2024年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷

这是一份2024年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷，共35页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（ ）
A．B．﹣1C．0.5D．4
2．（3分）国家统计局2024年2月29日发布了《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》．初步核算，全年国内生产总值为1260582亿元.1260582这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.1260582×107B．1.260582×106
C．12.60582×105D．126.0582×104
3．（3分）榫卯是我国古代木制建筑、家具等的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）已知a≠0，下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5B．a6﹣a3＝a3
C．（﹣2a2）3＝6a6D．a﹣1＝﹣a
5．（3分）如图，A、B、C、D四点均在⊙O上，若∠BOD＝100°，则∠C的度数为（ ）
A．100°B．110°C．130°D．140°
6．（3分）如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆的半径OA长为6米，∠OAB＝42°，则筒车盛水桶到达的最高点C到水面AB的距离是（ ）米．
A．6sin42°B．6+6sin42°C．6+6cs42°D．6+6tan42°
7．（3分）如图，在△ABC中，若∠BAC＝60°，∠B＝75°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．∠BAD＝30°B．EG＝ECC．AB＝ADD．∠EFD＝25°
8．（3分）如图，矩形ABCD的AB边在x轴正半轴上，CD边在第一象限，AB＝3，BC＝4．当点D在反比例函数的图象上时，BC的中点E也恰好在的图象上．则k的值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）因式分解：x2+2x＝ ．
10．（3分）位于天定山的长春冰雪新天地2023年底普通成人票价为150元/位，大学生票价为50元/位，则m位普通成人和n位大学生的总票价为 元．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个相等的实数根，则m的值是 ．
12．（3分）如图，将一副直角三角板按图中方式摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数为 ．
13．（3分）我国木雕艺术历史悠久，如图的实物木雕图可以看作扇环形，其中OC＝0.2m，OA＝0.8m，∠COD＝100°，则此木雕所用扇环形木板材的面积为 m2．（结果用分数表示，保留π）
14．（3分）掷实心球是中考体育考试项目之一．小明在训练馆试掷时，鹰眼系统记录了他掷出的实心球在空中运动的轨迹，运动轨迹是抛物线的一部分（如图）．根据运动的轨迹得到实心球运动的水平距离x（米）与竖直高度y（米）的数据如表①：
表①
表②
长春市中考体育考试评分标准（男生版）如表②，依此标准小明此次试掷的中考得分是 ．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值；2（a2﹣3）﹣（a+2）（a﹣2），其中．
16．（6分）今年是甲辰龙年，同时也是中国红十字会成立120周年，为此中国邮政发行了特种含龙图案的邮票2枚和纪念邮票1枚．如图，现有三张正面印有这三枚邮票图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外其余均相同．将这三张卡片正面向下洗匀，小宇从中随机抽取两张卡片．请用画树形图或列表的方法，求小宇抽出的两张卡片都是龙图案的概率．
17．（6分）刚过去的冬天最热门的地方莫过于哈尔滨冰雪大世界了，冰天雪地的环境吸引着众多游客的到来．春节期间李老师一家从长春乘坐高铁去哈尔滨，返回时乘坐大巴车．已知去时高铁行驶的路程为289km，比返回时大巴车行驶的路程多17km，而高铁的平均速度比大巴车平均速度的2倍还多11km，乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍．求大巴车的平均速度．
18．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点E是AC的中点．过点A作AG∥BC，作射线DE交AG于点F，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是矩形．
