10，福建省莆田市涵江区青璜中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题

这是一份10，福建省莆田市涵江区青璜中学2023-2024学年八年级下学期月考数学试题，共23页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，可得答案．
【详解】解：A. =2，故不符合题意；
B. 是最简二次根式；符合题意
C. ，故不符合题意；
D. ，故不符合题意
故选：B．
【点睛】本题考查了最简二次根式，最简二次根式是被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式．
2. 下列计算错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法对A、C进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【详解】解：，故此选项符合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项不合题意；
D.，故此选项不合题意；该试卷源自 每日更新，享更低价下载。故选：．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
3. 已知△ABC的三个内角分别为、、，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据直角三角形的定义，三角形内角和定理，只要证明有一个角等于即可得该三角形是直角三角形；三条边满足勾股定理的逆定理的三角形是直角三角形．
【详解】解：A．，假设，则，解得：，即：，，，不能判定是直角三角形，本选项符合题意；
B．，∵，
∴，能判定是直角三角形，本选项不符合题意；
C．，化简后得：，可以判定是直角三角形，本选项不符合题意；
D．，∵，∴可以判断是直角三角形，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查直角三角形的判定，可以利用直角三角形的定义，三角形内角和定理，勾股定理的逆定理；关键是证明三角形中有一个角等于，即可判定为直角三角形．
4. 下列给出的条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A. AB∥CD，AD＝BCB. ∠A＝∠C，∠B＝∠D
C. AB∥CD，AD∥BCD. AB＝CD，AD＝BC
【答案】A
【解析】
【分析】直接根据平行四边形的判定定理判断即可．
【详解】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．∴C能判断；
平行四边形判定定理1，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；∴B能判断；
平行四边形判定定理2，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；∴D能判定；
平行四边形判定定理3，对角线互相平分的四边形是平行四边形；
平行四边形判定定理4，一组对边平行相等的四边形是平行四边形；
故选A．
【点睛】此题是平行四边形的判定，解本题的关键是掌握和灵活运用平行四边形的5个判断方法．
5. 已知，，则与的关系是（ ）
A. 互为相反数B. 相等C. 互为倒数D. 互为负倒数
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分母有理化和相反数，根据分母有理化的方法求得的值，即可求解，熟练掌握相反数的定义和分母有理化的方法，进而求得的值是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴与互为相反数，
故选：．
6. 如图， 将沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点，连接．若平分，且，，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形性质，折叠的性质，以及勾股定理等知识，得出是解题关键．利用平行线的性质以及角平分线的性质得出，再结合勾股定理得出答案．
【详解】解：∵平分，
∴∠，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴ ，
∴ ，
∴
∴
故选B．
7. 如图，在数轴上，以单位长度为边长画正方形，以正方形对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先根据勾股定理的公式算出正方形的对角线的长即可解答．
【详解】解：数轴上正方形的边长为1，
则正方形的对角线长为：，
则点A表示的数为．
故答案为B．
【点睛】本题主要考查勾股定理、在数轴上表示实数等知识点，熟记勾股定理的公式是解题的关键．
8. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、4、1、3，则最大的正方形E的面积是（ ）

A. 11B. 47C. 26D. 35
【答案】D
【解析】
【分析】如图，根据勾股定理分别求出F、G的面积，再根据勾股定理计算出E的面积即可．
【详解】解：如图，

由勾股定理得，正方形F的面积正方形A的面积正方形B的面积，
同理，正方形G的面积正方形C的面积正方形D的面积 ，
∴正方形E的面积正方形F的面积正方形G的面积 ，
故选：D．
【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．
9. 如图，在中，是角平分线，于点，，则长是（ ）
A. 1B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查角平分线的性质、含角的直角三角形、勾股定理等知识点，灵活利用数形结合的思想是解题的关键．
根据直角三角形的性质和勾股定理得到的长，然后根据平分线的性质可得，再根据得到的长，最后根据勾股定理即可解答．
【详解】解：∵于点E，，，
∴，
设，则，
∴ ，
∴ ，解得：，
∴
如图：作于点F，
∵是的角平分线，，
∴，
∵，
∴ ，
∴ 在中，，
∴
故选：B．
10. 如图，在中，，，于点D，于点E，，连接，将沿直线翻折至所在的平面内，得，连接． 过点D作交于点G． 则下列结论：①；②为等腰直角三角形；③四边形平行四边形；④四边形的周长为．正确的有（ ）个

A 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】①根据是等腰直角三角形得到，根据得到，根据得到，即可根据证明；②根据可得，然后结合即可证明；③证明，，根据平行四边形的判定方法，可以证明四边形是平行四边形；④根据勾股定理求出的长度，然后进一步求出的长度，根据为等腰直角三角形可求出的长度，即可求出四边形的周长．
【详解】解：如图所示，设和相交于点，

