广东省东莞市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省东莞市三校2023-2024学年高二下学期4月期中联考数学试卷（Word版附解析），共11页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上，随机变量的分布列如表，的展开式中，含的项的系数是，若函数，则，下列函数求导正确的是，有3台车床加工同一型号的零件等内容，欢迎下载使用。

命题组组长：聂检华
考试范围：第五章，第六章，第七章前三节；考试时间：120分钟；
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1．若函数，则（ ）
A．B．0C．D．
2．若，则（ ）
A．2B．3C．2或4D．3或4
3．随机变量的分布列如表：则（ ）
A．0.2B．0.3C．0.5D．0.6
4．的展开式中，含的项的系数是（ ）
A．-20B．5C．15D．35
5．若函数，则
A．4B．2C．3D．1
6．有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有
A．34种B．96种C．48种D．144种
7．已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是（ ）
A．0.63B．0.24C．0.87D．0.21
8．函数，若关于的方程恰有四个不同的实数根，则实数范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题6分，共18分。在每小題给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．下列函数求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的，，则下列选项正确的有（ ）
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.015
B．任取一个零件是次品的概率为0.0525
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
11．关于函数，下列判断正确的是（ ）
A．是的极大值点B．函数有且只有1个零点
C．存在正实数，使得成立
D．对两个不相等的正实数，若，则．
第II卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．的展开式中的系数是______.
13．如图所示，在A，B间有四个焊接点1，2，3，4，若焊接点脱落导致断路．则电路不通，则因为焊接点脱落而导致电路不通情况有______种．
14．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为______.
四、解答题（本题5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本题13分）
（1）计算；
（2）已知，求的值．
16（本题15分）．某学校的高二年级有5名数学老师，其中男老师3人，女老师2人．
（1）如果任选3人参加校级技能大赛，所选3人中女老师人数为，求的分布列；
（2）如果依次抽取2人参加市级技能大赛，求在第1次抽到男老师的条件下，第2次抽到也是男老师的概率．
17（本题15分）．已知函数为实数）的图象在点处的切处的切线方程为．
（1）求实数a、b的值；
（2）求函数的单调区间和极值．
18（本题17分）．甲乙两家快递公司的“快递小哥”的日工资方案如下：甲公司规定底薪70元，每单奖励1元；乙公司规定底薪100元，每日前45单无奖励，超过45单的部分每单奖励6元．
（1）设甲、乙两家快递公司的“快递小哥”日工资分别为（单位：元）与送货单数（单位：单，）的函数关系式分别为，求的解析式．
（2）假设同一公司的“快递小哥”的日送货单数相同，现从两家公司各随机抽取一名“快递小歌，并记录其100天的送货单数，得到如下条形图：
若将频率视为概率，回答下列问题：
①记乙快递公司的“快递小哥”日工资为元，求的分布列和数学期望；
②小赵打算到两家公司中的一家应聘“快递小哥”的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请你利用所学的统计知识为他进行选择，并说明理由．
19（本题17分）．设函数）且
（1）求的单调区间；
（2）求的取值范围；
（3）已知对任意恒成立，求实数的取值范围．
2023-2024学年第二学期高二期中三校联考
数学参考答案：
1．B
【详解】，
所以．故选：B
2．C
【详解】因为，
所以或，故选：C
3．A
4．C
【详解】由二项式定理：，令，得，
所以项的系数为；故选：C．
5．D
【详解】由函数，
则，
，所以．故选：D
6．B【详解】试题分析：，故选B．
7．C
【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P（A）＝0．7，P（B）＝0．3，
从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，
从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，
则由题可知P（C）＝0．9，P（D）＝0．8，
由题可知A、B、C、D互相独立，
故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：
P（AC）＋P（BD）＝P（A）P（C）＋P（B）P（D）＝0．7×0．9＋0．3×0．8＝0．87．故选：C．
8．D
【详解】作出函数的图像如下所示，当，时，，
所以时递增，
当时递减，所以当时，
在处取最大值为：（如下图所示平行于直线）；