（2）若BC＝12，，直接写出矩形ADCF的面积．
19．（7分）3月11日邯郸3名初中生杀人埋尸案发生后，为加强学生法治观念，某校开展了“普法知识”竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：94，91，93，90；
八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“普法知识”竞赛中，哪个年级学生成绩更好？请说明理由．（至少写出两条理由）
（3）该校七年级有学生400名，八年级有学生500名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生的总人数．
20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中画△ABC的中线CD．
（2）在图②BC边上找一点E，连结AE，使AE平分△ABC的面积．
（3）在图③中△ABC的内部找一点F，使，
21．（8分）子涵同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．
【探究发现】子涵同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如表：
【建立模型】
（1）请根据表中信息，在如图②的平面直角坐标系中描出对应点，并指出这些点的分布规律．
（2）求y与x的函数关系式，并求当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度．
【结论应用】请帮子涵同学算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？
22．（9分）【问题提出】如图①，在正方形ABCD中，M、N分别是边AB和对角线BD上的点，∠MCN＝45°．从而△ACM∽△DCN，＝ ．
【思考探究】如图②，在矩形ABCD中，∠BAC＝60°，AB＝3，M、N分别是边DC和对角线BD上的点，∠MAN＝60°，若DM＝1，求BN的长．
【拓展延伸】如图③，在菱形ABCD中，AB＝13，对角线AC＝10，DE⊥BC交BC的延长线于点E，M、N分别是菱形高DE和对角线AC上的点，，AN＝3，直接写出DM的长．
23．（10分）如图，O为菱形ABCD对角线的交点，，．动点P从点A出发，先沿AD以每秒5个单位长度的速度运动，然后沿DB以每秒个单位长度的速度继续运动．当点P不与点A、D、O重合时，过点P作PQ∥DC交AC于点Q，分别过点P、Q作AD、PQ的垂线，这两垂线相交于点M．设点P的运动时间为t秒．
（1）求点D到BC的距离并写出∠DCB的正弦值．
（2）用含t的代数式表示PQ的长．
（3）当点O在△PQM的内部时，求t的取值范围．
（4）当点M在菱形ABCD的一边上时，直接写出t的值．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c是常数）经过点A（﹣3，﹣1）、B（0，2），点P（m，y1）在该抛物线上．
（1）求该抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标．
（2）当点P关于x轴的对称点在直线AB上时，求m的值．
（3）过点P作PQ⊥x轴于点Q，当m＞﹣2时，在线段AB上取点M，点N坐标为（0，1），当△QMN的周长最小时，求这个最小值以及点M的坐标．
（4）点 也在该抛物线上，当抛物线在PR两点之间部分（含P、R两点）对应的函数最大值与最小值差为时，直接写出所有满足条件的m的值．
2024年吉林省长春市南关区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各数在数轴上表示的点距离原点最近的是（ ）
A．B．﹣1C．0.5D．4
【分析】先估算的大小，然后根据绝对值的意义判断即可．
【解答】解：∵，
∴|0.5|＜|﹣1|＜＜|﹣4|，
∴在数轴上表示的点距离原点最近的是0.5，
故选：C．
2．（3分）国家统计局2024年2月29日发布了《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》．初步核算，全年国内生产总值为1260582亿元.1260582这个数用科学记数法表示为（ ）
A．0.1260582×107B．1.260582×106
C．12.60582×105D．126.0582×104
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：1260582用科学记数法表示为1.260582×106．
故选：B．
3．（3分）榫卯是我国古代木制建筑、家具等的主要结构方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】从正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案．
