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北京市第五十七中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份北京市第五十七中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版），文件包含北京市第五十七中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题原卷版docx、北京市第五十七中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共40页， 欢迎下载使用。
考生须知
1.本试题共 8 页，28 道题，满分 100 分．考试时间 120 分钟．
2.试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3.答案一律填涂或书写在答题卡上，试卷上作答无效．
4.答题卡上，选择题用 2B铅笔作答，其他题用黑色字迹 签字笔作答．
一、选择题（本题共 20 分，每小题 2 分）
1. 下列各组数据能组成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 4，5，6
C. 8，15，17D. 11，12，13
2. 如图，的对角线相交于点O，且，．则的周长为（ ）
A. 13B. 8C. 7D. 5
3. 下列等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 图1是一面旗帜，图2是其示意图，四边形是平行四边形，点 E 在线段的延长线上，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在水塔 O 的东北方向 处有一抽水站 A，在水塔的东南方向 处有一建筑工地B，在间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，OB=OD，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 在中， D 为斜边的中点，且，则线段 的长是（ ）
A. 5B. 3C. D. 2
8. 如图，四边形和四边形都是矩形，且点A在上，设矩形和矩形的面积分别为，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
9. 图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是（ ）
A. 1B. C. 2D. 2
10. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（ ）
A. B. C. 8D. 9
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
11. 在中，若，则度数为_______．
12. 使代数式有意义的x的取值范围是_______．
13. 已知，化简_______．
14. 如图，在数轴上点A表示的实数是___________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则点B的坐标为___________．
16. 如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是______．
17. 如图，菱形ABCD的对角线AC， BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=8，∠BAD=60°，则线段EF长度的最小值为______________．
18. 如图，点 A，B，C 为平面内不在同一直线上的三点．点 D 为平面内一个动点．线段 ， ， ， 的中点分别为 M，N，P，Q 在点 D 的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形 平行四边形；
②只有有限个中点四边形 是菱形；
③存在无数个中点四边形 矩形；
④存在两个中点四边形 正方形．
所有正确结论的序号是____________．
三、解 答 题（本题共 64分，第 19、28每 题 8分，第 20、21、22每题 5分，第 23、24每题 6 分，第 25-27题每题7分）
19. 计算：
（1）
（2）
20. 下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程
已知：
求作： 边上的中线．
作法：如图，
（1）分别以点为圆心， 长为半径作弧，两弧相交于点；
（2）作直线，与交于点,所以线段就是所求作的中线．
根据上述的作法，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明： ∵
∴四边形是平行四边形（① ）
∵ 与交于点
∴（② ）
∴是的中线．
21. 如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形．
22. 如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的长度．
23. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求线段的长．
24. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在中，，分别交、于D、E，且，，，试求的值．
小明发现，过点E作，交的延长线于点F，构造，经过推理得到，再计算就能够使问题得到解决（如图②）．
（1）请你帮小明回答：的值为 ．
（2）参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知和矩形，与交于点G，，求度数．
25. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较 和 的大小，我们可以把 a 和 b 分别平方，，，则 ，∴
请利用“平方法”解决下面问题：
（1）比较 ， 大小，c d（填写，或者）．
（2）猜想 ， 之间的大小，并证明．
（3）已知，化简= （直接写出答案）．
26. 定义：平面内一点到点，点，点三个点的距离分别为、、，若有，则称点为，，三点关于点的勾股点．
（1）若点为，，三点关于点的勾股点，且，，则 ；
（2）如图1，与都是等腰直角三角形，，，点为边上一动点．求证：点为，，三点关于点的勾股点；
（3）如图2，为直角三角形，，点为，，三点关于点的勾股点，连接，，作，垂足为点，交于点，连接，且，，，则的长为 ．
27. 在中，，E是线段上一动点，连接．
（1）如图1，若，的面积为 ；
（2）如图2，若，将线段绕C，逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明；
（3）如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度．
28. 在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形M和图形N的“友谊关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，．
