河北省石家庄河北师范大学附属实验中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（每小题3分，共48分）
1. 下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据二元一次方程组的定义逐项判断即可得到答案．
【详解】解：A.中含有三个未知数，故该方程不是二元一次方程组，不符合题意；
B.中含有两个未知数，并且是由两个一次方程构成，故该方程是二元一次方程，符合题意；
C.不是由两个一次方程构成，故该方程不是二元一次方程组，不符合题意；
D.，不是由两个一次方程构成，故该方程不是二元一次方程组，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组，熟练掌握此定义是解题的关键．
2. 如图，∠1＝∠2，由此推出的正确结论是（ ）
A. ∠3＝∠4B. ∠1＋∠3＝∠2＋∠4
C. AB∥CDD. AD∥BC
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵∠1＝∠2，
∴
故选C
【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定是解题的关键．
3. 蚕丝是大自然中的天然纤维，是中国古代文明产物之一，也成为散发着现代科学技术魅力的新材料．某蚕丝的直径大约是米，用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查科学记数法的表示方法，解题的关键是正确的值以及的值．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
【详解】解：
故选：B．
4. 下列各组数分别表示三条线段的长度，其中能构成三角形的是（）
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的知识点是三角形三边关系，解题关键是熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系对各选项进行逐一判断即可．
【详解】、，不能组成三角形；
、，能组成三角形；
、不能组成三角形；
、不能组成三角形；．
故选：
5. 若，则下列式子中错误的是（ ）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质,掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：A.根据不等式基本性质1，不等式的两边同时减2，不等号的方向不变，故选项正确，不符合题意；
B.根据不等式基本性质1，不等式的两边同时加1，不等号的方向不变，故选项正确，不符合题意；
C.根据不等式基本性质3，不等式的两边同时乘，不等号的方向改变，故选项错误，符合题意；
D.根据不等式基本性质2，不等式的两边同时除以5，不等号的方向不变，故选项正确，不符合题意．
故选：C．
6. 小明计划用元钱购买、两种笔记本，种每个元，种每个元，在钱全部用完的情况下，有多少种购买方案（ ）
A. 种B. 种C. 种D. 种
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程的应用，设购买、两种笔记本分别为本，本，根据题意，列出二元一次方程，求出、正整数解即可．
【详解】解：设购买、两种笔记本分别为本，本，
由题意得：，
，
、均为正整数，
当时，，当时，，
故有种购买方案，
故选：D．
7. 如图，点O在直线上，已知，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查垂直的定义，得出与互余，与互补是解题的关键．
利用与互余求出，利用与互补求出．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
故选C．
8. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式，掌握同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方的法则，完全平方公式是解决问题的关键．
利用同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，幂的乘方的法则，完全平方公式对每个选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴选项A不符合题意；
∵，
∴选项B不符合题意；
∵，
∴选项C符合题意；
∵，
∴选项D不符合题意；
故选：C．
9. 如图，直线，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和是解答本题的关键．如图，根据平行线的性质求出，然后根据三角形外角的性质得出答案．
【详解】解：如图．
∵，，
∴，
∵，，
∴−−，
故选：．
10. 在4，3，2，1，0，，中，能使不等式成立的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查求不等式的解集，正确解不等式是解题关键．直接解不等式，进而得出符合题意的个数．
【详解】解：，
解得：，
故符合题意的有：，，，共个．
故选：C．
11. 某校课外小组的学生分组课外活动，若每组7人，则余下3人；若每组8人，则少5人，求课外小组的人数x和应分成的组数y．依题意可得方程组( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等量关系：①若每组人，则余下人；②每组人，则少人，即可列出方程组．
【详解】根据若每组7人，则余下3人，得方程，
根据若每组8人，则少5人，得方程，
则可列方程组为
故选C．
【点睛】本题考查的是根据实际问题列方程组
12. 如图，给出下列四个条件：① ∠BAC=∠DCA；② ∠DAC=∠BCA；③ ∠ABD=∠CDB；④ ∠ADB=∠CBD，其中能使 AD∥BC的条件是（ ）
A. ①②B. ③④C. ②④D. ①③④
【答案】C
【解析】
【分析】欲证AD∥BC，在图中发现AD、BC被一直线所截，故可按同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，两直线平行补充条件．
【详解】解：①∠BAC=∠DCA，可得到AB∥CD，不能判断AD与BC平行，故错误；
②∠DAC=∠BCA，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，故正确；
③∠ABD=∠CDB，可得到AB∥CD，不能判断AD与BC平行，故错误；
④∠ADB=∠CBD，根据内错角相等，两直线平行可得AD∥BC，故正确，
故选：C．
【点睛】此题考查平行线判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
13. 已知，则等于（ ）