【解答】解：如图所示的几何体的主视图如下：
．
故选：A．
4．（3分）已知a≠0，下列计算正确的是（ ）
A．a3•a2＝a5B．a6﹣a3＝a3
C．（﹣2a2）3＝6a6D．a﹣1＝﹣a
【分析】A．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
B．先判断a6，a3是不是同类项，能否合并，然后判断即可；
C．根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，然后判断即可；
D．根据负整数指数幂的性质进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵a3•a2＝a5，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；
B．∵a6，a3不是同类项，不能合并，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵（﹣2a2）3＝﹣8a6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
5．（3分）如图，A、B、C、D四点均在⊙O上，若∠BOD＝100°，则∠C的度数为（ ）
A．100°B．110°C．130°D．140°
【分析】根据圆周角定理求出∠A，再根据圆内接四边形的性质求出∠C．
【解答】解：∵∠BOD＝100°，
∴∠A＝∠BOD＝×100°＝50°，则
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣50°＝130°，
故选：C．
6．（3分）如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中描绘了筒车的工作原理，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆的半径OA长为6米，∠OAB＝42°，则筒车盛水桶到达的最高点C到水面AB的距离是（ ）米．
A．6sin42°B．6+6sin42°C．6+6cs42°D．6+6tan42°
【分析】连接CO交AB于点D，根据题意可得：CD⊥AB，然后在Rt△AOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：连接CO交AB于点D，
由题意得：CD⊥AB，
在Rt△AOD中，∠OAB＝42°，OA＝6米，
∴OD＝AO•sin42°＝6sin42°（米），
∵OC＝6米，
∴CD＝OC+OD＝（6+6sin42°）米，
∴筒车盛水桶到达的最高点C到水面AB的距离是（6+6sin42°）米，
故选：B．
7．（3分）如图，在△ABC中，若∠BAC＝60°，∠B＝75°，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ）
A．∠BAD＝30°B．EG＝ECC．AB＝ADD．∠EFD＝25°
【分析】根据线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，直角三角形的性质判断即可．
【解答】解：A．由作图可知，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
故选项A正确，不符合题意；
B．由作图可知，GE是BC的垂直平分线，
∴∠GEC＝90°，
∵∠BAC＝60°，∠B＝75°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣75°＝45°，
∴EG＝EC，
故选项B正确，不符合题意；
C．∵∠B＝75°，∠BAD＝30°，
∴∠ADB＝75°，
∴∠B＝∠ADB，
∴AB＝AD，
故选项C正确，不符合题意；
D．∵∠FDE＝∠ADB＝75°，∠FED＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣75°＝15°，
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
8．（3分）如图，矩形ABCD的AB边在x轴正半轴上，CD边在第一象限，AB＝3，BC＝4．当点D在反比例函数的图象上时，BC的中点E也恰好在的图象上．则k的值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可．
【解答】解：设D点坐标为（m，4），则C（m+3，4），B（m+3，0），
∵E是BC的中点，
∴E（m+3，2），
∴4m＝2（m+3），解得m＝3，
∴D（3，4），
∴k＝12．
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．（3分）因式分解：x2+2x＝ x（x+2） ．
【分析】直接提取公因式x即可．
【解答】解：原式＝x（x+2），
