140，山东省威海市环翠区实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份140，山东省威海市环翠区实验中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列各式是最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，不是最简二次根式，不符合题意；
D、，不是最简二次根式，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
2. 下列关于的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：A、当时，该方程不是关于x的一元二次方程，故A不符合题意；
B、方程整理后不含有二次项，该方程不是关于x的一元二次方程，故B不符合题意；
C、该方程属于分式方程，不是关于x的一元二次方程，故C不符合题意；
D、符合一元二次方程定义，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一该试卷源自 每日更新，享更低价下载。元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
3. 关于的一元二次方程的解为，，则代数式的值为（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把代入方程求得，再解方程求得，将、的值代入求值即可．
【详解】解：将代入得：，
解得：，
的一元二次方程，
解得：，即，
将，代入，
得：，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
4. 用配方法解一元二次方程x2－8x＋11＝0，则方程可变形为（ ）
A. (x＋4)2＝5B. (x－4)2＝5C. (x＋8)2＝5D. (x－8)2＝5
【答案】B
【解析】
【分析】把常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，把方程变化为左边是完全平方的形式.
【详解】x2－8x＋11＝0
x2－8x＝－11
x2－8x+16＝－11+16
(x－4)2＝5
故选B.
【点睛】本题考查的是一元二次方程，熟练掌握配方法是解题的关键.
5. 不论x，y取何实数，代数式总是（ ）
A. 非负数B. 正数C. 负数D. 非正数
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式把原式变形为，据此可得答案．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴总是正数，
故选：B．
6. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把四个选项中的二次根式化简，再根据同类二次根式的定义进行选择即可．
【详解】A．，与是同类二次根式，故正确；
B．，与不是同类二次根式，故错误；
C．，与不是同类二次根式，故错误；
D．，与不是同类二次根式，故错误；
故选：A．
【点睛】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
7. 实数不能写成的形式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次根式的意义和性质进行化简即可判断.
【详解】A.==5，正确；
B.==5，正确；
C.=5，正确；
D. =-=-5，错误，
故选：D
【点睛】此题考查了二次根式的意义和性质，掌握和是解答此题的关键.
8. 菱形的对角线长分别是,则这个菱形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据菱形的面积公式：菱形面积=ab（a、b是两条对角线的长度）可得到答案．
【详解】菱形的面积：
故选：B．
【点睛】此题主要考查了菱形的面积公式，关键是熟练掌握面积公式．
9. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答．
【详解】解：A、与被开方数不同，不是同类二次根式；
B、与被开方数相同，同类二次根式；
C、与被开方数不同，不是同类二次根式；
D、与被开方数不同，不是同类二次根式．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．
10. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A. B. C. 4D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用菱形的面积等于两对角线之积的一半，求解菱形的面积，再利用等面积法求菱形的高即可．
【详解】解：记AC与BD的交点为，
菱形,



菱形的面积

菱形的面积


故选D．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，菱形的面积公式，勾股定理．理解菱形的对角线互相垂直平分和学会用等面积法是解题关键．
11. 化简（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次根式的性质分别化简即可．
【详解】解：由题意可得：≥0，
∴a≤0，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，化简时要注意符号．
12. 已知，化简二次根式的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查二次根式的性质和化简，根据，由，化简解答即可．
【详解】解：，
，
故选：B．
二．填空题
13 计算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】先化简二次根式，然后计算二次根式的除法、乘法运算，即可得到答案．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的除法和乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
14. 若最简二次根式与能合并，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得与是同类二次根式，并且被开方数相同，进而可得方程，再解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
15. 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ___．
【答案】＜且.
【解析】
【分析】由一元二次方程定义可得，再利用一元二次方程根的判别式列不等式＞再解不等式即可得到答案.
【详解】解： 关于x的一元二次方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，
且＞
由＞
可得＜
＜
综上：＜且，
故答案为：＜且.
【点睛】本题考查是一元二次方程的定义及一元二次方程根的判别式，掌握利用一元二次方程根的判别式求解字母系数的取值范围是解题的关键.
16. 已知，，则______．
【答案】4
【解析】
【分析】将提取公因式，再把，代入进行计算求解．
【详解】解：，，





