2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练15导数的概念几何意义及运算

这是一份2025届高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用课时规范练15导数的概念几何意义及运算，共4页。试卷主要包含了已知曲线C1，已知过点A作曲线C等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)=-2ex图象的切线斜率为k,则k的最小值为( )
A.-2B.-1C.1D.2
2.已知函数f(x)的导数是f'(x),且满足f(x)=f'cs x+2x,则f(0)=( )
A.0B.1C.2D.4
3.曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示,则f'(1)-f(1)=( )
A.0B.2C.-2D.-1
4.已知P是曲线y=-sin x(x∈[0,π])上的动点,点Q在直线x-2y-6=0上运动,则当|PQ|取最小值时,点P的横坐标为( )
A.B.C.D.
5.(2023河南新乡一中模拟)在曲线y=2x3-的所有切线中,与直线y=7x+6平行的共有( )
A.4条B.3条C.2条D.1条
6.若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是 .
综合提升组
7.已知曲线C1:f(x)=ex+a和曲线C2:g(x)=ln(x+b)+a2(a,b∈R),若存在斜率为1的直线与C1,C2同时相切,则实数b的取值范围是( )
A.-,+∞B.[0,+∞)
C.(-∞,1]D.-∞,
8.若点P是曲线y=x2-ln x-1上任意一点,则点P到直线y=x-3的最小距离为( )
A.1B.C.D.2
9.(2023陕西宝鸡二模)若过点(0,2)可作曲线y=x3+3x2+ax+a-2的三条切线,则a的取值范围是( )
A.(-3,-1)B.(-2,2)
C.(4,5)D.(4,6)
10.(多选)已知过点A(a,0)作曲线C:y=的切线有且仅有两条,则实数a的值可以是( )
A.-2B.4C.0D.6
创新应用组
11.(2023湖南安仁一中模拟)若存在直线与曲线f(x)=x3-x,g(x)=x2-a2+a都相切,则a的取值范围是( )
A.[0,2]B.[-2,0]
C.-,2D.
12.已知函数f(x)=|ex-1|,x1<0,x2>0,函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))和点B(x2,f(x2))处的两条切线互相垂直,且分别交y轴于M,N两点,则的取值范围是 .
课时规范练15 导数的概念、几何意义及运算
1.B
解析f(x)=-2ex,则f'(x)=e2x-2ex,即k=(ex-1)2-1,当ex=1,即x=0时,k有最小值,最小值为-1,故选B.
2.B
解析因为f(x)=f'csx+2x,所以f'(x)=-f'sinx+2.因为f'=-f'sin+2,所以f'=1,所以f(x)=csx+2x,所以f(0)=1.故选B.
3.C
解析设曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=kx+b,则解得所以曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=x+2,所以f'(1)=1,f(1)=1+2=3,因此,f'(1)-f(1)=1-3=-2,故选C.
4.C
解析如图所示,若使|PQ|取得最小值,则曲线y=-sinx(x∈[0,π])在点P处的切线与直线x-2y-6=0平行.对函数y=-sinx求导得y'=-csx.令y'=,即csx=-,又0≤x≤π,所以x=,故选C.
5.B
解析由y'=6x2+,令6x2+=7,得x=±1或x=±,当x=1时,切点(1,1)不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意;当x=-1时,切点(-1,-1)在直线y=7x+6上,切线与直线y=7x+6重合,舍去;当x=时,切点,-不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意;当x=-时,切点-不在直线y=7x+6上,切线不与直线y=7x+6重合,满足题意.故在曲线y=2x3-的所有切线中,与直线y=7x+6平行的共有3条.故选B.
6.(-∞,-4)∪(0,+∞)
解析由题意可得,y'=ex+(x+a)ex=(1+x+a)ex.
设切点为(x0,(x0+a)),则切线方程为y-(x0+a)=(1+x0+a)(x-x0).
又切线过原点,∴-(x0+a)=-x0(1+x0+a),整理得+ax0-a=0.
∵曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,
∴方程+ax0-a=0有2个不同实数解,
∴Δ=a2+4a>0,解得a>0或a<-4.
故a的取值范围是(-∞,-4)∪(0,+∞).
7.D
解析f'(x)=ex,g'(x)=(x>-b),设斜率为1的切线在C1,C2上的切点横坐标分别为x1,x2.由题意知=1,即x1=0,x2=1-b,两点处的切线方程分别为y-(1+a)=x和y-a2=x-(1-b),故a+1=a2-1+b,即b=2+a-a2=-a-2+,故选D.
8.C
解析因为点P是曲线y=x2-lnx-1上任意一点,所以当点P处的切线和直线y=x-3平行时,点P到直线y=x-3的距离最小.直线y=x-3的斜率等于1,y=x2-lnx-1的导数为y'=2x-,令y'=1,可得x=1或x=-(舍去),所以与直线y=x-3平行,曲线y=x2-lnx-1的切线经过的切点坐标为(1,0),所以点P到直线y=x-3的最小距离为d=.故选C.
9.C
解析设切点为P(x0,+3+ax0+a-2),由题意y'=3x2+6x+a,则y'=3+6x0+a,所以在点P处的切线方程为y-(+3+ax0+a-2)=(3+6x0+a)(x-x0),由切线过点(0,2),得2-(+3+ax0+a-2)=(3+6x0+a)(0-x0),整理得2+3+4-a=0.设g(x)=2x3+3x2+4-a,g'(x)=6x2+6x,令g'(x)>0,解得x<-1或x>0,令g'(x)<0,解得-110.AD
解析设切点为x0,,则y',所以切线方程为y-(x-x0).由切线过点A(a,0),得-(a-x0),即方程-ax0+a=0有两个不同的实数解,则有Δ=a2-4a>0,解得a>4或a<0,故选AD.
11.D
解析设该直线与f(x)相切于点(x1,-x1),由题意f'(x)=3x2-1,所以f'(x1)=3-1,所以该切线方程为y-(-x1)=(3-1)(x-x1),即y=(3-1)x-2.设该直线与g(x)相切于点(x2,-a2+a),由题意g'(x)=2x,所以g'(x2)=2x2,所以该切线方程为y-(-a2+a)=2x2(x-x2),即y=2x2x--a2+a.由题意可得所以-a2+a=-2=2-2-2.令h(x)=x4-2x3-x2+,则h'(x)=9x3-6x2-3x=3x(3x+1)(x-1),所以当x∈-∞,-∪(0,1)时,h'(x)<0,当x∈-,0∪(1,+∞)时,h'(x)>0,所以h(x)在-∞,-和(0,1)上单调递减;在-,0和(1,+∞)上单调递增.
又h-=,h(1)=-1,所以h(x)∈[-1,+∞),即-a2+a≥-1,解得≤a≤.故选D.
12.(0,1)
解析当x<0时,f(x)=1-ex,则f'(x)=-ex.又x1<0,所以f(x1)=1-,f'(x1)=-.因此函数f(x)的图象在点A(x1,f(x1))处的切线方程为y-(1-)=-(x-x1),令x=0,得y=1-+x1,则点M的坐标为(0,1-+x1),又A(x1,1-),则|AM|=.当x>0时,f(x)=ex-1,则f'(x)=ex.又x2>0,所以f(x2)=-1,f'(x2)=,B(x2,-1).因此函数f(x)的图象在点B(x2,f(x2))处的切线方程为y-(-1)=(x-x2),令x=0,得y=-1-x2,则点N的坐标为(0,-1-x2).因为函数f(x)的图象在点A,B处的两条切线垂直,所以-=-1,则x2=-x1.所以|BN|=.所以,又x1<0,所以0<<1,则的取值范围是(0,1).