故答案为：x（x+2）．
10．（3分）位于天定山的长春冰雪新天地2023年底普通成人票价为150元/位，大学生票价为50元/位，则m位普通成人和n位大学生的总票价为 （150m+50n） 元．
【分析】根据题意列出代数式即可．
【解答】解：∵普通成人票价为150元/位，大学生票价为50元/位，
∴m位普通成人和n位大学生的总票价为（150m+50n）元．
故答案为：（150m+50n）．
11．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个相等的实数根，则m的值是 4 ．
【分析】由于关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个相等的实数根，可知其判别式为0，据此列出关于m的方程，解答即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣3＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（m﹣3）＝0，即4﹣m＝0，
解得m＝4．
故答案为：4．
12．（3分）如图，将一副直角三角板按图中方式摆放，保持两条斜边互相平行，则∠1的度数为 75° ．
【分析】先利用平行线的性质可得∠A＝∠2＝45°，然后利用三角形的外角性质可得∠DCF＝15°，从而利用平角定义进行计算即可解答．
【解答】解：如图：
∵AB∥DE，
∴∠A＝∠2＝45°，
∵∠2是△DCF的一个外角，
∴∠DCF＝∠2﹣∠D＝45°﹣30°＝15°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠1＝180°﹣∠ACB﹣∠DCF＝180°﹣90°﹣15°＝75°，
故答案为：75°．
13．（3分）我国木雕艺术历史悠久，如图的实物木雕图可以看作扇环形，其中OC＝0.2m，OA＝0.8m，∠COD＝100°，则此木雕所用扇环形木板材的面积为 m2．（结果用分数表示，保留π）
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵OC＝0.2m，OA＝0.8m，∠COD＝100°，
∴S木雕＝S扇形AOB﹣S扇形COD
＝
＝（R2﹣r2）
＝×（0.82﹣0.22）
＝．
故答案为：．
14．（3分）掷实心球是中考体育考试项目之一．小明在训练馆试掷时，鹰眼系统记录了他掷出的实心球在空中运动的轨迹，运动轨迹是抛物线的一部分（如图）．根据运动的轨迹得到实心球运动的水平距离x（米）与竖直高度y（米）的数据如表①：
表①
表②
长春市中考体育考试评分标准（男生版）如表②，依此标准小明此次试掷的中考得分是 7.2 ．
【分析】依据题意，根据表①所给信息可得，抛物线的对称轴是直线x＝＝4，从而可得顶点为（4，6.25），故可设抛物线为y＝a（x﹣4）2+6.25，抛物线过（0，2.25），从而求出a后可得解析式，再令y＝0，进而可以判断得解．
【解答】解：由题意，根据表①所给信息可得，抛物线的对称轴是直线x＝＝4，
∴顶点为（4，6.25）．
∴可设抛物线为y＝a（x﹣4）2+6.25．
又抛物线过（0，2.25），
∴16a+6.25＝2.25．
∴a＝﹣．
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2+6.25．
又令y＝0，
∴0＝﹣（x﹣4）2+6.25．
∴x＝9或x＝﹣1（舍去）．
∴实心球的水平距离为9米．
∴小明此次试掷的中考得分是7.2．
故答案为：7.2．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．（6分）先化简，再求值；2（a2﹣3）﹣（a+2）（a﹣2），其中．
【分析】根据乘法分配律和平方差公式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将a的值代入化简后的式子计算即可．
【解答】解：2（a2﹣3）﹣（a+2）（a﹣2）
＝2a2﹣6﹣a2+4
＝a2﹣2，
当a＝时，原式＝（）2﹣2＝3．
16．（6分）今年是甲辰龙年，同时也是中国红十字会成立120周年，为此中国邮政发行了特种含龙图案的邮票2枚和纪念邮票1枚．如图，现有三张正面印有这三枚邮票图案的不透明卡片A、B、C，卡片除正面图案不同外其余均相同．将这三张卡片正面向下洗匀，小宇从中随机抽取两张卡片．请用画树形图或列表的方法，求小宇抽出的两张卡片都是龙图案的概率．
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及小宇抽出的两张卡片都是龙图案的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：列表如下：
共有6种等可能的结果，其中小宇抽出的两张卡片都是龙图案的结果有：（A，B），（B，A），共2种，
∴小宇抽出的两张卡片都是龙图案的概率为＝．
