2024年江西省中考数学三模冲刺训练试卷（解析版）

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1. 比大1的数是（ ）
A．1B．C．D．1
【答案】B
【分析】直接根据有理数加法运算即可．
【详解】解：
故选：B．
2. 下列图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．
【详解】A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意，
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意，
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意，
故选：A．
3. 第届亚运会于年月日至月日在中国浙江省杭州市举行，
杭州奥体博览城游泳馆区建筑总面积平方米，将数用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
4. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由关于x的一元二次方程有两个实数根，可知：
，
解得：；
故选A．
5.实数，在数轴上的位置如图所示，则下列判断错误的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】观察数轴可知a<0，b，可直接判断均选项A、B、C；根据a、b的绝对值的大小，利用符号法则化去绝对值可判断D即可．
【详解】解：A.观察数轴可知a<0，b，
故选项A正确；
B.∵a<0，b，∴，
故选项B正确；
C. ∵a<0，b，∴，
故选项C正确；
D. ∵，a<0，b，∴，∴，
故选项D不正确．
故选D．
6 . 二次函数的图象如图所示，
则一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B．C．D．
【答案】D
【分析】观察二次函数图象得：，从而得到一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，即可求解．
【详解】解：观察二次函数图象得：，
∴，
∴一次函数过第一，三，四象限，反比例函数位于第一，三象限，
∴只有D选项符合题意．
故选：D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，
那么小球最终停留在黑色区域的概率是______．
【答案】
【分析】先计算黑色区域的面积，根据黑色方砖占总方砖的比例可得出概念．
【详解】解：∵由图可知，黑色方砖有块，共有块方砖，
∴黑色方砖在整个地板中所占的比值，
∴小球最终停留在黑色区域的概率是，
故答案为：．
8 . 因式分解：= ．
【答案】
【分析】本题利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
故答案为：（a+2b）（a-2b）
9. 如图，半径为3的经过原点和点，点是轴左侧优弧上一点，
则为 ．

【答案】
【分析】连接CD，根据90°圆周角所对的弦是圆的直径，确定CD，根据勾股定理计算DO，根据同弧上的圆周角相等，计算tan∠ODC即可
【详解】如图，连接CD，
∵∠DOC=90°，
∴CD是圆A的直径，
∵半径为3的经过原点和点，
∴CD=6，OC=2，
∴DO==，
∴tan∠ODC==,
∵∠ODC=∠OBC，
∴tan∠OBC=,
故答案为：．
10. 使分式与的值相等的x的值为 ．
【答案】
【分析】根据题意得到方程，解出即可求解．
【详解】解：根据题意得：，
去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
∴原方程的解为，
即使分式与的值相等的x的值为9．
故答案为：9．
11 .某市为提倡居民节约用水，自今年1月1日起调整居民用水价格．
图中、分别表示去年、今年水费（元）与用水量（）之间的关系．
小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多 元．

【答案】210．
【分析】根据函数图象中的数据可以求得时，对应的函数解析式，从而可以求得时对应的函数值，由的的图象可以求得时对应的函数值，从而可以计算出题目中所求问题的答案，本题得以解决．
【详解】设当时，对应的函数解析式为，
，得，
即当时，对应的函数解析式为，
当时，，
由图象可知，去年的水价是（元/），故小雨家去年用水量为150，
需要缴费：（元），
（元），
即小雨家去年用水量为150，若今年用水量与去年相同，水费将比去年多210元，
故答案为210．
12. 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形沿折叠，使点落在边的点处，其中，且，则矩形的面积为______

