2024年山东省烟台市福山区一模数学试题

这是一份2024年山东省烟台市福山区一模数学试题，共21页。试卷主要包含了答题前，务必用0，非选择题必须用用0，某中学开展“读书节活动”等内容，欢迎下载使用。

1.本试卷共8页，共120分；考试时间120分钟，考试结束后，请将答题卡上交.
2.答题前，务必用0.5毫米黑色的签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡规定的位置上.
3.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上时应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他器标号.
4.非选择题必须用用0.5毫米黑色签字笔作答，答案写在答题卡指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.
5.写在试卷上或答题卡指定区域外的答案无效.
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都验出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的.
1.下列说法中，不正确的是
A．3与互为相反数B．与为倒数C．的立方根是D．的绝对值是1
2.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有
A．4个B．3个C．2个D．1个
3.如图所示的这个几何体，下列图形不是这个几何体的三视图的是
A．B．C．D．
4.下列运算结果正确的是
A．B．
C．D．
5.党的二十大报告指出，我国建成世界上规模最大的教育体系、社会保障体系，医疗卫生体系，教育普及水平实现历史性跨越，基本养老保险覆盖十亿四千万人，基本医疗保险参保率稳定在百分之九十五.将数据十亿四千万用料学记数法表示为
A．B．C．D．
6.已知数轴上的点A，B分别表示数a，b，其中，.若，数c在数轴上用点C表示，则点A，B，C在数轴上的位置可能是
A．B．
C．D．
7.某中学开展“读书节活动”。该中学某通文老师随机样调查了本班10名学生平均每周的课外阅读时间，统计如表：
下列说法错误的是
A．众数是1B．平均数是48C．样本容量是10D．中位数是5
8.如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD．若，，则∠CAO的度数与BC的长分别为
第8题图
A．15°，1B．15°，C．10°，1D．10°，
9.如图，将ABCD折叠，使点D在AB上点D＇处，折痕为AE；再次折叠，使点C落在ED＇上点C＇处，连接FC＇并延长变AE于点G.若，.则FG长为
第9题图
A．B．C．D．4
10.如图是抛物线（）的图象，其对称轴为，且该图象与x轴的一个交点在点和之间，并经过点与点，则下列结论：
①；②；③；④对于任意实数m，都有．
其中正确结论有
第10题图
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（本大题共6个小题，每个题3分，满分18分）
11.在函数中，自变量x的取值范围是 .
12.如图，五边形ABCDE是正五边形，若，则 .
第12题图
13.如图，在Rt△ABC中，，，.以点C为圆心，以AC的长为半径画弧，分别交AB，BC于点D，E，则图中阴影部分的面积为 .
第13题图
14.如图，平行四边形OABC的顶点A，B在函数（）的图象上，边BC与y轴交于点D，AE⊥x轴于点E.若△AOB的面积为8，则的值为 .
第14题图
15.如图，在四边形ABCD中，，，M，N分别是边DC，BC上的动点。当△AMN的周长最小时， .
第15题图
16.如图，礼盒的上下底面为全等的正六边形，其主视图与左视图均由矩形构成，主视图中大矩形边长如图所示，左视图中包含两全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为 厘米.
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）
17.（本题满分9分）
（1）先化简，再求值：，其中.
（2）解不等式组，并将解集在数轴上表示出来.
18.（本题满分6分）
如图，，且AC平分∠BAM.
（1）用尺规作∠ABC的平分线BD变AM于D，连接CD（保留作图准连，不写作法）；
（2）求证：（1）中的四边形ABCD是菱形。
19.（本题满分6分
某中学对1000名学生就“冰壶比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：
（1）根据以上信息可知：a＝ ，b＝ ，m＝ ，n＝ .
（2）请补全条形统计图；
（3）请估计该校1000名学生中“基本了解”的人数；
（4）若“报了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加“冰壶比赛规则”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同.
20.（本题满分7分）
如图，正比例函数（）与反比例函数（）的图象交于A、B两点，A的横坐标为，B的纵坐标为.
（1）求反比例函数的表达式.
（2）观察图象，直接写出不等式的解集.
（3）将直线AB向上平移n个单位，交双曲线于C、D两点，交坐标轴于点E、F，连接OD、BD，若△OBD的面积为20，求直线CD的表达式.
21.（本题满分7分）
为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩.
如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为45°时，求阴影CD的长.（结果精确到0.1米；参考数据：，，）
22.（本题满分8分）
音乐节期间某店铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售，已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件。不超过A种件数的4倍.
（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折，设购进A种饰品x件，
①求x的取值范围；
②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润.
21.（本题满分8分）
如，A是⊙O的弦，C为⊙O上一点，过点C作AB的垂线与AB延长线交于点D，连接BO并延长与⊙O交于点E，连接EC，.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，，求值AB的长.
