76，河南省郑州市二七区第五十七中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题

这是一份76，河南省郑州市二七区第五十七中学2023-2024学年八年级下学期第一次月考数学试题，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的）
1. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；因此此题可根据不等式的性质进行排除选项．
【详解】解：A、由可得，故不符合题意；
B、由可得，故符合题意；
C、由，但的大小不确定，所以不一定成立，故不符合题意；
D、由，当时，则，所以不一定成立，故不符合题意；
故选B．
2. 在平面直角坐标系中，已知点在第二象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：点在第二象限，
∴，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
数轴表示如下：

故选：B．
3. 三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个公园，要使公园到三个村庄的距离相等，那么这个公园应建的位置是的（ ）
A. 三条高线的交点B. 三边垂直平分线的交点
C. 三条角平分线的交点D. 三条中线的交点
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，掌握以上知识是解题的关键．三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，根据以上性质从而可得答案．
【详解】解：∵ 三角形三边垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等，
∴ 建造一座公园，且三个小区到公园距离相等，
则公园最适当的建造位置是在的三边垂直平分线的交点处．
故选：B．
4. 下列说法：①真命题的逆命题一定是真命题；
②等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合；
③如果a，b，c是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”．其中，正确的说法有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、勾股数、反证法的一般步骤判断即可．
【详解】解：①真命题的逆命题不一定是真命题，例如：对顶角相等是真命题，其逆命题相等角是对顶角是假命题，故①说法错误；
②等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，故②说法错误；
③如果a，b，c是一组勾股数，那么，，也是一组勾股数，故③说法正确；
④用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于”时，首先要假设“这个三角形中每一个内角都大于”，故④说法正确；
故正确的有③④共2个．
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断、反证法的应用，掌握逆命题的概念、等腰三角形的三线合一、勾股数、反证法的应用是解题的关键．
5. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为（ ）
A. 44°B. 66°C. 88°D. 92°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握等边对等角、全等三角形的判定定理和性质定理、三角形的外角的性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故选：D．
6. 如图，在中，，与的平分线交于点，过点作的平行线分别交、于点、，的周长是13，则的周长是（ ）

A. 18B. 19C. 20D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．根据角平分线的定义，得出，，再根据两直线平行，内错角相等，得出，，再根据等量代换，得出，，再根据等角对等边，得出，，再根据的周长是13，得出，再根据三角形的周长，即可得出的周长．
【详解】解：与的平分线交于点，
，，
又，
，，
，，
，，
的周长是13，
，
，
即，
又，
的周长为：．
故选：B
7. 如图，在中，，点E为边的中点，，交于点D，若，，则的长为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．连接，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【详解】解：连接，
∵点E为边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
8. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围．
【详解】解：由（1）得，，
由（2）得，，
故原不等式组的解集为：，
∵不等式组的正整数解有4个，
∴其整数解应为：3、4、5、6，
的取值范围是．
故选：D．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解，利用数轴就能直观的理解题意，列出关于m的不等式组，再借助数轴做出正确的取舍．
9. 如图，直线与交于点，则下列四个结论：①，；②当时，；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，根据正比例函数和一次函数的性质，结合图象判断即可，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断．
【详解】解：因为经过二，四象限，所以，经过一、二、三象限，所以，故①正确；
，当时，，故②错误；
结合图象可得，当时，直线的图象在的图象下方，，故③正确；
结合图象，当时，，，，，故④正确，
故选：C．
10. 如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，当三点共线，时，的值最小，利用所对直角边等于斜边一半求出，最后根据边长关系计算的长即可．
【详解】解：作E点关于的对称点，过作交于点F，交于点P，连接，
∴，,
∴，
当三点共线，时，的值最小，
∵是正三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11. 若是关于的一元一次不等式，则_________.
【答案】4
【解析】
【详解】分析：由一元一次不等式的定义可知，=1且≠0，解之可求出的值.
详解：由题意得，
=1且≠0，
解之得，
，
故答案为4.
点睛：本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式.
