专题八 解析几何——2023届高考数学公式定律速记清单

这是一份专题八 解析几何——2023届高考数学公式定律速记清单，共5页。试卷主要包含了直线的有关问题，圆的三种方程，直线与圆的位置关系，圆锥曲线中最值问题，圆锥曲线中的范围问题，圆锥曲线中的定点，定值问题等内容，欢迎下载使用。
1.直线的有关问题
(1)直线的斜率公式
①已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为．
②已知直线过点，则直线的斜率为.
(2)三种距离公式
①两点间的距离：若，
则．
②点到直线的距离：点到直线的距离．
③两平行线的距离：若直线l1，l2的方程分别为则两平行线的距离.
(3)直线与圆相交时弦长公式
设圆的半径为R，圆心到弦的距离为d，则弦长．
(4)直线方程的五种形式
①点斜式：．
②斜截式：．
③两点式：．
④截距式：．
⑤一般式： (A，B不同时为0)．
(5)直线的两种位置关系
①当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：
(ⅰ)两直线平行：．
(ⅱ)两直线垂直：．
②当两直线方程分别为时：
(ⅰ)l1与l2平行或重合．
(ⅱ)．
2.圆的三种方程
①圆的标准方程：．
②圆的一般方程：．
③圆的直径式方程： (圆的直径的两端点是)．
3.直线与圆的位置关系
（1）判断直线与圆的位置关系的方法
①代数方法(判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况)：相交，相离，相切．
②几何方法(比较圆心到直线的距离与半径的大小)：设圆心到直线的距离为d，则dr⇔相离，d＝r⇔相切．(主要掌握几何方法)．
（2）两圆圆心距与两圆半径之间的关系与两圆的位置关系
设圆O1半径为r1，圆O2半径为r2.
（二）圆锥曲线的概念与性质，与弦有关的计算问题
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：．
(2)双曲线：．
(3)抛物线：，点F不在直线l上，于M(l为抛物线的准线)．
2．圆锥曲线的重要性质
(1)椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
①在椭圆中：；离心率为．
②在双曲线中；离心率为．
(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标
①双曲线的渐近线方程为；焦点坐标．
②双曲线的渐近线方程为，焦点坐标．
(3)抛物线的焦点坐标与准线方程
①抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
②抛物线的焦点坐标为，准线方程为．
3.弦长问题
(1)直线与圆锥曲线相交时的弦长
斜率为k的直线与圆锥曲线交于点时，
(2)抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线焦点F的弦，若，
则，；
②弦长 (为弦AB的倾斜角)；③；④以弦AB为直径的圆与准线相切．
（三）直线与圆锥曲线位置关系的判断与证明问题
1．有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法
(1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．
(2)面积问题常采用S△＝×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解．
(3)在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．
2．弦中点问题的解决方法
(1)用“点差法”求解弦中点问题的解题步骤
(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．
3．与相交有关的向量问题的解决方法
在解决直线与圆锥曲线相交，所得弦端点的有关的向量问题时，一般需利用相应的知识，将该关系转化为端点坐标满足的数量关系，再将其用横(纵)坐标的方程表示，从而得到参数满足的数量关系，进而求解．
4.圆锥曲线中最值问题：主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等．
5.圆锥曲线中的范围问题：关键是选取合适的变量建立目标函数和不等关系．该问题主要有以下三种情况：
(1)距离型：若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线定义和平面几何性质结合起来求解；若是圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代入圆锥曲线方程中，用判别式等于零求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点，若是在圆或椭圆上，则可将点的坐标以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解．
(2)斜率、截距型：一般解法是将直线方程代入圆锥曲线方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的一部分，则需要结合图形具体分析，得出相应的不等关系．
(3)面积型：求面积型的最值，即求两个量的乘积的范围，可以考虑能否使用不等式求解，或者消元转化为某个参数的函数关系，用函数方法求解．
6.圆锥曲线中的定点，定值问题
定值、定点问题在变化中所表现出来的不变的量，用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点，解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
圆心距与两圆半径的关系
两圆的位置关系
内含
内切
相交
外切
外离