24.（本题满分10分）
如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM，AM，AN.，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE，易证：，从而得.
图①
【实践探究】
（1）在图①条件下，若，，则正方形ABCD的边长是 .
（2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且.点E、F分别在BM、DN上，，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由.
图②
【拓展应用】
（3）如图③，在矩形ABCD中，，，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知，，求DM的长.
图③
25.（本题满分11分）
如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点，点在y轴上.点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止。
图1
（1）求随物线的表达式；
（2）当时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的形状，并说明理由.
（3）如图2，点从点开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接BQ，PC，求的最小值.
图2
2024年初四数学诊断性测试
参考答案及评分意见
本试题答案及评分意见，供阅卷评分使用。考生若写出其它正确答案，可参照评分意见相应评分。
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分）
11.；12.72°13．14．15.100°16．
三、解答题（本大题共9个小题，满分72分）
17．（本题满分9分）
解：原式
．
当时，
原式
．
（2）解：解不等式①得x＜2
解不等式②得x≥－1
在同一条数轴上表示不等式①②解集（略）
∴原不等式组的解集为－1≤x＜2
18．（本题满分6分）
解：
（1）共有作图痕迹4个，
（2）∵AM∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB，
AC平分∠BAM，
∠BAC＝∠DAC，
∠BAC＝∠ACB，
∴AB＝BC，
同理可得AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形
19.（本题满分6分）
解：
（1），
，
，
；
（2）补全条形图如下：
（第19题图）
（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有（人），
答案：400；
（4）记4名学生中3名男生分别为，，，一名女生为B，列表如下：
从4人中任取两人的所有机会均等结果共有12种，抽到两名学生均为男生包含：、、、、、共6种等可能结果.
∴P（抽到两名学生均为男生），
抽到一男一女包含：、、、、、共六种等可能结果.
∴P（抽到一男一女），
故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同．
20．（本题满分7分）
解：
（1）∵正比例函数（）与反比例函数（）的图象交于A、B两点，
∴A、B关于原点对称，
∵A的横坐标为－4，B的纵坐标为－6，
∴，，
∵点在反比例函数（）的图象上，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）观察函数图象，可知：当－4＜x＜0或x＞4时，正比例函数的图象在反比例函数（）的图象下方，
∴不等式的解集为－4＜x＜0或x＞4；
（3）方法1：连接BE，作BG⊥y轴于点G，
∵在直线上，
∴，解得，
∴直线AB的表达式为，
∵CD∥AB，
∴，
∵，
∴BG＝4，
∴，
∴OE＝10，
∴，
∴直线CD为．
方法2：连接BF，作BH⊥x轴于H，
∵在直线上，
∴，
∴直线AB的表达式为，
∵CD∥AB，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线CD的表达式为，
代入F点的坐标得，
解得b＝10，
∴直线CD为．
21.（本题满分7分）
解：
过A作AT⊥BC于T，AK⊥CE于K，如图：
在Rt△ABT中，
（米），
（米），
∵∠ATC＝∠C＝∠CKA＝90°，
∴四边形ATCK是矩形，
∴CK＝AT＝4.8米，AK＝CT＝BC－BT＝4－1.4＝2.6（米），
在Rt△AKD中，
∵∠ADK＝45°，
∴DK＝AK＝2.6米，
∴CD＝CK－DK＝4.8－2.6＝2.2（米），
∴阴影CD的长约为2.2米．
22．（本题满分8分）
解：
（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为元，
由题意得：，
解得：a＝10，
经检验，a＝10是所列方程的解，且符合题意，
a－1＝9，
答：A种饰品每件的进价为10元，则B种饰品每件的进价为9元；
（2）①由题意得：，
解得：120≤x≤210，
∴购进A种饰品件数x的取值范围为：120≤x≤210，且x为整数；
②设采购A种饰品x件时的总利润为w元，
当120≤x≤150时，，
∵－1＜0，∴w随x的增大而减小，
∴当x＝120时，w有最大值是：，
当150＜x≤210时，，
∵3＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝210时，w有最大值是：3×210＋3000＝3630，
∵3630＞3480，
∴w的最大值是3630，此时600－x＝600－210＝390，
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件，商铺获利最大，最大利润为3630元．
23.（本题满分8分）
（1）证明：连接OC，
∵OE＝OC，
∴∠E＝∠OCE．
∵∠BOC＝∠E＋∠OCE．
∴∠BOC＝2∠E，
∵∠ABE＝2∠E，
∴∠BOC＝∠ABE．
∴AB∥OC．
∴∠OCD＋∠ADC＝180°．
∵AB⊥CD于点D，
∴∠ADC＝90°．
∴∠OCD＝90°．
∴OC⊥CD．
∴CD是⊙O的切线．
（2）方法不唯一。
方法1：连接AC，BC，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BCE＝90°．
∴∠OBC＋∠E＝90°．
∵∠OCD＝90°，
∴∠OCB＋∠BCD＝90°．
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC．
∴∠E＝∠BCD．
∴．
∴在Rt△BCD中，．
∵∠A＝∠E，
∴在Rt△ACD中，．
∴AB＝AD－BD＝8．
方法2：过点O作OH⊥AB于H，
设⊙O的半径为r．
同方法1可得∠BCD＝∠E，CD＝3．
∵OH⊥AB，
∴∠OHD＝90°＝∠OCD＝∠ADC．
∴四边形OHDC是矩形．
∴OH＝CD＝3，HD＝OC＝r，
∴HB＝HD－BD＝r－1．
∵Rt△OHB中，，
∴．解得：r＝5．
∴HB＝4．
∴由垂径定理，AB＝2HB＝8．
24.