（1）若E为边上任意一点，则的最大值为______，最小值为______，因此（点O，） ．
（2）若为对角线上一点，为对角线上一点，其中．
①若，则（线段，）______；
②若（线段，），求m的取值范围 ；
（3）若的对角线交点为O，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含n的代数式表示． ．
考生须知
1.本试题共 8 页，28 道题，满分 100 分．考试时间 120 分钟．
2.试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．
3.答案一律填涂或书写在答题卡上，试卷上作答无效．
4.答题卡上，选择题用 2B铅笔作答，其他题用黑色字迹 签字笔作答．
一、选择题（本题共 20 分，每小题 2 分）
1. 下列各组数据能组成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 4，5，6
C. 8，15，17D. 11，12，13
2. 如图，的对角线相交于点O，且，．则的周长为（ ）
A. 13B. 8C. 7D. 5
3. 下列等式不成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 图1是一面旗帜，图2是其示意图，四边形是平行四边形，点 E 在线段的延长线上，若，则（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在水塔 O 的东北方向 处有一抽水站 A，在水塔的东南方向 处有一建筑工地B，在间建一条直水管，则水管的长为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，OB=OD，下列结论不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
7. 在中， D 为斜边的中点，且，则线段 的长是（ ）
A. 5B. 3C. D. 2
8. 如图，四边形和四边形都是矩形，且点A在上，设矩形和矩形的面积分别为，，则与的大小关系为（ ）
A. B. C. D. 不能确定
9. 图，正方形ABCD的面积为4，菱形AECF的面积为2，则EF的长是（ ）
A. 1B. C. 2D. 2
10. 如图，点E在正方形的边上，将绕点A顺时针旋转到的位置，连接，过点A作的垂线，垂足为点H，与交于点G，若，，则的长为（ ）
A. B. C. 8D. 9
二、填空题（本题共 16 分，每小题 2 分）
11. 在中，若，则度数为_______．
12. 使代数式有意义的x的取值范围是_______．
13. 已知，化简_______．
14. 如图，在数轴上点A表示的实数是___________．
15. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点D在x轴上，边在y轴上，若点A的坐标为，则点B的坐标为___________．
16. 如图，正方形中，，将沿对折至，延长交于点，刚好是边的中点，则的长是______．
17. 如图，菱形ABCD的对角线AC， BD相交于点O，P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AB=8，∠BAD=60°，则线段EF长度的最小值为______________．
18. 如图，点 A，B，C 为平面内不在同一直线上的三点．点 D 为平面内一个动点．线段 ， ， ， 的中点分别为 M，N，P，Q 在点 D 的运动过程中，有下列结论：
①存在无数个中点四边形 平行四边形；
②只有有限个中点四边形 是菱形；
③存在无数个中点四边形 矩形；
④存在两个中点四边形 正方形．
所有正确结论的序号是____________．
三、解 答 题（本题共 64分，第 19、28每 题 8分，第 20、21、22每题 5分，第 23、24每题 6 分，第 25-27题每题7分）
19. 计算：
（1）
（2）
20. 下面是“作三角形一边中线”的尺规作图过程
已知：
求作： 边上的中线．
作法：如图，
（1）分别以点为圆心， 长为半径作弧，两弧相交于点；
（2）作直线，与交于点,所以线段就是所求作的中线．
根据上述的作法，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明
证明： ∵
∴四边形是平行四边形（① ）
∵ 与交于点
∴（② ）
∴是的中线．
21. 如图，点E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的一点，连接DE，BF，若∠1＝∠2，求证：四边形是DEBF是平行四边形．
22. 如图，在△ABC中，点D，点E分别是边AC，AB的中点，点F在线段DE上，AF＝5，BF＝12，AB＝13，BC＝19，求DF的长度．
23. 如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求线段的长．
24. 阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图①，在中，，分别交、于D、E，且，，，试求的值．
小明发现，过点E作，交的延长线于点F，构造，经过推理得到，再计算就能够使问题得到解决（如图②）．
（1）请你帮小明回答：的值为 ．
（2）参考小明思考问题的方法，请你解决如下问题：
如图③，已知和矩形，与交于点G，，求度数．
25. 在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果，例如，比较 和 的大小，我们可以把 a 和 b 分别平方，，，则 ，∴
请利用“平方法”解决下面问题：
（1）比较 ， 大小，c d（填写，或者）．
（2）猜想 ， 之间的大小，并证明．
（3）已知，化简= （直接写出答案）．
26. 定义：平面内一点到点，点，点三个点的距离分别为、、，若有，则称点为，，三点关于点的勾股点．
（1）若点为，，三点关于点的勾股点，且，，则 ；
（2）如图1，与都是等腰直角三角形，，，点为边上一动点．求证：点为，，三点关于点的勾股点；
（3）如图2，为直角三角形，，点为，，三点关于点的勾股点，连接，，作，垂足为点，交于点，连接，且，，，则的长为 ．
27. 在中，，E是线段上一动点，连接．
（1）如图1，若，的面积为 ；
（2）如图2，若，将线段绕C，逆时针旋转得到线段，连接．若点G是线段的中点，过点G作交于点P，交于点H，证明；
（3）如图3，将沿翻折至，连接．D是线段上的点，且，直接写出当取得最小值时的长度．
28. 在平面直角坐标系中，对于没有公共点的两个图形M、N给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，若P、Q两点间距离的最大值和最小值分别为和，则称比值为图形M和图形N的“友谊关联值”，记为．已知顶点坐标为，，，．
（1）若E为边上任意一点，则的最大值为______，最小值为______，因此（点O，） ．
（2）若为对角线上一点，为对角线上一点，其中．
①若，则（线段，）______；
②若（线段，），求m的取值范围 ；
（3）若的对角线交点为O，且顶点在直线上，顶点在直线上，其中，请直接用含n的代数式表示． ．
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