17．（6分）刚过去的冬天最热门的地方莫过于哈尔滨冰雪大世界了，冰天雪地的环境吸引着众多游客的到来．春节期间李老师一家从长春乘坐高铁去哈尔滨，返回时乘坐大巴车．已知去时高铁行驶的路程为289km，比返回时大巴车行驶的路程多17km，而高铁的平均速度比大巴车平均速度的2倍还多11km，乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍．求大巴车的平均速度．
【分析】设大巴车的平均速度为x km/h，则高铁的平均速度为（2x+11）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合乘坐大巴车所花时间是乘坐高铁时间的2倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【解答】解：设大巴车的平均速度为x km/h，则高铁的平均速度为（2x+11）km/h，
根据题意得：＝×2，
解得：x＝88，
经检验，x＝88是所列方程的解，且符合题意．
答：大巴车的平均速度为88km/h．
18．（7分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点E是AC的中点．过点A作AG∥BC，作射线DE交AG于点F，连结CF．
（1）求证：四边形ADCF是矩形．
（2）若BC＝12，，直接写出矩形ADCF的面积．
【分析】（1）先证明△EAF≌△ECD（ASA），得AF＝CD，再证明四边形ADCF是平行四边形，然后由等腰三角形的性质得AD⊥BC，即可得出结论；
（2）由等腰三角形的性质得AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝6，再由锐角三角函数的定义求出AD的长，然后由矩形的面积公式即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AG∥BC，
∴∠EAF＝∠ECD，
∵点E是AC的中点，
∴AE＝CE，
在△EAF和△ECD中，
，
∴△EAF≌△ECD（ASA），
∴AF＝CD，
∵AG∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴平行四边形ADCF是矩形；
（2）解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD＝BC＝×12＝6，
∵tan∠B＝＝，
∴AD＝BD＝×6＝10，
∴S矩形ADCF＝AD•CD＝10×6＝60．
19．（7分）3月11日邯郸3名初中生杀人埋尸案发生后，为加强学生法治观念，某校开展了“普法知识”竞赛，并从七、八年级各随机选取了20名同学的竞赛成绩进行了整理、描述和分析（成绩得分用x表示，其中A：0≤x＜85，B：85≤x＜90，C：90≤x＜95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息：
七年级C组同学的分数分别为：94，91，93，90；
八年级C组同学的分数分别为：91，92，93，93，94，94，94，94，94．
七、八年级选取的学生竞赛成绩统计表：
（1）填空：a＝ 92 ，b＝ 94 ，m＝ 60% ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“普法知识”竞赛中，哪个年级学生成绩更好？请说明理由．（至少写出两条理由）
（3）该校七年级有学生400名，八年级有学生500名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生的总人数．
【分析】（1）根据中位数和众数的定义解答即可求出a、b的值，用优秀的人数除以总人数即可得m的值；
（2）根据中位数和优秀率进行判断即可；
（3）用样本估计总体可得结果．
【解答】解：（1）中位数是第10位、第11位的平均数，观察条形统计图可得，中位数在C组，
∴a＝＝92，
观察扇形统计图和八年级C组同学的分数可得众数b＝94，
m＝×100%＝60%，
故答案为：92，94，60%；
（2）八年级的学生成绩更好，理由如下：
因为八年级学生的中位数和优秀率都高于七年级，所以八年级的学生成绩更好；
（3）400×60%+500×65%＝565（人），
答：估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生的总人数为565人．
20．（7分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的顶点均在格点上．在给定的网格中，只用无刻度的直尺，在图①、图②、图③中，按下列要求画图，只保留作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中画△ABC的中线CD．
（2）在图②BC边上找一点E，连结AE，使AE平分△ABC的面积．
（3）在图③中△ABC的内部找一点F，使，
【分析】（1）根据三角形中线的定义画出图形即可；
