，所以，又，

所以平面，面，所以，

又，所以，，所以面，

所以与平面所成角为，

不妨设，易知，

在，，故选项正确．

故选：．

11．已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是　　

A．若为的中线，则 

B．若为的角平分线，则 

C．存在直线，使得 

D．对于任意直线，都有

【解析】：由题意，不妨令，，，都在第一象限，

又，，设，

联立，可得，

则△，即，

，，

，如图所示，

：若为的中线，则，

，所以，故，

，则，故正确；

：若为的角平分线，则，

作，垂直准线于，，则且，

，，

，将代入整理得：

，，

，故错误；

：若，即，即为等腰直角三角形，

此时，即，，，

，，，则此时，为同一点，不合题设，故错误；

，又，

结合，可得，即恒成立，故正确．

故选：．

12．已知定义在上的函数，对于给定集合，若，，当时都有，则称是“封闭”函数．则下列命题正确的是　　

A．是“，封闭”函数 

B．定义在上的函数都是“封闭”函数 

C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数 

D．若是“，封闭”函数，则不一定是“封闭”函数

【解析】：：当，时，，，而，，错误；

：对于区间，，使，即，必有，

所以定义在上的函数都是“封闭”函数，正确；

：对于区间，，使，则，

而是“封闭”函数，则，即，都有，

对于区间，，使，则，，

而，，，，

所以，

即，故，一定是“封闭”函数，正确；

：对于区间，，存在一个满足在，使，都有，且，，

此时，上述为一个“，封闭”函数，且该函数在，有恒成立，

对于区间，结合上述函数，，使，则，，，，

将上述各式，两边分别累加并消项得，故成立，

所以一定是“封闭”函数，故错误．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上.

13．已知向量满足，则与的夹角为 　　．

【解析】：由，

设与的夹角为，则，

因为，

所以．

故答案为：．

14．在平面直角坐标系中，等边三角形的边所在直线斜率为，则边所在直线斜率的一个可能值为 　或　．

【解析】：设直线的倾斜角为，由已知得，

设直线的倾斜角为，则，

因为在等边三角形中，，所以，

当，，

所以，

当，，

所以，

综上，或．

故答案为：或．

15．已知是定义在上的奇函数，且在，上单调递减，为偶函数，若在，上恰好有4个不同的实数根，，，，则　24　．

【解析】：由为偶函数，则，故，

又是定义在上的奇函数，则，

所以，故，即有，

综上，的周期为8，且关于对称的奇函数，

由在，上单调递减，结合上述分析知：在，上递增，，上递减，，上递增，

所以在，的大致草图如下：

要使在，上恰好有4个不同的实数根，即与有4个交点，

所以，必有两对交点分别关于，对称，则．

故答案为：24．

16．已知动圆经过点及原点，点是圆与圆的一个公共点，则当最小时，圆的半径为 　5　．

【解析】：如图：

记圆半径为，，则，，

所以，

当最小时，最大，此时两圆内切．

由已知设动圆的圆心为，

又圆心可得，

即，

解得，所以，即圆的半径为5．

故答案为：5．