河南省郑州市二七区郑州市第五十七中学2023-2024学年八年级上学期月考数学试卷（10月份）

2023-2024学年河南省郑州五十七中八年级（上）月考数学试卷（10月份）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列四个数中，属于无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列说法正确的是(    )

A. 的平方根是 B. 的立方根是
C. 没有平方根 D. 是的一个平方根

3.若代数式有意义，则实数的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D. 且

4.在中，，，的对边分别是，，，下列条件不能判定为直角三角形的是(    )

A.  B. ：：：：
C.  D. ：：：：

5.下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.如图，小明从点出发，先向西走米，再向南走米到达点，如果用表示点的位置，那么表示的位置是(    )

A. 点
B. 点
C. 点
D. 点

7.如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”若，，则正方形的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

8.下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

9.如图，中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，数轴上，，，两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是(    )

 

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.的平方根是______ ．

12.如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数的点为圆心，正方形对角线的长为半径画半圆，交数轴于点和点，则点表示的数是_____________．

 

13.设为正整数，且，则的值为______ ．

14.如图是放在地面上的一个长方体盒子，其中，，，点在棱上，且，点是的中点，一只蚂蚁要沿着长方体盒子的表面从点爬行到点，它需要爬行的最短路程为______．

15.如图，等边的边长为，，两点分别从点，同时出发，沿的边顺时针运动，点的速度为，点的速度为，当点第一次到达点时，，两点同时停止运动，则当，运动时间          时，为等腰三角形．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
计算下列各题：
；
；
；
．

17.本小题分
意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，其中图的空白部分是由两个正方形和两个直角三角形组成，图的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成设图中空白部分的面积为，图中空白部分的面积为．

请用含，，的代数式分别表示，；
请利用达芬奇的方法证明勾股定理．

18.本小题分
已知某正数的两个平方根分别是和，的立方根是是的整数部分．求的平方根．

19.本小题分

学过勾股定理后，李老师和“几何小分队”的队员们到操场上测量旗杆高度，得到如下信息：
测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图；
当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图．
根据以上信息，求旗杆的高度．

20.本小题分

如图，正方形网格的每个小方格都是边长为的正方形，的顶点都在格点上．
分别求出______，______，______；
试判断是什么三角形，并说明理由．
的面积是多少？并写出解答过程．

21.本小题分
观察下列一组等式，然后解答问题：，，，，．
利用上面的规律，计算：；
请利用上面的规律，比较与的大小．

22.本小题分
阅读材料
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：，即，
的整数部分为，小数部分为．
解答问题
直接写出的整数部分和小数部分；
已知：，其中是整数，且，求．

23.本小题分
阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．
问题提出：该如何化简？
建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数，，使，，这样，．
那么便有：，
问题解决：化简：，
解：首先把化为，这里，，由于，，即，．
，
模型应用：利用上述解决问题的方法化简下列各式：
；
．
模型应用：
在中，，，，那么边的长为多少？直接写出结果，结果化成最简．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：是整数，它是有理数，则不符合题意；
，是分数，它们均为有理数，则，均不符合题意；
是无限不循环小数，它是无理数，则符合题意；
故选：．
整数和分数统称为有理数，无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可．
本题考查无理数的识别，熟练掌握相关定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：的平方根是，故选项错误，不符合题意；
B.，的立方根是，故选项错误，不符合题意；
C.，有平方根，故选项错误，不符合题意；
D.是的一个平方根，故选项正确，符合题意．
故选：．
根据平方根和立方根的性质即可作出判断．
本题主要考查平方根的相关知识，求一个数的平方根的运算，叫做开平方，其中叫做被开方数，时，有两个平方根；时，只有一个平方根；时，没有平方根．

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查的是二次根式及分式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
先根据分式及二次根式有意义的条件列出关于的不等式组，求出的取值范围即可．
【解答】
解：代数式有意义，
，
解得且．
故选D．

4.【答案】 

【解析】解：、，，能判定为直角三角形，不符合题意；
B、，能判定为直角三角形，不符合题意；
C、，，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形，不符合题意；
D、：：：：，那么、、，不是直角三角形，符合题意；
故选：．
由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．

5.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查立方根与平方根，解题的关键是熟练运用立方根与平方根的定义，本题属于基础题型．
根据平方根与立方根的定义即可求出答案．
【解答】
解：原式，故A错误；
原式，故B正确；
原式，故C错误；
与不是同类二次根式，故D错误；
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：根据如图所建的坐标系，易知表示的位置是点，
故选：．
根据题意可得：小明从点出发，先向西走米，再向南走米到达点，如果点的位置用表示，即向西走为轴负方向，向南走为轴负方向；则表示的位置是所在位置．
本题考查了学生利用类比点坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．解决此类问题需要先确定原点的位置，再求未知点的位置，或者直接利用坐标系中的移动法则“右加左减，上加下减”来确定坐标．