A. B. 20C. D. 21
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了求代数式的值，用了整体代入思想，解题的关键是把当作一个整体．
先将变形为，再将变形为，最后将整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴
，
故选：A．
14. 如果关于，的方程组的解是负数，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先解关于、的方程组得出，根据解是负数得出不等式组，解不等式组即可得出结论．
【详解】解：解方程组，得：，
根据题意，得：，
解不等式①，得：a＜8，
解不等式②，得：a＞﹣1，
则﹣1＜a＜8，
故选：D．
【点睛】本题考查了二元一次方程组与一元一次不等式组结合，正确求出方程组的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15. 如图，直线上有两点A、C，分别引两条射线、．，与在直线异侧．若，射线、分别绕A点，C点以1度/秒和6度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，当时间t的值为（ ）时，与平行．（ ）
A. 4秒B. 10秒C. 40秒D. 4或40秒
【答案】D
【解析】
【分析】分情况讨论：①与在两侧，分别表示出与，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②旋转到与都在的右侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③旋转到与都在的左侧，分别表示出与，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．
【详解】解：分三种情况：
如图①，与在两侧时，
∵，，
∴，，
要使，则，
即，
解得；
此时，
∴；
②旋转到与都在的右侧时，
∵，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
∴；
③旋转到与都在的左侧时，
∴，，
要使，则，
即，
解得，
此时，
而，
∴此情况不存在．
综上所述，当时间t的值为4秒或40秒时，与平行．
故选：D．
【点睛】本题考查了平行线的判定，读懂题意并熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，要注意分情况讨论．
16. 若不等式组的整数解共有两个，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，能根据不等式的整数解得出的范围是解此题的关键．先求出不等式组的解集，再求出不等式组的整数解，最后代入的范围即可．
详解】解：解不等式组得，
不等式组的整数解共有2个，
故为3，4，
，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共9分）
17. 已知：，，的值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂的除法，整体代入法求代数式的值，由，，得，利用底数幂的除法法则即可得解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
18. 若是关于的方程的解，则关于的不等式的最小整数解为_____．
【答案】2
【解析】
【分析】把代入方程，即可求得的值，然后把的值代入求解即可．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：．
则
解得：．
所以，最小整数解为2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，一元一次不等式的解法，熟练的解一元一次不等式是解本题的关键．
19. 在同一平面内，与的两边一边平行，另一边垂直，且比的3倍少10°．则______．
【答案】25°或50°
【解析】
【分析】根据平行线的性质以及垂直的定义即可求解．
【详解】解：∵与的两边一边平行，另一边垂直，
∴有两种情况，
如下图所示：
由题意得，AC∥BD，∠A＝3∠B-10°，BC⊥AD
∵AC∥BD
∴∠C＝∠B
∵BC⊥AD
∴∠A+∠C＝90°
∴3∠B-10°+∠B＝90°，
∴∠B=25°
如下图所示：
由题意得，AN∥BM，∠A＝3∠B-10°，BH⊥AM
∵AN∥BM
∴∠A+∠M＝180°，
∵BH⊥AM
∴∠B+∠M＝90°
∴∠A-∠B＝90°
∵∠A＝3∠B-10°
3∠B﹣10°﹣∠B=90°，
∴∠B＝50°，
综上所述，∠B的度数为25°或50°，
故答案：25°或50°．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题的关键是根据平行线的性质找出图中角度之间的关系．
三、解答题（共63分）
20. 计算：
（1）；
（2）；
（3），其中．
【答案】（1）
（2）
（3），
【解析】
【分析】（1）先根据零指数幂，负整数指数幂化简，再计算，即可求解；
（2）根据多项式乘单项式以及多项式乘多项式的法则计算，再合并即可求解；
（3）先根据平方差公式和完全平方公式计算，合并同类项后，代入数值求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
【小问3详解】
解：

，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂，整式的混合运算，乘法公式的应用以求代数式的值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
21. 如图，已知直线AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．
解：过点C作FG∥AB
因为FG∥AB，AB∥DE（已知）
所以FG∥DE（ ）
所以∠B＝∠ （ ）
∠CDE+∠DCF＝180°（ ）
又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°（已知）
所以∠ ＝80°（等量代换）
∠DCF＝40°（等式性质）
所以∠BCD＝ ．
【答案】平行于同一条直线的两条直线互相平行，BCF，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，BCF，40°．
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【详解】解：过点C作FG∥AB，
因为FG∥AB，AB∥DE，（已知）
所以 FG∥DE，（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
所以∠B＝∠BCF，（两直线平行，内错角相等 ）
∠CDE+∠DCF＝180°，（两直线平行，同旁内角互补）