（2）作线段BC的垂直平分线MN，交BC于E，连接AE即可；
（3）取格点D，作BC的垂直平分线交BC于K，连接AK，CD交于F，则，
【解答】解：（1）如图①，取格点F、G，连接FG交AB于点D，连接CD，
点D及△ACD就是所求的图形．
理由：连接AF，则AF∥BG，AF＝BG，
∴∠AFD＝∠BGD，
在△ADF和△BDG中，
，
∴△ADF≌△BDG（AAS），
∴AD＝BD＝AB；
（2）线段BC的垂直平分线MN，交BC于E，连接AE，线段AE即为所求；
理由：如图②，过A作AH⊥BC于H，
∵MN垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∵S△ABE＝，S△ACH＝，
∴S△ABE＝S△ACE，
∴AE平分△ABC的面积．
（3）如图③，取AB的中点D及格点K，连接CD、AK交于点F，连接BF，点F及△BCF就是所求的图形．
理由：如图①，∵△ADF≌△BDG，
∴FD＝GD，
∴点D为格点，
取格点I，连接DI，则DI∥CK，
∴△DFI∽△CFK，
∵DI＝1，CK＝2，IK＝AK，
∴，
∴FK＝IK＝AK＝AK，
∴S△BCF＝BC•FK＝BC×AK＝BC•AK＝S△ABC．
21．（8分）子涵同学在帮妈妈整理厨房时，想把一些规格相同的碗尽可能多地放入内侧高为35cm的柜子里．她把碗按如图那样整齐地叠放成一摞（如图①），但她不知道一摞最多叠放几个碗可以一次性放进柜子里．
【探究发现】子涵同学测量后发现，按这样叠放，这摞碗的总高度随着碗个数的变化而变化，记录的数据如表：
【建立模型】
（1）请根据表中信息，在如图②的平面直角坐标系中描出对应点，并指出这些点的分布规律．
（2）求y与x的函数关系式，并求当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度．
【结论应用】请帮子涵同学算一算，一摞最多能叠几个碗可以一次性放进柜子里？
【分析】（1）描点并连线，观察这些点的分布特点；
（2）利用待定系数法求出y与x的函数关系式，将x＝12代入函数关系式，求出对应y的值即可；
（3）将函数关系式代入y≤35，求出x的最大值即可．
【解答】解：（1）在平面直角坐标系中描点如图所示：
用光滑的曲线将这些点连起来，发现它们分布在同一条直线上．
（2）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将x＝1，y＝5.5和x＝2，y＝7代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴y＝1.5x+4，
当x＝12时，y＝1.5×12+4＝22．
∴y与x的函数关系式为y＝1.5x+4，当碗的个数量为12个时这摞碗的总高度为22cm．
（3）若能将碗一次性放进柜子里，则1.5x+4≤35，
解得x≤，
∵x为正整数，
∴x的最大值为20，
∴一摞最多能叠20个碗可以一次性放进柜子里．
22．（9分）【问题提出】如图①，在正方形ABCD中，M、N分别是边AB和对角线BD上的点，∠MCN＝45°．从而△ACM∽△DCN，＝ ．
【思考探究】如图②，在矩形ABCD中，∠BAC＝60°，AB＝3，M、N分别是边DC和对角线BD上的点，∠MAN＝60°，若DM＝1，求BN的长．
【拓展延伸】如图③，在菱形ABCD中，AB＝13，对角线AC＝10，DE⊥BC交BC的延长线于点E，M、N分别是菱形高DE和对角线AC上的点，，AN＝3，直接写出DM的长．
【分析】（1）由正方形的性质得AD＝DC＝AB＝CB，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，则AC＝DC，∠MAC＝∠NDC＝∠ACD＝45°，而∠MCN＝45°，所以∠ACM＝∠DCN＝45°﹣∠ACN，可证明△ACM∽△DCN，得＝＝，于是得到问题的答案；
（2）设AC交BD于点O，由矩形的性质得∠BAC＝60°，CD＝AB＝3，CD∥AB，∠ABC＝90°，OA＝OC，则OB＝OA＝AC，∠ACM＝∠BAC＝60°，＝cs60°＝，可证明△BAN∽△CAM，得＝＝，求得BN＝CM＝1；
（3）连接DB交AC于点P，由菱形的性质是CB＝AB，DB⊥AC，AP＝CP＝AC＝5，BP＝DP，则∠ABP＝∠DBE，BP＝＝12，求得DB＝24，再证明∠BAN＝∠BDM，由tan∠ABP＝tan∠MBN＝，推导出∠ABP＝∠MBN，则∠ABN＝∠DBM，即可证明△ABN∽△DBM，得＝，求得DM＝＝．
【解答】解：（1）如图①，∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC＝AB＝CB，∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝DC，∠MAC＝∠NDC＝∠ACD＝45°，
∵∠MCN＝45°，
∴∠ACM＝∠DCN＝45°﹣∠ACN，
∴△ACM∽△DCN，
∴＝＝，
故答案为：．