7.【答案】 

【解析】解：直角三角形较短的直角边为，
所以，正方形的面积．
故选：．
根据勾股定理求出另一条直角边，利用中间小正方形的面积大正方形的面积个全等的直角三角形的面积，求出即可．
本题考查勾股定理的应用，解答时需要通过图形获取信息解题．

8.【答案】 

【解析】解：、，
不能组成三角形，
故A不符合题意；
B、，，
，
不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、，，
，
能成直角三角形，
故C符合题意；
D、，，
，
不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：由勾股定理得，
，
，，
即，，
，
故选：．
根据勾股定理结合正方形的面积公式即可求解．
本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：由题可得：，
因为，点对应的实数是，
即点坐标为：，
故选D．

11.【答案】 

【解析】解：，
，，
的平方根是，
故答案为：．
先求得，根据平方根的定义即可求得答案．
本题考查平方根的定义，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

12.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了实数与数轴的有关问题，解题的关键是利用勾股定理求出的长．
先求出单位正方形的对角线的长，设点表示的数为，则单位正方形的对角线的长，求出即可．
【解答】
解：如图：

由题意可知：，
设点表示的数为，
则：，
，
即点表示的数为，
故答案为：．

13.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
，
故答案为：．
先对该算式进行计算，再进行无理数大小的估算．
此题考查了对无理数大小的估算能力，关键是能准确理解并运用该方法．

14.【答案】 

【解析】解：如图，
，，，
，，
；
如图，
，，，
，，
．
，
蚂蚁沿长方体表面爬到米粒处的最短距离为．
故答案为
利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可．
此题主要考查了平面展开图的最短路径问题和勾股定理的应用，利用展开图有两种情况分析得出是解题关键．

15.【答案】或 

【解析】解：如图，设点、运动秒后，，

由运动知，，，
，
解得：，
点、运动秒后，是等腰三角形；
如图，假设是等腰三角形，

，
，
，
是等边三角形，
，
在和中，

≌，
，
设当点、在边上运动时，、运动的时间秒时，是等腰三角形，
，，
，
，
解得：故假设成立．
点、运动时间为秒或秒时，为等腰三角形．
故答案为：或．
分两种情况求解：如图，由，可列方程求解；如图，首先假设是等腰三角形，可证出≌，可得，设出运动时间，表示出，，的长，列出方程，可解出未知数的值．
此题主要考查了等边三角形的性质及等腰三角形的判定，关键是根据题意计算动点和的路程，理清线段之间的数量关系．

16.【答案】解：

；

；

；

． 

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
先算负整数指数幂、零指数幂和去绝对值，然后计算加减法即可；
先算乘除法，然后合并同类二次根式即可；
根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式和合并同类项即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

17.【答案】解：根据题意得，图中空白部分的面积，
图中空白部分的面积；
由得，
． 

【解析】根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论；
根据题意列方程即可得到结论．
本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

18.【答案】解：由题可知：，
解得：，
，
，
，
，
，
的平方根是． 

【解析】根据一个正数的两个平方根的和为，立方根的定义，无理数大小估算的法则，得，，，求得，，，进而解决代值计算便可．
本题主要考查平方根的性质以及立方根的定义，熟练掌握平方根的性质以及立方根的定义是解决本题的关键．

19.【答案】解：设，则，，根据题意得：
在中，根据勾股定理得：，
，
．
答：旗杆的高度为米． 

【解析】设，在中根据勾股定理列方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键．

20.【答案】     

【解析】解：由题意得：
，
，
，
，，，
故答案为：；；；
是直角三角形，
理由：，，
，
是直角三角形；
由得：
，
的面积

，
的面积为．
利用勾股定理，进行计算即可解答；
利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答；
利用三角形的面积公式，进行计算即可解答．
本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及勾股定理是解题的关键．

21.【答案】解：原式

；
由题意得，，，
，
． 

【解析】归纳总结得到一般性规律，计算即可求出式子的值；
利用得出的规律将与进行转化，再进行比较即可．
本题考查了二次根式的运算，数字类规律，解题的关键是理解题意，找出规律，准确计算．

22.【答案】解：，即，
的整数部分是，小数部分是；
，
，
即，
的整数部分是，小数部分是，
是整数，且，
，，
． 

【解析】确定即可解答；
利用估算分别得到和的值，再代入计算即可．
此题考查了无理数的估算，正确掌握无理数估算的方法是解题的关键．

23.【答案】解：，．
，，
，，
．
．
，，
，，
，，
．
．
，
，，
，，
，，
． 

【解析】根据模型，得，，进而求得和分别为和，代入求解即可；
将原式化为根据模型，得，，进而求得和分别为和，代入求解即可；
根据勾股定理，求得边的长度，再根据模型化简即可．
本题考查二次根式的应用、完全平方公式及勾股定理等，熟练掌握并能够灵活运用它们是本题的关键．