12. 如图，，，，是的平分线，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，直角三角形中30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握角平分线的性质是本题的关键．
【详解】解：，，
，
平分，
，
，
，
，，
，
,
在直角中，，，
．
故答案为：．
13. 不等式组无解，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式组无解的条件确定出m的范围即可．
【详解】不等式组整理得：，
由不等式组无解，得到，
解得：，
则的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的解集，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键．
14. 如图，在钝角中，已知为钝角，边，的垂直平分线分别交于点，，若，则的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】如图中，连接AD、AE．首先证明∠DAE=90°，易知∠DBA=∠DAB，∠EAC=∠C，根据三角形内角和定理可得，
推出，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，连接，．
∵，的垂直平分线分别交于点，，
∴，，∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理，根据线段垂直平分线作出辅助线，根据三角形内角和定理解决问题是关键．
15. 如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点作于点E，Q为延长线上一点，取，连接，交于，则的长为______．
【答案】##
【解析】
【分析】过作交于，得出等边三角形，推出，根据等腰三角形性质求出，证，推出，推出即可．
【详解】解：过作交于，如图所示：
，是等边三角形，
，，，，
是等边三角形，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点的应用；熟练掌握等边三角形的性质与判定，证明三角形全等是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16. 解不等式（组），并把解集表示在数轴上：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组和解一元一次不等式，熟练掌握相关运算步骤是解题的关键．
（1）先去括号，再移项，然后合并同类项，最后按照不等式的性质化简；
（2）分别解不等式组中的两个不等式，然后找出两组解集的公共部分即可．
【小问1详解】
解：
，
解集用数轴表示为：
【小问2详解】
解：
解不等式①得：
解不等式①得：
故不等式的解集为：；
解集用数轴表示为：
17. 如图，在中，，．
（1）请用尺规作图在平面内确定一点，使得点到、两边的距离相等，且点到，两点的距离也相等；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，求点到距离．
【答案】（1）答案见解析
（2）3
【解析】
【分析】本题考查了作图复杂作图，也考查了角平分线的性质和线段的垂直平分线的性质解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
（1）作的平分线和线段的垂直平分线，它们的交点为点；
（2）先计算，则，然后利用含30的直角三角形三边的关系确定点到的距离．
【小问1详解】
解：如图，点为所作；
【小问2详解】
过点作于，如图，
，，
，
点到、两边距离相等，
平分，
，
，
即点到的距离为3．
18. 如图，在中，，，分别是边，上一点，连接AD，DE，过点作于点F．已知，．求证：
（1）点在的平分线上；
（2）．
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质和角平分线的性质，关键是根据证明直角三角形的全等解答．
（1）利用证明，可得，根据，，即可得结论；
（2）根据证明，可得，然后利用线段的和差即可解决问题．
【小问1详解】
证明： ，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
点在的平分线上；
【小问2详解】
证明：在和中，
，
，
，
，
，
．
19. 某校实行学案式教学，需印制若干份教学学案．印刷厂有，甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示．

（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是__________，乙种收费方式的函数关系式是__________．
（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算．
【答案】（1）y=0.11x+6；y=0.12x（2）当100≤x<300时，选择乙种印刷方式较合算；当x=300时，选择甲、乙两种印刷方式都可以；当300【解析】
【分析】（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，直接运用待定系数法就可以求出结论；
（2）由（1）的解析式分三种情况进行讨论，当y1＞y2时，当y1=y2时，当y1＜y2时分别求出x的取值范围就可以得出选择方式．
【详解】（1）设甲种收费的函数关系式y1=kx+b，乙种收费的函数关系式是y2=k1x，由题意，得
，12=100k1，
解得：，k1=0.12，
∴y1=0.1x+6（x≥0），y2=0.12x（x≥0）；
（2）由题意，得
当y1＞y2时，0.1x+6＞0.12x，得x＜300；
当y1=y2时，0.1x+6=0.12x，得x=300；
当y1＜y2时，0.1x+6＜0.12x，得x＞300；
∴当100≤x＜300时，选择乙种方式合算；
当x=300时，甲、乙两种方式一样合算；
当300＜x≤450时，选择甲种方式合算．
答：印制100～300（含100）份学案，选择乙种印刷方式较合算，印制300份学案，甲、乙两种印刷方式都一样合算，印制300～450（含450）份学案，选择甲种印刷方式较合算．
【点睛】1．待定系数法求一次函数解析式；2．一次函数的应用．
20. 已知：如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点，平面内有一点，直线与x轴交于点．直线的解析式记作，直线BE解析式记作．
（1）求直线，的解析式；
（2）当______时，；
（3）在轴正半轴上有一动点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出的坐标．
【答案】（1）直线的解析式为；直线的解析式为
（2）
（3）点的坐标为，或，或或，
【解析】
【分析】（1）根据待定系数法即可求出直线、的解析式；
（2）当直线在直线上方时，有．结合图象即可得出结论；
（3）设点的坐标为，用两点间的距离公式找出、、的长度，结合为等腰三角形的三种情况，即可求出的值．
小问1详解】
解：观察函数图象可知：
点，点，点，
将、点坐标代入直线的解析式中，
得，
解得：．
直线的解析式为．
将点，代入到直线的解析式中，得，
解得：．
直线的解析式为．
【小问2详解】
解：结合函数图象可知：