．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了代数值求解，平方差公式以及二次根式的乘法和减法的运算，掌握二次根式乘法和减法的运算法则是解答关键．
17. 如图，四边形是正方形，以为边向外作等边，与相交于点M，则的度数是________°．
【答案】60
【解析】
【分析】易得与全等，，因此只要求出的度数即可．
【详解】解：连接，
四边形是正方形．
，．
又AM=AM
与全等．
．
，
．
，
．
，
．
故答案为：60．
【点睛】此题考查正方形的性质，三角形的外角的性质、三角形全等，解题的关键是熟练掌握正方形及等边三角形的性质，会运用其性质进行一些简单的转化．
18. 如图，在菱形中，，正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上，若正方形的周长为，则菱形的周长为 _____．
【答案】
【解析】
【分析】连接，根据菱形和正方形的性质可得、是等边三角形，推出，，进而得到，推出，，利用勾股定理求出，进而求出，然后利用线段的和差求出，即可求解．
【详解】解：如图，连接，
正方形的周长为，
，正方形的边长为，即，
四边形是菱形，
，，
，
，是等边三角形，
，
正方形的四个顶点分别在菱形的四条边上，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
由菱形和正方形的对称性得：，，
在中，由勾股定理得：，即，
，，
，
菱形的周长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，正方形的性质是解题的关键．
19. 如图，正方形ABCD是边长为1，点E是边BC上一动点（不与点B，C重合），过点E作EF⊥AE交正方形外角的平分线CF于点F，交CD于点G，连接AF．有下列结论：①AE＝EF；②CF＝BE；③∠DAF＝∠CEF；④△CEF面积的最大值为．其中正确的是 _____（把正确结论的序号都填上）
【答案】①②##②①
【解析】
【分析】在AB上取点H，使AH=EC，连接EH，然后证明△AGE和△ECF全等，再利用全等三角形的性质即可得出答案．
【详解】解：在AB上取点H，使AH=EC，连接EH，
∵∠HAE+∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°，
∴∠HAE=∠CEF，
又∵AH=CE，
∴BH=BE，
∴∠AHE=135°，
∵CF是正方形外角的平分线，
∴∠ECF=135°，
∴∠AHE=∠ECF，
在△AHE和△ECF中，
，
∴△AHE≌△ECF（ASA），
∴AE=EF，EH=CF，
∴①说法符合题意，
∵BE=BH，
∴EH=BE，
∴CF=BE，
∴②说法符合题意，
∵∠AHE=135°，
∴∠HAE+∠AEH=45°，
又∵AE=EF，
∴∠EAF=45°，
∴∠HAE+∠DAF=45°，
∴∠AEH=∠DAF，
∵∠AEH=∠EFC，
∴∠DAF=∠EFC，
∴③说法不符合题意，
∵△AHE≌△ECF，
∴S△AHE=S△CEF，
设AH=x，则S△AHE＝•x•(1−x)＝−x2+x=，
∴当x=时，S△AHE取最大值为，
∴④说法不合题意，
故答案为①②．
【点睛】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的应用，关键是要能作出辅助线EG，构造出全等的三角形，要牢记全等三角形的性质．
三、解答题
20. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）根据二次根式混合运算法则计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
21. 当时，求代数式 的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的混合运算先将化简，然后再代入所求式子进行计算即可．
【详解】解：∵
∴，，
∴
22. 如图，已知，在中，，平分，平分其外角，作于点E，求证：四边形是矩形．

