陕西省渭南市韩城市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（学生版+教师版）

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注意事项：
1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷；
2．答卷前将装订线内的项目填写清楚．
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件，二次根式要有意义，那么被开方数为非负数，解不等式即可．
【详解】解：若二次根式有意义，则，
解得，
故选：C．
2. 以下列线段a、b、c长为边，能构成是直角三角形的是（ ）
A. a＝4，b＝5，c＝6B. a＝，b＝2，c＝
C. a＝6，b＝8，c＝12D. a＝1，b＝2，c＝
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．
【详解】解：A、∵a2+b2＝42+52＝41，c2＝62＝36，
∴a2+b2≠c2，
∴不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、∵a2+b2＝（）2+22＝7，c2＝（）2＝5，
∴a2+b2≠c2，
∴不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、∵a2+b2＝62+82＝100，c2＝122＝144，
∴a2+b2≠c2，
∴不能构成直角三角形，故C不符合题意；
D、∵a2+c2＝12+（）2＝4，b2＝22＝4，
∴a2+c2＝b2，
∴能构成直角三角形，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
3. 在□ABCD中，如果∠A+∠C＝140°，那么∠C等于（ ）．
A. 70°B. 60°C. 40°D. 20°
【答案】A
【解析】
【详解】分析：根据平行四边形的对角相等即可求出答案．
详解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴∠A=∠C， ∵∠A+∠C=140°，
∴∠A=∠C=70°， 故选A．
点睛：本题主要考查的是平行四边形的性质，属于基础题型．明确平行四边形对角相等是解决这个问题的关键．
4. 菱形、矩形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等
C. 四条边相等，四个角相等D. 两组对边分别平行且相等
【答案】D
【解析】
【分析】根据菱形、矩形、正方形的性质，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、矩形的对角线不一定互相垂直，故本选项不符合题意；
B、菱形的对角线不一定相等，故本选项不符合题意；
C、矩形的四条边不一定相等，菱形的四个角不应当相等，故本选项不符合题意；
D、菱形、矩形、正方形的两组对边分别平行且相等，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】本题主要考查了菱形、矩形、正方形的性质，熟练掌握菱形、矩形、正方形的性质是解题的关键．
5. 下列命题的逆命题是真命题的是（ ）
A. 若，则B. 等边三角形的每一个角都等于
C. 全等三角形的面积相等D. 若，则
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查逆命题真假判断，涉及不等式的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定等，先根据题设、结论写出每个选项的逆命题，再判断真假即可．
【详解】解：A选项的逆命题为“若，则”，当时不成立，因此该逆命题是假命题，不合题意；
B选项的逆命题为“若三角形每一个角都等于，则这个三角形是等边三角形”，该逆命题是真命题，符合题意；
C选项的逆命题为“若两个三角形面积相等，则这两个三角形全等”，该逆命题是假命题，不合题意；
D选项的逆命题为“若，则”，该逆命题是假命题，不合题意；
故选B．
6. 若二次根式与最简二次根式能合并，则的值为（ ）
A. 0B. 1C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式、同类二次根式．先将化简为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可得．
【详解】解：，
∵即与最简二次根式能合并，
∴，
解得，
故选C．
7. 如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为，高为，今有一支的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为（）

A. B. C. D. 不能确定
【答案】B
【解析】
【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，可用勾股定理解答．
【详解】解∶，
，
露出杯口外的长度为．
故答案为：B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，所述问题是一个生活中常见的问题，与勾股定理巧妙结合，可培养同学们解决实际问题的能力．
8. 如图，在中，E、F分别为边的中点，是对角线， 且，交的延长线于点G，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中所有正确的结论是（ ）
A. ①②③④B. ①②C. ①③D. ①②④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及三角形的面积公式．证明四边形是平行四边形即可；②根据且可证四边形是平行四边形，结合可证四边形是矩形；③连接，若，可证，显然不一定成立；④先证明，然后结合平行四边形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，．
∵E、F分别为边的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，故①正确；