【答案】80
【分析】首先根据折叠的性质得到，然后根据同角的余角相等得到，进而得到，设，，则，，根据定理求出，，最后利用矩形面积公式求解即可．
【详解】解：∵矩形沿折叠，使点C落在边的点F处，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴设，，则，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴解得：，负值舍去，
∴，，
∴矩形的面积．
故答案为：80
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13.（1）计算：－tan60°；
（2）化简：．
【答案】（1）-2；（2）
【分析】（1）先化简二次根式，绝对值，计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值，再合并即可；
（2）先计算括号内的分式的减法，再把除法转化为乘法运算，约分后可得结果．
【详解】解：（1）－tan60°
=2+1－－3－
=－2；
（2）
．
14. 如图，在ABCD平行四边形中，过点A作于点E，于点F，．求证：
(1)；
(2)四边形ABCD是菱形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）由平行四边形的性质可得出，进而可利用“”证明；
（2）由全等三角形的性质可得出，从而由一组邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形是菱形．
【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，
∴．
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴平行四边形是菱形．
15. 解不等式组，并写出满足条件的正整数解．
【答案】不等式组的解集为＜，正整数解为1，2
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：
同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得：x＞﹣1，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为＜，
则不等式组的正整数解为1，2．
四张卡片上分别有2022年北京冬奥会会徽、志愿者标志、吉祥物冰墩墩、雪容融图案，
它们形状、大小、背面完全一样，现把四张卡片背面朝上打乱放在桌面上.

(1)小志同学从中抽取一张是冬奥会会徽卡片是 事件（填“随机”、“不可能”或“必然”）；
(2)小志同学从中一次性抽取两张卡片，请你用列表法或画树状图法表示出这次抽取所有可能的结果，
并求出正好是两张吉祥物图案的概率.
【答案】(1)随机
(2)
【分析】（1）先表示出从中抽取一张是会徽卡片的概率，再判断从中抽取一张是会徽卡片的是随机事件；
（2）画树状图表示出所有等可能的结果数，再利用概率公式计算即可．
【详解】（1）共有4张卡片，从中抽取一张是会徽卡片的概率是，
从中抽取一张是会徽卡片的是随机事件，
故答案为：随机；
（2）用A表示北京冬奥会会徽，B表示志愿者徽标，C表示吉祥物冰墩墩，D表示雪容融图案，画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中恰好是两张吉祥物图案的有2种，
(两张吉祥物图案)．
17 .如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，
与反比例函数的图象分别交于、两点，点，点是线段的中点．
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求的面积；
(3)直接写出时自变量的取值范围．
【答案】(1)；
(2)6
(3)或者
【分析】（1）将代入，即可求出反比例函数解析式；根据点为的中点，
点横坐标为0，点纵坐标为0，点，求出点坐标为，再利用待定系数法即可作答；
（2）联立，求出的坐标． 再利用即可作答；
（3）根据图象，数形结合即可作答．
【详解】（1）将代入，
得：，
解得，
即反比例函数解析式为：；
∵点为的中点，点横坐标为0，点纵坐标为0，点，
∴点坐标为，
将、代入一次函数，
得：，
解得：，
即一次函数解析式为：；
（2）∵，
∴，
联立，
解得，，
即的坐标．
又∵，
则的面积是，
即所求面积为6；
（3）时自变量的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，如图，
结合图象可得：或者．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18.根据市场需求，某书城准备购进甲、乙两种青少年喜欢的读本进行销售，它们的进价和售价如下表．
现计划用不超过1850元购进这两种读本共80本，并将这80本读本全部售完，
设购进甲种读本x本，这两种读本的总利润为y元．
(1)求y与x的函数关系式．
(2)该书城如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)y＝5x+800；
(2)甲种读本购进25本，乙种读本进55本才能获得最大利润，最大利润为1025元．
【分析】（1）设甲种读本购进x本，则乙种读本进（80﹣x）本，即可求出总利润y的表达式，
（2）根据购进这80本读本的费用不得超过1850元，列出不等式，求x的范围，再根据一次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解设购进甲种读本x本，则乙种读本（80﹣x）本，总利润为y元，
y＝（45﹣30）x+（30﹣20）（80﹣x），
即y＝5x+800；
（2）∵计划用不超过1850元购进这两种读本共80本，
∴30x+20（80﹣x）≤1850，
解得x≤25，
∵k＝5＞0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝25时，y有最大值，y最大＝5×25+800＝1025（元），
80﹣25＝55（本），
答：甲种读本购进25本，乙种读本进55本才能获得最大利润，最大利润为1025元．
19 . 如图，显示器的宽为22厘米，支架长14厘米，当支架与显示器的夹角，
支架与桌面的夹角，测得长为2厘米，求显示器顶端到桌面的高度的长
（，，）
【分析】作延长线于点F，再延长DF、CB交于点G．
由含角的直角三角形的性质可求出，
再由三角形内角和定理即可求出，从而求出．
在中，又利用三角函数可求出，
根据题意又可求出，即求出．
最后在中，利用三角函数即可求出最后结果．
【详解】如图，
作延长线于点F，再延长DF、CB交于点G．
由题意可知．
∵，，
∴，
∴．
在中，．
∵，
∴．
在中，．
20. 如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交与点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，求的半径．
【答案】(1)见解析
(2)3
【分析】（1）连接，先证明，再证明，，进而证明，即可证明是的切线；
（2）设的半径为r，根据勾股定理得到，解方程即可得到的半径，即可．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：设的半径为r，，
∵在中，，
∴，
解得，
即的半径为3．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 目前人们的支付方式日益增多，主要有：