【答案】证明见解析
【解析】
【分析】分别证明，，即可得出结论．
【详解】证明：∵，平分，
∴，而，
∴，
∵平分，平分其外角，
∴，，
∴，即，
∴四边形是矩形．
【点睛】本题考查的是矩形的判定，等腰三角形的性质，邻补角的角平分线的性质，熟记矩形的判定方法是解本题的关键．
23. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值．
【答案】（1），且
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知该一元二次方程根的判别式，即可列出关于k的不等式，解出k的解集．再根据一元二次方程的定义可知，即得出结果；
（2）由一元二次方程根与系数关系可得出，．再根据，即得出关于k的分式方程，解出k，再舍去不合题意的值即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴．
∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
∵方程为一元二次方程，
∴，
∴，且；
【小问2详解】
解：∵，
∴．
∴，．
∵，
∴，
解得：，
经检验都是原方程的根．
∵，且，
∴．
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，分式方程的应用等知识．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．
24. 近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
（1）请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
（2）如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】（1）这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
（2）从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【小问1详解】
解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
【小问2详解】
解：人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
25. 如图，在中，，，，对角线，交于点，将直线绕点顺时针旋转，分别交于，于点，．
（1）证明：当旋转角为时，四边形是平行四边形；
（2）试说明在旋转过程中，线段与总保持相等；
（3）在旋转过程中，四边形可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时绕点顺时针旋转的度数．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）四边形可以是菱形．理由见详解，旋转角为
【解析】
【分析】本题主要考查平行四边形的性质以及菱形的判定和性质；
（1）根据平行四边形的判定即可求证；
（2）根据三角形全等的性质即可求得其相等；
（3）根据菱形的判定及其性质求解即可．
【小问1详解】
证明：当时，，
又，
四边形为平行四边形．
【小问2详解】
证明：四边形为平行四边形，
．
．
【小问3详解】
四边形可以是菱形．
理由：如图，连接，

∵四边形为平行四边形，
∴，
由（2）知，得，
与互相平分．
当时，四边形为菱形．
在中，，
，又，
，
，
绕点顺时针旋转时，四边形为菱形．
26. 如图，菱形ABCD中，AB＝6cm，∠ADC＝60°，点E从点D出发，以1cm/s的速度沿射线DA运动，同时点F从点A出发，以1cm/s的速度沿射线AB运动，连接CE、CF和EF，设运动时间为t（s）．
（1）当t＝3s时，连接AC与EF交于点G，如图①所示，则AG＝ cm；
（2）当E、F分别在线段AD和AB上时，如图②所示，求证△CEF是等边三角形；
（3）当E、F分别运动到DA和AB的延长线上时，如图③所示，若CE＝cm，求t的值和点F到BC的距离．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.
【解析】
【分析】（1）想办法证明CE=CF，AE=AF，推出AC垂直平分线段EF，即可解决问题；
（2）如图②中，连接AC．只要证明△DCE≌△ACF即可解决问题；
（3）如图③中，连接AC，作CH⊥AB于H，FM⊥BC交CB的延长线于M．解直角三角形求出AF，FM即可解决问题.
【详解】（1）解：如图①中，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，
∴DA＝DC＝AB＝BC，
∴△ADC，△ABC第三等边三角形，
当t＝3时，AE＝DE＝3cm，AF＝BF＝3cm，
∵CA＝CD＝CB，
∴CE⊥AD，CF⊥AB，
∵∠CAB＝∠CAD，
∴CF＝CE，∵AE＝AF，
∴AC垂直平分线段EF，
∴∠AGF＝90°，
∵∠FAG＝60°，
∴∠AFG＝30°，
∴AG＝AF＝cm，
（2）如图②中，连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝60°，
∴DA＝DC＝AB＝BC，
∴△ADC，△ABC第三等边三角形，
∴∠D＝∠ACD＝∠CAF＝60°，DA＝AC，
∵DE＝AF，
∴△DCE≌△ACF，
∴CE＝CF，∠DCE＝∠ACF，
∴∠ECF＝∠ACD＝60°，
∴△ECF是等边三角形．
（3）如图③中，连接AC，作CH⊥AB于H，FM⊥BC交CB的延长线于M．
由（2）可知：△ECF是等边三角形，
∴CF＝CE＝3，
在Rt△BCH中，∵BC＝6，∠CBH＝60°，
∴BH＝3，CH＝3，
在Rt△CFH中，HF＝，
∴BF＝3﹣3，AF＝3+3，
∴t＝（3+3）s，
在Rt△BFM中，∵∠FBM＝∠ABC＝60°，BF＝3﹣3，
∴FM＝BF•sin60°＝．
【点睛】本题考查四边形综合题、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．