01，山西省太原市第三十七中学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

这是一份01，山西省太原市第三十七中学校2023-2024学年八年级下学期月考数学试题，共19页。试卷主要包含了 如果，则必须满足， 不等式2x＜6的非负整数解为， 下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题（每小题3分，共30分）
1. 如图是屋架设计图的一部分，立柱垂直于横梁，，，则立柱的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据角所对的直角边等于斜边的一半即可求解，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∵，，
∴，
故选：．
2. 如果，则必须满足（ ）
A. B. C. D. 为任意数
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质，由可知，当不等式的两边同时乘以同一个正数时，有，即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：∵，
根据不等式的基本性质可知，当不等式的两边同时乘以同一个正数时，有，
∴，
故选：．
3. 不等式2x＜6的非负整数解为( )
A. 0，1，2B. 1，2C. 0，－1，－2D. 无数个
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：先求出不等式的解集，即可判断.
2x＜6，x＜3，非负整数解为0，1，2，故选A.
考点：本题考查的是不等式的解集
点评：解答本题的关键是熟练掌握一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 真命题的逆命题是真命题B. 每个定理都有逆定理
C. 每个命题都有逆命题D. 假命题的逆命题是假命题
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了命题的相关概念及定理，命题由题设和结论两部分组成，所以所有的命题都有逆命题，但是所有的定理不一定有逆定理，真命题的逆命题不一定是真命题，真命题的逆命题不一定是假命题，据此逐项判断即可，掌握命题、逆命题及逆定理的相关概念是解题的关键．
【详解】解：、真命题的逆命题不一定是真命题，此选项说法错误，不符合题意；
、每个定理都有逆命题，但不一定都有逆定理，此选项说法错误，不符合题意；
、每个命题都有逆命题，此选项说法正确，符合题意；
、假命题的逆命题不一定是假命题，此选项说法错误，不符合题意；
故选：．
5. 将不等式组的解集表示在数轴上，下面表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可求解，正确求出不等式组的解集是解题的关键．
【详解】解：，
解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的解集在数轴上表示为：
故选：．
6. 如图，直线过正方形的顶点，点到直线的距离分别是和，则正方形的边长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，得到，由勾股定理即可求出正方形的边长，证明得到是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵直线，直线，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴正方形的边长为，
故选：．
7. 如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠B=70°，则∠C的度数为（ ）

A. 35°B. 40°C. 45°D. 50°
【答案】A
【解析】
【详解】解：∵AB=AD,
∴∠ADB=∠B=70°.
∵AD=DC，
∴35°.
故选A.
8. 对于命题“如果，那么”，能说明它是假命题的反例是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据反例满足条件，不满足结论可对各选项进行判断．
详解】解：A．，则，，故不符合题意；
B．，则，故不符合题意；
C． ，有，但，可作为说明原命题是假命题的反例．
D．，则，故不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题的“真”与“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
9. 如图，已知∠BAC=∠DAE=90°，AB=AD，下列条件能使△ABC≌△ADE的是（ ）
A. ∠E=∠CB. AE=AC C. BC=DED. ABC三个答案都是
【答案】D
【解析】
【分析】△ABC与△ADE均是直角三角形，判定这一对三角形全等既能用SSS、ASA、AAS判定定理，也能用HL判定定理.
【详解】添加A选项中条件可用AAS判定两个三角形全等,符合题意；
添加B选项中条件可用SAS判定两个三角形全等,符合题意；
添加C选项中条件可用HL判定两个三角形全等,符合题意；
故选D．
10. 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，
∴，
∴BC边上的高．
∵AD平分∠BAC，
∴点D到AB、AC边的距离相等，设为h，
则，
解得，
，
解得．
故选A
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. 用反证法证明命题“三角形中至少有一个内角大于或等于”，第一步应假设_____________．
【答案】三角形的三个内角都小于
【解析】
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【详解】解：第一步应假设结论不成立，即三角形的三个内角都小于．
故答案为：三角形的三个内角都小于．
【点睛】本题考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
12. 命题“等腰三角形两底角相等”的逆命题是______、逆命题是______命题（填“真”或“假”）．
【答案】 ①. 两个角相等三角形是等腰三角形 ②. 真
【解析】
【分析】本题考查了命题，根据互逆命题的定义即可求解，掌握互逆命题的定义是解题的关键．
【详解】解：“等腰三角形两底角相等”的逆命题是“两个角相等三角形是等腰三角形”，逆命题是真命题，
故答案为：两个角相等三角形等腰三角形，真．
13. 已知一次函数图象如图所示，则不等式的解集是____________．