∵，于点，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴在和中，
∴，故①正确；
由①可得，
∴，
又∵，
∴为等腰直角三角形，故②正确；
∵，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵沿直线翻折至所在的平面内，得，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，故③正确；
∵，
∴在中，，
∵，
∴，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴设，
∴在中，，
∴，
解得：，负值舍去，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形的周长为：
，故④错误．
综上所述，正确的个数是3．
故选：B．
【点睛】此题考查了三角形全等的证明，勾股定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是根据题意证明出．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 使有意义的的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数非负，即可求得x的取值范围．
【详解】解：由题意得：，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解这一条件是关键．
12. 化简：＝_____．
【答案】10
【解析】
【分析】根据二次根式的性质计算．
【详解】解：
＝5+5
＝10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
13. 已知是整数，则正整数的最小值是______.
【答案】6
【解析】
【分析】因为是整数，且，则6n是完全平方数，满足条件的最小正整数n为6．
【详解】∵，且是整数，
∴2是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故答案为6．
【点睛】主要考查了二次根式的定义，关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答．
14. △ABC的三边分别为2、x、5，化简的结果为_______．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据三角形的三边的关系求得x的范围，然后根据二次根式的性质进行化简．
【详解】解：∵2、x、5是三角形的三边，
∴3＜x＜7，
∴x-3＞0，x-7＜0，
∴原式=x-3+（7-x）=4．
故答案是：4．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系以及二次根式的化简，正确理解二次根式的性质是关键．
15. 小明在解方程时采用了下面的方法：
由，又有，可得，将这两式相加可得，将两边平方可解得，经检验是原方程解，请你学习小明的方法，解方程，则___________．
【答案】39
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式在解方程中的应用，解答此题的关键是在解决实际问题的过程中能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法．参照题中给出的解题方法，按步骤进行解题即可．
【详解】解：∵
，
而，
∴，
两式相减得，即，
两边平方得到，
∴，经检验是原方程的解，
故答案为：．
16. 如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是_____．
【答案】##13厘米
【解析】
【分析】如图，将容器侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求．
【详解】解：如图：
∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，
此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处，
∴将容器侧面展开，作A关于的对称点，连接，则即为最短距离，
∴，，
∴，
即蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是．
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称的性质、平面展开－最短路径问题，勾股定理的应用等，正确利用侧面展开图、熟练运用相关知识是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先利用二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可；
（2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中，.
【答案】，4
【解析】
【分析】利用二次根式的性质将原式化简，然后由平方差公式得出，代入求解即可．
【详解】解：
，
∵，，
∴，
∴原式．
【点睛】题目主要考查二次根式的化简及求代数式的值，平方差公式，熟练掌握运算法则是解题关键．
19. 已知：如图，点E，F分别在的AB，DC边上，且，连接DE，BF．求证：四边形DEBF是平行四边形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质得出，再根据已知条件得出，即可得出结论．
【详解】四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
四边形DEBF是平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，熟练掌握知识点是解题的关键．
20. 已知，，求：
（1）的值；
（2）的值．
【答案】（1）10；（2）26
【解析】
【分析】（1）根据x、y的值，先求出x+y和xy的值，然后根据求解即可.
（2）根据求解即可.
【详解】解：（1）∵，，
∴，，
∴，
∴；
（2）∵，，
∴，，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查代数式求值和完全平方公式，解题的关键在于能够熟练掌握完全平方公式.
21. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均在格点上．
（1）直接写出的长为 ，的面积为 ；
（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺和圆规作出边上的高，并保留作图痕迹；
（3）求的长．
【答案】（1）；9
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据勾股定理求出，利用割补法求出的面积即可；
（2）根据题意用直尺和圆规作的垂线即可；
（3）根据三角形的面积公式即可得到结论．
【小问1详解】
解：，
，
故答案为：；9．
【小问2详解】
解：如图所示，即为所求，
【小问3详解】
解：∵，
∴．
【点睛】本题考查了作图﹣应用与设计作图，三角形的面积的计算，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
22. 如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态．
（1）根据题意，_______，_______，_______；
（2）根据（1）中求得的数据，求秋千的长度．
（3）如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______．
【答案】（1）1.6，3，1
（2）5m （3）4
【解析】
【分析】（1）由题意得，，，证四边形是矩形，得，则；
（2）设秋千的长度为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
（3）当时，，则，得，然后在中，由勾股定理求出的长即可．
【小问1详解】
解：（1）由题意得：，，，
，，，
四边形是矩形，
，
，
故答案为：1.6，3，1；
【小问2详解】
，
，
设秋千的长度为，
则，，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即秋千的长度是；
【小问3详解】
当时，，
，
，
由（2）可知，，
，
在中，由勾股定理得：，
即需要将秋千往前推送，
故答案为：4．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键．
23. 问题发现：如图1，在中，，D为边所在直线上的一动点（不与点B、C重合），连接，以为边作，且，根据，得到，结合，得出，发现线段与的数量关系为，位置关系为；
（1）探究证明：如图2，在和，，，且点D在边上滑动（点D不与点B，C重合），连接．
①则线段，，之间满足的等量关系式为 ；
②求证：；
（2）拓展延伸：如图3，在四边形中，．若，，求的长．
【答案】（1）①；②见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）①由证得，得到，可得；
②根据全等三角形的性质可得，得到，根据勾股定理计算即可；
（2）拓展延伸作，使，连接，证明，得到，根据勾股定理计算即可．
【小问1详解】
①解：，理由如下：
∵，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
②证明：∵中，，
∴，
由（1）得，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：作，使，连接，如图3所示：
则是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定由性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
24. （1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，求代数式的最小值；小强同学发现可看作两直角边分别为x和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长．于是构造出下图，将问题转化为求线段AB的长，进而求得的最小值是 ．
（2）类比迁移：已知a，b均为正数，且，求的最小值．
（3）方法应用：若，求y的最大值．
【答案】（1）13；（2）5；（3）
【解析】
【分析】（1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可；
（2）如图所示，，，，，利用勾股定理求出，，然后同（1）求解即可；
（3）如图所示，，，，，，则，，，故的面积即为所求，由此求解即可．
【详解】解：（1）如图所示，，，，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为13，
故答案为：13；
（2）如图，，，，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
∴，
∴要想的值最小，则的值最小，
∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，
过点B作交延长线于F，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴的最小值为5；
（3）如图，，，，，，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，
∴要想的值最大，则的值最大，
∴根据三角形三边关系可知，当A、D、B三点共线时，的值最大，最大值为，
延长，交于点F，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，，
在直角三角形中，，
即y的最大值为．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题、矩形的性质与判定，三角形三边关系的应用，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解．