又因为∠B＝80°，∠CDE＝140°，（已知）
所以∠BCF＝80°，（等量代换）
∠DCF＝40°，（等式性质）
所以∠BCD＝40°．
故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行，BCF，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，BCF，40°．
【点睛】本题利用了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．
22. 为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．
（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？
（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？
【答案】（1）甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元
（2）小妏最多能购买甲种有机用6吨
【解析】
【分析】（1）设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，根据甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元列出二元一次方程组求解即可；
（2）设沟买甲种有机肥m呠，则购买乙种有机肥吨，根据总费用不能超过5600元列不等式求解即可．
【小问1详解】
设甲种有机肥每吨x元，乙种有机肥每吨y元，
根据题意，得, 解得,
答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．
【小问2详解】
设沟买甲种有机肥m呠，则购买乙种有机肥吨，
根据题意，得，解得．
答：小姣最多能购买甲种有机用6吨．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确找出等量关系，列出分式方程，（2）正确找出等量关系，列出不等式和一次函数关系式．
23. 用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式，利用这些等式也可以求一些不规则图形的面积．
（1）由图1可得等式：________．
（2）如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为________．
（3）利用（2）中的结论解决以下问题：已知，，求的值；
（4）如图3，由两个边长分别为m，n的正方形拼在一起，点B，C，E在同一直线上，连接、，若，，则图3中阴影部分的面积为________．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）68．
【解析】
【分析】本题考查用面积表示代数恒等式，完全平方公式，用两种不同的方法表示同一图形面积是解本题关键．
（1）用两种方法表示同一个图形的面积即可；
（2）用两种方法表示同一个图形的面积即可；
（3）找到三个代数式的关系，再求值；
（4）先表示阴影部分面积，再求值．
【小问1详解】
解：图1正方形面积可以表示为：，又可表示为：，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
解：图2中正方形面积可以表示为：，
又可表示为：，
∴ ，
故答案为：；
【小问3详解】
解：由（2）知：，
∵，，
∴
；
【小问4详解】
解：∵，，
∴
；
故答案为：68．
24. 已知：EF⊥AB，CD⊥AB，∠EFB＝∠GDC，求证：∠AGD＝∠ACB．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据“垂直于同一直线的两直线互相平行”可知，再根据“两直线平行同位角相等”得出∠EFB＝∠DCF，从而得出∠DCF＝∠GDC，最后得出，即可证明∠AGD＝∠ACB．
【详解】证明：∵EF⊥AB，CD⊥AB，
∴，
∴∠EFB＝∠DCF，
∵∠EFB＝∠GDC，
∴∠DCF＝∠GDC，
∴，
∴∠AGD＝∠ACB．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定定理是解题的关键．平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；同一平面内，平行于同一直线的两直线互相平行；同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行．
25. 如图，，是的平分线，和的度数满足方程组，
（1）求和度数；
（2）求证：.
（3）求的度数.
【答案】（1）和的度数分别为和；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】根据，解二元一次方程组，求出和的度数；
根据平行线判定定理，判定；
由“是的平分线”：，再根据平行线判定定理，求出的度数.
【详解】解：（1）①②，得，
，代入①得
和的度数分别为和.
（2）
，
（3）是的平分线
，
【点睛】本题运用二元一次方程组给出已知条件，熟练掌握二元一次方程组的解法以及平行线相关定理是解题的关键.
26. 如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程．
（1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是___________．（填序号）
（2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，则这个关联方程可以是___________．（写出一个即可）
（3）若方程都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围．
【答案】（1）①；（2）；（3）
【解析】
【分析】（1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断；
（2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得；
（3）解一元一次方程得出方程的解，解不等式组得出：，根据不等式组整数解的确定可得答案．
【详解】解：（1）解不等式组得，
解①得：，，故①是不等式组的关联方程；
解②得：，不在内，故②不是不等式组的关联方程；
解③得：，不在内，故③不是不等式组的关联方程；
故答案为：①；
（2）解不等式组得：
因此不等式组的整数解可以为，
则该不等式的关联方程为．
故答案为：．
（3）解方程得，，解方程得，，
不等式组，得：，
由题意，和是不等式组的解，
，
解得，
的取值范围为．
【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程的能力．