（2）如图②，设AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是矩形，∠BAC＝60°，AB＝3，
∴CD＝AB＝3，CD∥AB，∠ABC＝90°，OA＝OC，
∴OB＝OA＝AC，∠ACM＝∠BAC＝60°，＝cs60°＝，
∴∠ABN＝∠BAC＝60°，
∴∠ABN＝∠ACM，
∵∠MAN＝60°，DM＝1，
∴∠BAN＝∠CAM＝60°﹣∠CAN，CM＝CD﹣DM＝3﹣1＝2，
∴△BAN∽△CAM，
∴＝＝，
∴BN＝CM＝×2＝1，
∴BN的长为1．
（3）如图③，连接DB交AC于点P，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，AC＝10，AN＝3，
∴CB＝AB，DB⊥AC，AP＝CP＝AC＝×10＝5，BP＝DP，
∴∠ABP＝∠DBE，BP＝＝＝12，
∴DB＝2BP＝2×12＝24，
∵DE⊥BC交BC的延长线于点E，
∴∠APB＝∠E＝90°，
∵∠BAN+∠ABP＝90°，∠BDM+∠DBE＝90°，
∴∠BAN＝∠BDM，
∵tan∠ABP＝＝，tan∠MBN＝，
∴tan∠ABP＝tan∠MBN，
∴∠ABP＝∠MBN，
∴∠ABP﹣∠PBN＝∠MBN﹣∠PBN，
∴∠ABN＝∠DBM，
∴△ABN∽△DBM，
∴＝，
∴DM＝＝＝，
∴DM的长是．
23．（10分）如图，O为菱形ABCD对角线的交点，，．动点P从点A出发，先沿AD以每秒5个单位长度的速度运动，然后沿DB以每秒个单位长度的速度继续运动．当点P不与点A、D、O重合时，过点P作PQ∥DC交AC于点Q，分别过点P、Q作AD、PQ的垂线，这两垂线相交于点M．设点P的运动时间为t秒．
（1）求点D到BC的距离并写出∠DCB的正弦值．
（2）用含t的代数式表示PQ的长．
（3）当点O在△PQM的内部时，求t的取值范围．
（4）当点M在菱形ABCD的一边上时，直接写出t的值．
【分析】（1）如图1，过点D作DN⊥BC于N，先根据勾股定理得：BC＝5，最后利用面积法和正弦的定义可得结论；
（2）分两种情况：①当点P在边AD上时，如图2，根据等腰三角形的性质，判定和平行线的性质可得PQ＝AP＝5t；②当点P在对角线BD上时，如图3，利用平行线分线段成比例定理可得PQ的长；
（3）先计算分界点时t的值，当P在边AD上，且Q与O重合时，如图4，根据AP＝PD可得t＝；当P在边AD上，且点O在PM上，如图5，根据三角函数的定义可得t的值，从而得结论；
（4）存在三种情况：如图7，点M在边BC上，延长PQ交BC于K；如图8，点M在边AD上，延长PQ交AD于K；如图9，点M在边BC上，延长PQ交BC于K；
分别根据三角函数列式可解答．
【解答】解：（1）如图1，过点D作DN⊥BC于N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OC＝AC＝2，OB＝BD＝，DC＝BC＝AD，
由勾股定理得：BC＝＝5，
∴DC＝5，
∵S菱形ABCD＝•AC•BD＝BC•DN，
∴×4×＝5DN，
∴DN＝4，即点D到BC的距离是4，
在Rt△DCN中，sin∠DCB＝＝；
（2）分两种情况：
①当点P在边AD上时，如图2，
∴AP＝5t，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵PQ∥CD，
∴∠AQP＝∠DCA，
∴∠DAC＝∠AQP，
∴PQ＝AP＝5t；
②当点P在对角线OD上时，如图3，
∴DP＝（t﹣1），
∵OD＝，
∴OP＝OD﹣DP＝﹣（t﹣1）＝2﹣t，
∵PQ∥AC，
∴＝，
即＝，
∴PQ＝10﹣5t；
当点P在对角线OB上时，如图4，
同理得：PQ＝5t﹣10，
综上，PQ＝；
（3）当P在边AD上，且Q与O重合时，如图5，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，
∵PQ∥CD，
∴AP＝PD＝＝5t，
∴t＝；
当P在边AD上，且点O在PM上，如图6，
∵OP⊥AD，
∴∠APO＝90°，
∴cs∠DAO＝＝，
∴＝，
∴t＝，
综上，当点O在△PQM的内部时，t的取值范围是：＜t＜；
（4）如图7，点M在边BC上，延长PQ交BC于K，
∵PQ∥CD，AD∥BC，
∴四边形DPKC是平行四边形，
∴PK＝CD，
∵AP＝PQ＝5t，
∴KQ＝5﹣5t，
由（1）可知：tan∠QMK＝，
∴＝＝，
∴MQ＝，
∵PM⊥AD，
∴∠DPQ+∠MPQ＝90°，
∵PQ⊥MQ，
∴∠MQK＝90°＝∠QMK+∠MKQ，
∵AD∥BC，
∴∠DPQ＝∠MKQ，
∴∠MPQ＝∠QMK，
∴tan∠MPQ＝tan∠QMK，
∴＝，即＝，
∴t＝；
如图8，点M在边AD上，延长PQ交AD于K，
∵PQ∥CD∥AB，
∴＝，即＝，
∴DK＝，
∴AK＝KQ＝5﹣KD＝5﹣＝，
同理得：tan∠KMQ＝＝，
∴MQ＝KQ＝，
∵∠MPQ＝∠KMQ，
∴tan∠MPQ＝＝，
∴＝，
解得：t＝；