（1）12
解法提示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°.
由旋转得△ABE≌△ADM，
∴AE＝AM，BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，∠EAB＝∠MAD，
∴∠ABE＋∠ABC＝180°，
∴E，B，N在同一条直线上.
∵∠MAN＝45°，∠BAD＝90°，
∴∠BAN＋∠MAD＝45°，
∴∠BAN＋∠EAB＝45°，
∴∠EAN＝45°，
∴∠EAN＝∠MAN.
在△ANM与△ANE中，
，
∴△ANM≌△ANE，
∴MN＝EN.
∵EN＝BE＋BN＝DM＋BN，
∴MN＝DM＋BN，
∴MN＋CM＋CN＝DM＋BN＋CM＋CN＝CD＋BC＝2BC．
在Rt△CMN中，由勾股定理得
∴10＋8＋6＝2BC．
∴BC＝12.
（2）三条线段EF，BE，DF之间满足的数量关系为.
理由如下：
如图（1），过点D作DP⊥DF，且DP＝BE，连接PF，AP，
图（1）
则∠PDA＋∠ADF＝90°＝∠ADF＋∠NDM，
∴∠PDA＝∠NDM.
∵四边形ABCD是正方形，
∴BN∥DM，
又∵BN＝DM，
∴四边形BNDM是平行四边形，
∴∠EBA＝∠NDM，
∴∠PDA＝∠EBA．
在△APD与△AEB中，
，
∴△APD≌△AEB，
∴AP＝AE，∠PAD＝∠EAB．
∵∠EAP＝∠EAD＋∠PAD＝∠EAD＋∠EAB＝∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，
∴∠PAF＝45°＝∠EAF.
在△APF和△AEF中，
，
∴△APF≌△AEF，
∴EF＝FP.
在Rt△PDF中，由勾股定理得，
∴.
（3）如图（2），把矩形ABCD补成正方形AEFD，延长AN交EF于G，连接GM，则AE＝EF＝DF＝AD＝8.
图（2）
∵四边形ABCD是矩形，
∴BN∥EG，
∴△ABN∽△AEG，
∴，
∴，
∴.
设DM＝x，则FM＝DF－DM＝8－x.
∵四边形AEFD是正方形，∠GAM＝45°，
∴由（1）中证明知，.
在Rt△GMF中，由勾股定理得，
即，
解得x＝4，
∴DM的长为4.
25.（本题满分11分）
解：
（1）∵抛物线过点，
∴－16＋4b＝－4，
∴b＝3，
∴．
答：抛物线的表达式为．
（2）四边形OCPD是平行四边形，理由如下：
如图1，作PD⊥OA交x轴于点H，连接PC、OD，
图1
∵点P在y＝－x上，
∴OH＝PH，∠POH＝45°，
连接BC，
∵OC＝BC＝4，
∴．
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴PD＝DH＋PH＝2＋2＝4，
∵，
∴OC＝4，
∴PD＝OC，
∵OC⊥x轴，PD⊥x轴，
∴PD∥OC，
∴四边形OCPD是平行四边形．
（3）如图2，由题意得，BP＝OQ，连接BC，
图2
在OA上方作△OMQ，使得∠MOQ＝45°，OM＝BC，
∵OC＝BC＝4，BC⊥OC，
∴∠CBP＝45°，
∴∠CBP＝∠MOQ，
∵BP＝OQ，∠CBP＝∠MOQ，BC＝OM，
∴△CBP≌△MOQ（SAS），
∴CP＝MQ，
∴CP＋BQ＝MQ＋BQ≥MB（当M，Q，B三点共线时最短），
∴CP＋BQ的最小值为MB，
∵∠MOB＝∠MOQ＋∠BOQ＝45°＋45°＝90°，
∴，
即CP＋BQ的最小值为．
答：CP＋BQ的最小值为．
每周课外阅读时间（小时）
2
4
6
8
学生数（人）
2
3
4
1
类别
频数
频率
不了解
10
m
了解很少
16
0.32
基本了解
b
很了解
4
n
合计
a
1
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
C
C
B
A
A
C
C
B
B