当时，；
故答案为：；
【小问3详解】
解：设点的坐标为．
点，点，
，，．
为等腰三角形分三种情况：
①当时，即，
解得：，
此时点的坐标为，或，；
②当时，即．
解得：（舍去），或．
此时点的坐标为；
③当时，即，
解得：．
此时点的坐标为，．
综上可知：点的坐标为，或，或或，．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式、结合函数图象解决不等式、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）结合函数图象解不等式组；（3）分等腰三角形的三种情况考虑．
21. 请根据函数相关知识，对函数的图象与性质进行探究，并解决相关问题．
①列表；②描点；③连线．
（1）表格中：______，______；
（2）在平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）观察图象，回答问题：
①当x______时，随x的增大而减小：
②该函数的最小值为______；
③已知点和在函数的图象上，则a______b；（填“＞”或“＜”）
④已知直线过点和，直接写出当的x取值范围是______．
【答案】（1），
（2）答案见解析 （3）①；②；③；④
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象，一次函数的性质，函数的值，正确地识别图形是解题的关键．
（1）将和分别代入解析式求得和的值；
（2）根据表格已有数据，描点，连线，得到函数图象；
（3）根据函数图象即可得到结论．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
故答案为：3，5；
【小问2详解】
解：根据表中数据，描点，连线如图所示：
【小问3详解】
解：①由图可知，由图可知，当时，随的增大而减小，
故答案为：；
②当时，函数值最小，最小值为．
故答案为：；
③把和分别代入得，，，
，
，
故答案为：；
④直线过点和，如图所示，
当的取值范围是，
故答案为：．
22. 为庆祝“五四”青年节，某校拟举行“青春与梦想”主题演讲比赛，准备购买甲、乙两种纪念品奖励在活动中表现优秀的学生．已知购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元．
（1）求购买一个甲种纪念品和一个乙种纪念品各需多少元．
（2）若要购买这两种纪念品共100个，投入资金不少于766元又不多于800元，有多少种购买方案？
（3）在（2）的前提下，求所花资金的最小值．
【答案】（1）购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元
（2）共有7种购买方案．
（3）在（2）的前提下，所花资金的最小值为770元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
（1）设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元，利用总价单价数量，结合“购买1个甲种纪念品和2个乙种纪念品共需20元，购买2个甲种纪念品和5个乙种纪念品共需45元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，利用总价单价数量，结合总价不少于766元又不多于800元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出购买方案的个数；
（3）设所花资金为元，利用总价单价数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质即可解决最值问题．
【小问1详解】
解：设购买一个甲种纪念品需要元，一个乙种纪念品需要元，
依题意得：，
解得：．
答：购买一个甲种纪念品需要10元，一个乙种纪念品需要5元．
【小问2详解】
解：设购买甲种纪念品个，则购买乙种纪念品个，
依题意得：，
解得：，
又为整数，
可以为54，55，56，57，58，59，60，
共有7种购买方案．
【小问3详解】
解：设所花资金为元，则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，最小值．
答：在（2）的前提下，所花资金的最小值为770元．
23. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)，△AOB为等边三角形，P是x轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形APQ．
(1)求点B的坐标．
(2)在点P运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？若不改变，求出其大小；若改变，请说明理由．
(3)连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．
【答案】(1) 点B的坐标为(，1)；(2)∠ABQ的大小始终不变，∠ABQ＝90°；(3) P的坐标为(-，0)
【解析】
【分析】（1）过点B作BC⊥x轴于点C，根据等边三角形的性质可得∠AOB＝60°，BO＝OA＝2，从而求出∠BOC＝30°，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出BC和OC，从而求出点B的坐标；
（2）根据等边三角形的性质可得AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°，从而证出∠PAO＝∠QAB，然后利用SAS证出△APO≌△AQB，从而得出∠ABQ＝∠AOP＝90°；
（3）根据题意，画出图形，然后根据平行线的性质可得∠BQO＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°，从而求出∠OBQ=30°，然后根据30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理即可求出OQ和BQ，再根据（2）中全等可得OP=BQ，从而求出点P的坐标．
【详解】解：(1)如图①，过点B作BC⊥x轴于点C．
∵△AOB为等边三角形，且OA＝2，
∴∠AOB＝60°，BO＝OA＝2．
∴∠BOC＝30°．
又∵∠OCB＝90°，
∴BC＝OB＝1，OC＝．
∴点B的坐标为(，1)．
(2)∠ABQ的大小始终不变．
∵△APQ，△AOB均为等边三角形，
∴AP＝AQ，AO＝AB，∠PAQ＝∠OAB＝60°．
∴∠PAO＝∠QAB．
在△APO与△AQB中，
∴△APO≌△AQB(SAS)．
∴∠ABQ＝∠AOP＝90°．
(3)如图②，当OQ∥AB时，点P在x轴的负半轴上，点Q在点B的下方，
∵AB∥OQ，
∴∠BQO＝180°－∠ABQ＝90°，∠BOQ＝∠ABO＝60°．
∴∠OBQ＝30°．
又OB＝OA＝2，
∴OQ＝OB＝1，BQ＝，
由(2)可知，△APO≌△AQB，
∴OP＝BQ＝．
∴此时点P的坐标为(-，0)．
【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质和求点的坐标，掌握等边三角形的性质、30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理和全等三角形的判定及性质是解决此题的关键．
…
0
1
2
3
4
5
6
…
…
5
1
1
3
…