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，故②正确；
连接，
∵四边形是矩形，
∴过点E，．
若，则，显然与不相等，故③不正确；
∵四边形是平行四边形，
又∵F为边的中点，
∴，
∴，故④正确．
综上可知，正确的有，
故选D．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9. 计算的结果为______．
【答案】18
【解析】
【分析】本题考查二次根式的性质与化简，掌握是正确解答的关键．根据即可得出答案．
【详解】解：，
故答案为：18
10. 在平面直角坐标系中，点到原点的距离是______．
【答案】
【解析】
【分析】在平面直角坐标系中找出P点，构造直角三角形，根据坐标系中点到坐标轴的距离求出直角边的长，利用勾股定理求出OP的长，即为P到原点的距离．
【详解】解：连接OP，过P作PA⊥x轴，
∵P(1，3)，
∴PA=3，OA=1,
在Rt△OPA中，
根据勾股定理得：，
则点P到原点的距离为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了勾股定理及坐标与图形的性质，灵活运用勾股定理是解本题的关键．
11. 如图，在矩形中对角线，交于点O，请添加一个条件______，使矩形是正方形（填一个即可）

【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查正方形的判定，掌握判定方法即可解题．
【详解】解：由判定方法“邻边相等的矩形是正方形”知，可添加，即可使矩形是正方形．其它条件也行，只要符合题意即可．
故答案为：（答案不唯一）．
12. 对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则的值为______．
【答案】90
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型是解题关键．在和中，根据勾股定理得，，进一步得，再根据，，最后求得．
【详解】解：，
，
在和中，根据勾股定理得，
，，
，
，，
；
故答案为：90
13. 如图，在边长为6的正方形中，E，F分别是边上的动点，且始终满足，连接交于点P，连接，线段的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，然后求出，取的中点O，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得点P到的中点的距离不变，再根据两点之间线段最短可得C、P、O三点共线时线段的值最小，然后根据勾股定理列式求出，再求解即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
取的中点O，连接，则（定值），
根据两点之间线段最短得C、P、O三点共线时线段的值最小，
在中，由勾股定理得，
的最小值，
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，确定出点P到的中点的距离是定值是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程）
14 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式的混合运算，先计算二次根式的乘法、除法，利用二次根式的性质化简，再进行加减运算即可．
【详解】解：
．
15. 如图，点E，F分别在矩形的边上，且，连接，若．求证：矩形是正方形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由矩形，可得，则，，，进而可证矩形是正方形．
【详解】证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴矩形是正方形．
【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，正方形的判定．熟练掌握矩形的性质，三角形内角和定理，等角对等边，正方形的判定是解题的关键．
16. 图，在中，，连接并延长交的延长线于点F．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定，根据平行四边形对边平行可得，进而可得，再利用即可证明．
【详解】证明：中，
，
在和中，
，
．
17. 我国古代数学著作《九章算术》中“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”今译：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落地，离竹子底端尺处．折断处离地面的高度是多少尺？（丈尺）

【答案】折断处离地面的高度是 尺
【解析】
【分析】设折断处离地面的高度是 尺，则竹子折断处离竹子顶端为 尺，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：设折断处离地面的高度是 尺，则竹子折断处离竹子顶端为 尺，
由勾股定理得： ，
解得： ，
即折断处离地面的高度是 尺．
【点睛】本题主要考查了勾股定理应用，明确题意，构造直角三角形是解题的关键．
18. 已知，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】分别求出的值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了二次根式化简求值，正确求出的值是解题的关键．
19. 如图，矩形中，对角线相交于O，E，F分别是的中点．若，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，根据矩形对角线相等且互相平分，可得，，根据三角形中位线的性质可得，由此可解．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
E，F分别是的中点，
是的中位线，
，
，
．
20. 如图，在 □ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点．已知AE＝CF，M，N分别是DE和FB的中点．求证：四边形ENFM是平行四边形.