因为，即，解得或，
当时，观察图像易知此时只有一个交点，即有一个根，
要使关于的方程恰有四个不同的实数根，
则需要与图像有三个不同交点，只需要，即．故选：D．
9．ABD
【详解】对于A：，故A正确；
对于B：，故B正确；
对于C：令，则=，故C错误；
对于D：，故D正确．故选：ABD
10．ABC
【详解】记为事件“零件为第台车床加工”，记为事件“任取一个零件为次品”
则，，
对于A，即，A正确．．
对于B，
，B正确．
对于C，，C正确．
对于D，，D错误．故选：ABC
11．BD
【详解】A．函数的定义域为，函数的导数，∴在上，，函数单调递减，上，，函数单调递增，∴是的极小值点，即A错误；
B．，∴，函数在上单调递减，且，，∴函数有且只有1个零点，即B正确；
C．若，可得，令，则，令，则，∴在上，函数单调递增，上函数单调递减，∴，∴，∴在上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数，使得恒成立，即C不正确；
D．令，则，，令，则，∴在上单调递减，则，令，由，得，则，当时，显然成立，∴对任意两个正实数，，且，若，则，所以．故D正确．故选：BD．
【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的单调性和极值，函数零点个数的判断，以及构造法证明不等式，对于C，解题的关键是利用参变分离进行分析，对于D，解题的关键是判断．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．
12．
【分析】写出的展开式的通项，然后对分类求得答案．
【详解】展开式的通项为，，
①令，则；
②令，则；
综上可得：展开式中项的系数为．
故答案为：．
13．13
【分析】分类讨论，列举出脱落1个，2个，3个，4个焊接点导致电路不通的情况，求出答案．
【详解】若脱落1个，则有（1），（4）两种情况，
若脱落2个，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况，
若脱落3个，则有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4种情况．
若脱落4个，则有（1，2，3，4）共1种情况，综上共有种情况．
故答案为：13．
14．
【详解】f′（x）＝x2－1＝（x＋1）（x－1），令f′（x）＞0得x＜－1或x＞1，
令f′（x）＜0得－1＜x＜1，所以函数f（x）的单调递增区间为（－∞，－1）和（1，＋∞），减区间为（－1，1）．
所以要使函数f（x）＝x3－x在（a，10－a2）上有最小值，只需，
即⇒－2≤a＜1．
15．（1），（2）
【分析】（1）利用排列数与组合数公式计算即可；
（2）利用赋值法求解．
【详解】（1）；
（2）令，得．
令x=0，得α0=1
∴α1+α2+α3+α4=15
16．（1）见解析
（2）
【分析】（1）的所有可能取值为0，1，2，求出概率得到分布列．
（2）利用条件概率转化求解即可．
【详解】（1）由题可知的所有可能取值为0，1，2，
依题意得：，，，
的分布列为：
（2）设第1次抽到男老师为事件，第2次抽到男老师为事件，则第1次和第2次都抽到男老师为事件，
根据分步计数原理，．
所以．
17．【答案】（1）
（2）减区间为，增区间为，极小值为，无极大值．
【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可得出实数、的值；
（2）利用导数分析函数的单调性，结合极值的定义可得结果．
【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，，
因为函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为，
则，解得．
（2）解：由（1）可得，该函数的定义域为，，
由可得，列表如下：
所以，函数的减区间为，增区间为，
极小值为，无极大值．
18．（1），；；
（2）①分布列见解析；期望为；②推荐小赵去甲快递公司应聘；理由见解析．
【分析】（1）由已知可求得甲快递公司的“快递小哥”的日工资和乙快递公司的“快递小哥”的日工资与送货单数的函数关系式．
（2）①由条形图得x的取值范围为，分别求得，，，，由此可得的分布列，根据数学期望公式可得答案．
②求得甲快递公司的“快递小哥”日平均工资，由①知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资，比较可得结论．
【详解】解：（1）甲快递公司的“快递小哥”的日工资中与送货单数的函数关系式为，．
乙快递公司的“快递小哥”的日工资与送货单数的函数关系式为．
（2）①由条形图得x的取值范围为，
，，
，，
所以的分布列为
故的数学期望为．
②甲快递公司的“快递小哥”日平均送货单数为，
所以甲快递公司的“快递小哥”日平均工资为（元），
由①知，乙快递公司的“快递小哥”日平均工资为112元．
故推荐小赵去甲快递公司应聘．
19．（1）单调递增区间是，单调递减区间是；
（2）；（3）．
【详解】（1）因为．
当时，即，解得；
当时，即，解得或；
所以函数的单调递增区间是，
函数的单调递减区间是．
（2）当时，，
由（1）可知在上递增，在上递减，
所以在区间上，当时，取极大值，即最大值为．
当时，，，，；
当时，，，，
所以函数的取值范围为．
（3）因为，所以，从而
所以两边同时取自然对数可得对恒成立，
即大于的最大值，
由（2）可知，当时，取得最大值，
所以．
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题．
（4）考查数形结合思想的应用．
-1
0
1
0.3
0.5
c
0
1
2
减
极小值
增
100
106
118
130
0．2
0．3
0．4
0．1