如图9，点M在边BC上，延长PQ交BC于K，
∵PQ∥CD，
∴＝，即＝，
∴CK＝，
∴CK＝KQ＝，
同理得：tan∠KMQ＝＝，
∴MQ＝KQ＝，
∴tan∠MPQ＝＝，
∴＝，
解得：t＝；
综上，t的值为或或．
24．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c（b、c是常数）经过点A（﹣3，﹣1）、B（0，2），点P（m，y1）在该抛物线上．
（1）求该抛物线对应的函数表达式并写出顶点的坐标．
（2）当点P关于x轴的对称点在直线AB上时，求m的值．
（3）过点P作PQ⊥x轴于点Q，当m＞﹣2时，在线段AB上取点M，点N坐标为（0，1），当△QMN的周长最小时，求这个最小值以及点M的坐标．
（4）点 也在该抛物线上，当抛物线在PR两点之间部分（含P、R两点）对应的函数最大值与最小值差为时，直接写出所有满足条件的m的值．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）将点P关于x轴的对称点为（m，m2+2m﹣2）代入直线AB的解析式即可；
（3）点N关于直线AB的对称点为E（﹣1，2），关于x轴的对称点F（0，﹣1），EF与AB的交点为M，与x轴的交点为Q时，△QMN的周长最小，最小值为MN+MQ+NQ＝EF＝，直线EF与直线AB的交点为M；
（4）①当m≤﹣2时，最大值为3，最小值为﹣m2﹣2m+2，可得m＝；②当﹣2＜m＜﹣时，最大值为﹣m2﹣m+2，最小值为﹣m2﹣2m+2，此时m不存在；③当﹣＜m＜﹣1时，最大值为﹣m2﹣2m+2，最小值为﹣m2﹣m+2，此时m不存在；④当﹣1≤m＜0时，最大值为3，最小值为﹣m2﹣m+2，解得m＝；⑤当m≥0时，最大值为3，最小值为﹣m2﹣2m+2，此时m无解．
【解答】解：（1）将点A（﹣3，﹣1）、B（0，2）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+2，
∵y＝﹣x2﹣2x+2＝﹣（x+1）2+3，
∴顶点为（﹣1，3）；
（2）∵点P（m，y1）在该抛物线上，
∴y1＝﹣m2﹣2m+2，
∴P（m，﹣m2﹣2m+2），
设直线AB的解析式为y＝kx+2，
∴﹣3k+2＝﹣1，
解得k＝1，
∴直线AB的解析式为y＝x+2，
∵点P关于x轴的对称点为（m，m2+2m﹣2），
∴m2+2m﹣2＝m+2，
解得m＝；
（3）点N关于直线AB的对称点为E（﹣1，2），关于x轴的对称点F（0，﹣1），EF与AB的交点为M，与x轴的交点为Q时，△QMN的周长最小，最小值为MN+MQ+NQ＝EF＝，
直线EF的解析式为y＝3x﹣1，
当3x﹣1＝x+2时，解得x＝﹣，
∴M（﹣，）；
（4）∵P、R在抛物线上，
∴P（m，﹣m2﹣2m+2），R（﹣m﹣2，﹣m2﹣m+2），
当P、R重合时，m＝﹣m﹣2，解得m＝﹣，
当P点与抛物线顶点重合时，m＝﹣1，当R点与抛物线顶点重合时，﹣m﹣2＝﹣1，解得m＝﹣2，
①当m≤﹣2时，最大值为3，最小值为﹣m2﹣2m+2，
∴﹣m＝3﹣（﹣m2﹣2m+2），
解得m＝或m＝（舍）；
②当﹣2＜m＜﹣时，最大值为﹣m2﹣m+2，最小值为﹣m2﹣2m+2，
∴﹣m＝﹣m2﹣m+2﹣（﹣m2﹣2m+2），
解得m＝0（舍）或m＝﹣（舍）；
③当﹣＜m＜﹣1时，最大值为﹣m2﹣2m+2，最小值为﹣m2﹣m+2，
∴﹣m＝（﹣m2﹣2m+2）﹣（﹣m2﹣m+2），
解得m＝0（舍）或m＝﹣（舍）；
④当﹣1≤m＜0时，最大值为3，最小值为﹣m2﹣m+2，
∴﹣m＝3﹣（﹣m2﹣m+2），
解得m＝或m＝（舍）；
⑤当m≥0时，最大值为3，最小值为﹣m2﹣2m+2，
∴m＝3﹣（﹣m2﹣2m+2），
此时方程无解；
综上所述：m的值为或．
水平距离x（米）
0
2
4
5
6
7
竖直高度y（米）
2.25
5.25
6.25
6
5.25
4
等级
单项得分
中考得分
掷实心球（米）
优秀
100
8.0
9.6
95
7.6
9.3
90
7.2
9
良好
85
6.8
8.7
80
6.4
8.4
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七
91
a
95
m
八
91
93
b
65%
碗的个数x（个）
1
2
3
4
5
这摞碗的总高度y（厘米）
5.5
7
8.5
10
11.5
水平距离x（米）
0
2
4
5
6
7
竖直高度y（米）
2.25
5.25
6.25
6
5.25
4
等级
单项得分
中考得分
掷实心球（米）
优秀
100
8.0
9.6
95
7.6
9.3
90
7.2
9
良好
85
6.8
8.7
80
6.4
8.4
A
B
C
A
（A，B）
（A，C）
B
（B，A）
（B，C）
C
（C，A）
（C，B）
年级
平均数
中位数
众数
优秀率
七
91
a
95
m
八
91
93
b
65%
碗的个数x（个）
1
2
3
4
5
这摞碗的总高度y（厘米）
5.5
7
8.5
10
11.5