【答案】见解析
【解析】
【分析】首先根据平行四边形ABCD的性质得到AB和CD平行且相等，结合已知条件发现DF和BE平行且相等．证明四边形DEBF为平行四边形．得到DE和BF平行且相等，再结合中点的概念，所以四边形MENF为平行四边形．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB∥CD，AB=CD，
∴BE∥DF，
∵ AE＝CF，
∴ BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形
∴DE∥BF ,DE=BF，
∵点M,N分别是DE,BF中点，
∴EM=DE, FN=BF，
∴EM=FN，
∵EM∥FN，
∴四边形EMFN是平行四边形.
【点睛】本题考查平行四边形的判定、性质、三角形的中位线定理，解题关键是正确选择判定与性质，不能混淆.
21. 如图，已知梯子，D点到地面的垂直距离，两墙的距离．已知，，点A在上，求B点到地面的垂直距离．（结果保留根号）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，利用勾股定理先解，求出，再解即可．
【详解】解：在中，由勾股定理得，
，
，
，
中，由勾股定理得，
，
即B点到地面的垂直距离为．
22. 某地气象资料表明此地雷雨持续的时间可以用公式来估计，其中是雷雨区域的直径．
（1）如果雷雨区域的直径为，那么这场雷雨大约能持续多长时间？
（2）如果一场雷雨持续了，那么这场雷雨区域的直径大约是____________．
【答案】（1）这场雷雨大约能持续；
（2）
【解析】
【分析】（1）将代入公式求解即可；
（2）将代入公式求解即可．
【小问1详解】
解：将代入公式可得：
答：这场雷雨大约能持续；
【小问2详解】
将将代入公式代入得，
解得
∴或（舍去）
答：这场雷雨区域的直径大约是
故答案为：
【点睛】此题考查了算术平方根的应用，解题的关键是掌握算术平方根的求解．
23. 如图，四边形中，，，，，．
（1）判断是否是直角，并说明理由．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）是直角．理由见解析
（2）234
【解析】
【分析】（1）连接，根据勾股定理可知，再根据即可得出结论；
（2）根据即可得出结论．
【小问1详解】
解：是直角．
理由：连接，
，
，
，
，
是直角三角形，即是直角；
【小问2详解】
解：，
．
【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形．
24. 如图，在菱形中，对角线交于点O，过点A作于点E，延长到点F，使得，连接，
（1）求证：四边形是矩形．
（2）连接，若______．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，掌握特殊平行四边形的性质与判定是解题的关键．
（1）根据菱形的性质可得且，进而证明四边形是平行四边形，根据，即可证明四边形是矩形；
（2）根据菱形的性质以及已知条件求出，根据勾股定理先求得的长，然后求出的长，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴且，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
【小问2详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
25. 如图，有一张长为cm，宽为cm的长方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形．
（1）若小正方形的边长为cm，则制作成的无盖长方体盒子的体积是多少？
（2）求这个长方体盒子的侧面积．
【答案】（1）制作成的无盖长方体盒子的体积是；
（2）这个长方体盒子的侧面积为248．
【解析】
【分析】（1）利用长方体的体积公式计算即可；
（2）大长方形的面积减去4个小正方形的面积就是盒子的侧面积．
【小问1详解】
解：无盖长方体盒子的体积为：
（）；
答：制作成的无盖长方体盒子的体积是；
【小问2详解】
解：长方体盒子的侧面积为：
=248（）；
答：这个长方体盒子的侧面积为248．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，做题关键是读懂题意列出正确的算式．
26. 在四边形中，，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，且，求菱形面积．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，三角形中位线定理，等角对等边等等：
（1）先由平行线的性质和角平分线的定义证明，得到，进而证明，再由，即可证明结论；
（2）先证明为等边三角形，， 设，则，，再证明四边形是平行四边形，， 得到为的中位线， 则，由勾股定理得：．解得，则．
【小问1详解】
证明：，
，
平分，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：四边形是菱形，
，
，，
为等边三角形，，
设，
，
，
∵，
四边形是平行四边形，，
，
为的中位线，
，
在中，，，
∴由勾股定理得：．
解得，
∴．