【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象可得y随x增大而减小，因此只需要找到函数值小于0时自变量的取值范围即可得到答案．
【详解】解：由函数图象可知，y随x增大而减小，且一次函数与x轴交于，
∴当，，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
14. 如图，在中，，，，平分交于点，则点到距离是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，等角对等边，角所对的直角边等于斜边的一半，过点作于，由，可得，由平分可得，即可得，进而得到，再根据角所对的直角边等于斜边的一半可得，掌握角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
【详解】解：如图，过点作于，则，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点到的距离是，
故答案为：．
15. 如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．
【答案】4
【解析】
【分析】从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．
【详解】解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE、ME．
∵∠BAC的平分线交BC于点D，
∴∠EAM=∠NAM，
在△AME与△AMN中， ，
∴△AME≌△AMN（SAS），
∴ME=MN．
∴BM+MN=BM+ME≥BE．
∵BM+MN有最小值．
当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，
又AB=4，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，
∴BE=4，
即BE取最小值为4，
∴BM+MN的最小值是4．
故答案为4．
【点睛】本题考查轴对称的应用．解题的关键是能够通过构造全等三角形，把BM+MN进行转化．构造法是初中解题中常用的一种方法，对于最值的求解是初中考查的重点也是难点．
三．解答题（6个小题，共55分）
16. 解下列不等式组，并把解集表示在数轴上．
（1）
（2）
【答案】（1），数轴表示见解析；
（2），数轴表示见解析．
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
（）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可；
（）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可得到不等式组的解集，再把解集在数轴上表示出来即可；
【小问1详解】
解：，
解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
【小问2详解】
解：解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示为：
17. 如图，点D、E在的边上，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了三线合一定理，过点A作C于P，利用三线合一得到P为及的中点，再根据线段之间的关系即可得证．
【详解】证明：如图，过点A作C于P．
∵
∴；
∵，
∴，
∴，
∴．
18. 如图，在△ABC中，AB=AC，AD是高，AM是△ABC外角∠CAE的平分线．
（1）用尺规作图方法，作∠ADC的平分线DN；（保留作图痕迹，不写作法和证明）
（2）设DN与AM交于点F，判断△ADF的形状．（只写结果）
【答案】（1）作图见解析；（2）△ADF是等腰直角三角形.
【解析】
【分析】（1）以D为圆心，以任意长为半径画弧，交AD于G，交DC于H，分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画弧，两弧交于N，作射线DN，交AM于F．
（2）由两个角平分线的性质，导出角的关系，从而求出∠FAD=×180°=90°，再得到∠CDF=∠AFD=∠ADF，进而推出AD=AF，即可得出答案．
【详解】解：（1）如图所示：
（2）△ADF的形状是等腰直角三角形，
理由是：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD，
∵AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠FAC，
∵∠FAD=∠FAC+∠DAC=∠EAC+∠BAC=×180°=90°，
即△ADF是直角三角形，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠EAC=2∠EAF=∠B+∠ACB，
∴∠EAF=∠B，
∴AF∥BC，
∴∠AFD=∠FDC，
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠FDC=∠AFD，
∴AD=AF，
即直角三角形ADF是等腰直角三角形．
19. 学校图书馆有万册图书需要搬迁，原准备每天在一个班级的劳动课上，安排一个小组同学帮助搬运图书，两天共搬了万册．如果要求在一周内搬完，设每个小组搬运图书数相同，那么在以后天内，每天至少安排几个小组？
【答案】个
【解析】
【分析】本题考查的是用一元一次不等式解决问题；设每天至少安排个小组，根据一个小组两天共搬了万册，要求在一周内搬完万册，即可列出不等式，解出即可
【详解】解：
设每天至少安排个小组，由题意得
，
解得，
∵x为整数，
∴x最小等于3，
答：每天至少安排个小组．
20. 暑假期间，两名家长计划带领若干名学生去旅游，他们联系了报价均为元的两家旅行社．经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费．乙旅行社的优惠条件是：家长学生都按八折收费．假设这两位家长带领名学生去旅游．
（1）分别写出甲、乙旅行社的收费（元）、（元）关于的函数关系式．
（2）他们应该选择哪家旅行社更合算？
【答案】（1），；
（2）当时，选择甲旅行社更合算；当时，两家旅行社收费相同；当时，选择乙旅行社更合算．
【解析】
【分析】（）根据题意写出（元）、（元）关于的函数关系式即可；
（）分、和三种情况计算即可求解；
本题考查了一次函数的实际应用，根据题意，正确得出函数关系式是解题的关键．
【小问1详解】
解：由题意可得，，
；
【小问2详解】
解：当时，即，
解得；
当时，即，
解得；
当时，即，
解得；
∴当时，选择甲旅行社更合算；当时，两家旅行社收费相同；当时，选择乙旅行社更合算．
21. 如图所示，在中，为的中点，，交的平分线于点，于点，交延长线于点．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】先分别证明，进而证明，由此即可证明．
【详解】证明：连接、，
，为中点，
∴垂直平分，

，
，，且平分，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
22. 【问题初探】
（1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：．
①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论；
②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论；
请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程；
【类比分析】
（2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答，
如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：；
【学以致用】
（3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系．
【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论；
②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论；
（2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论；
（3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）延长，取，连接，如图所示：
∵D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）延长，使，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等的三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，平行线的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握三角形全等的判定方法．