A．微信 B．支付宝 C．信用卡 D．现金
某超市对一天内消费者的支付方式进行了统计，得到如下两幅不完整的统计图．
请你根据统计图提供的信息，回答下列问题：

(1)本次一共调查了 名消费者；
(2)补全条形统计图，在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 ；
(3)该超市本周内约有2000名消费者，估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和．
【答案】(1)200
(2)图形见解析；36
(3)1480
【分析】（1）用B的人数除以所占百分比就能求出一共调查的消费者人数；
（2）消费者人数乘以A所占的百分比，求出A的人数；消费者总人数减去A，B，C的人数，就得到D的人数；周角乘以D占的比例就得到D种支付方式所对应的圆心角；
（3）用总人数乘以对应的百分比求解即可．
【详解】（1）解：本次调查的总人数为（名），
故答案为：200；
（2）解：A支付方式的人数为（名），
D支付方式的人数为（名），
补全图形如下：

在扇形统计图中D种支付方式所对应的圆心角为 ，
故答案为：36；
（3）解： （名），
答：估计使用A和B两种支付方式的消费者的人数的总和为1480名．
【问题发现】
（1）如图1，在等腰直角中，点D是斜边上任意一点，在的右侧作等腰直角，使，，连接，则和的数量关系为 ；
【拓展延伸】
（2）如图2，在等腰中，，点D是边上任意一点（不与点B，C重合），在的右侧作等腰，使，，连接，则（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；
【归纳应用】
（3）在（2）的条件下，若，，点D是射线上任意一点，请直接写出当时的长．
【答案】（1）相等（2）成立，理由见解析（3）6或2
【分析】（1）利用证明 ，得；
（2）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立；
（3）先证明，再证明得，从而，然后再证明可证结论成立．
【详解】解：（1）相等，∵和都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
故答案为：相等；
（2）成立，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴∠；
（3）当点D在线段上时，如图2，
由（2）知，，
∴，
∴，
∴．
当点D在线段的延长线上时，如图3，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
综上可知，的长为2或6．
六、解答题（本大题共12分）
23. 如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线与y轴交于点D，的面积为12，求点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在点Q使得？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）先由的面积求出的长，从而确定点坐标为，再由待定系数法求出直线的解析式，直线与抛物线的交点即为所求；
（3）根据题意当点Q在第一象限时，利用二次函数的对称性求解；当点Q在第四象限时，设与x轴交于点E，首先根据勾股定理求出点E的坐标，然后求出的解析式，最后联立直线和抛物线即可求出点Q的坐标．
【详解】（1）将，代入，
，
解得，
；
（2）令，则，
解得或，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
联立方程组，
解得或，
；
（3）如图所示，当点Q在第一象限抛物线上时，
∵
∴
∴点Q和点C关于对称轴对称
∵，
∴抛物线的对称轴为
∵
∴点Q的坐标为；
如图所示，当点Q在第四象限的抛物线上时，设与x轴交于点E
∵
∴
∴设
∵，
∴，
∴在中，，即
∴解得
∴
∴
∴设直线的解析式为
将，代入得，
∴解得
∴
∴联立直线和抛物线得，
∴解得
∴将代入得，
∴点Q的坐标为．
综上所述，点Q的坐标为或．
读本
进价（元/本）
售价（元/本）
甲
30
45
乙
20
30