2024北京东城区高三下学期5月二模试题数学含答案

这是一份2024北京东城区高三下学期5月二模试题数学含答案，共11页。

2024.5
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 （选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，，则（ ）
（A）（B）
（C）（D）
（2）下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
（A）（B）
（C）（D）
（3）在中，，，，则（ ）
（A）1（B）（C）（D）2
（4）已知双曲线过点，且一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的方程为（ ）
（A）（B）
（C）（D）
（5）直线与圆交于，两点，若圆上存在点，使得为等腰三角形，则点的坐标可以为（ ）
（A）（B）（C）（D）
（6）袋中有5个大小相同的小球，其中3个白球，2个黑球.从袋中随机摸出1个小球，观察颜色后放回，同时放入一个与其颜色大小相同的小球，然后再从袋中随机摸出1个小球，则两次摸到的小球颜色不同的概率为（ ）
（A）（B）（C）（D）
（7）已知函数与直线交于，两点，则所在的区间为（ ）
（A）（B）（C）（D）
（8）已知平面向量，，，是单位向量，且，则“”是“”的（ ）
（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（9）声音是由物体振动产生的，每一个纯音都是由单一简谐运动产生的乐音，其数学模型为，其中表示振幅，响度与振幅有关；表示最小正周期，，它是物体振动一次所需的时间；表示频率，，它是物体在单位时间里振动的次数.下表为我国古代五声音阶及其对应的频率：
小明同学利用专业设备，先弹奏五声音阶中的一个音，间隔个单位时间后，第二次弹奏同一个音（假设两次声音响度一致，且不受外界阻力影响，声音响度不会减弱），若两次弹奏产生的振动曲线在上重合，根据表格中数据判断小明弹奏的音是（ ）
（A）宫（B）商（C）角（D）徵
（10）设无穷正数数列，如果对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得，那么称为内和数列，并令，称为的伴随数列，则（ ）
（A）若为等差数列，则为内和数列
（B）若为等比数列，则为内和数列
（C）若内和数列为递增数列，则其伴随数列为递增数列
（D）若内和数列的伴随数列为递增数列，则为递增数列
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在的展开式中，常数项为________.（用数字作答）
（12）若复数满足.则在复平面内，对应的点的坐标是________.
（13）设函数则________，不等式的解集是________.
（14）如图，在六面体中，平面平面，四边形与四边形是两个全等的矩形.，，平面.，，，则________.该六面体的任意两个顶点间距离的最大值为________.
（15）已知平面内点集，中任意两个不同点之间的距离都不相等.设集合，.给出以下四个结论：
①若，则；
②若为奇数，则；
③若为偶数，则；
④若，则.
其中所有正确结论的序号是________.
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，，，，，平面平面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，，求平面与平面夹角的余弦值.
（17）（本小题13分）
已知函数的部分图象如图所示.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，并求函数在上的最大值和最小值.
条件①：函数是奇函数；
条件②：将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题13分）
北京市共有16个行政区，东城区、西城区、朝阳区、丰台区、石景山区和海淀区为中心城区，其他为非中心城区.根据《北京市人口蓝皮书・北京人口发展研究报告（2023）》显示，2022年北京市常住人口为2184.3万人，由城镇人口和乡村人口两个部分构成，各区常住人口数量如下表所示：
（Ⅰ）在16个行政区中随机选择一个，求该区为非中心城区且2022年乡村人口在20万人以下的概率；
（Ⅱ）若随机从中心城区选取1个，非中心城区选取2个行政区，记选出的3个区中2022年常住人口超过100万人的行政区的个数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）记2022年这16个区的常住人口、城镇人口、乡村人口的方差分别为，，.试判断，，的大小关系.（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，，直线，且到的距离与到的距离之比为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设，为椭圆上不同的两点（不在坐标轴上），过点作直线的平行线与直线交于点，过点作直线的平行线与直线交于点.求证：点与点到直线的距离相等.
（20）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的极值点个数.
（21）（本小题15分）
已知为有穷整数数数，若满足：，其中，是两个给定的不同非零整数，且，则称具有性质.
（Ⅰ）若，，那么是否存在具有性质的？若存在，写出一个这样的；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若，.且具有性质，求证：中必有两项相同；
（Ⅲ）若，求证：存在正整数，使得对任意具有性质的，都有中任意两项均不相同.
音
宫
商
角
徵
羽
频率
行政区
东城区
西城区
朝阳区
丰台区
石景山区
海淀区
门头沟区
房山区
城镇人口（万人）
70.4
110
343.3
199.9
56.3
305.4
36.2
102.6
乡村人口（万人）
0
0
0.9
1.3
0
7
3.4
28.5
行政区
通州区
顺义区
昌平区
大兴区
怀柔区
平谷区
密云区
延庆区
城镇人口（万人）
137.3
87.8
185.9
161.6
32.8
27.9
34.9
20.5
乡村人口（万人）
47
44.7
40.8
37.5
11.1
17.7
17.7.
13.9
北京市东城区2022-2023学年度第二学期高三综合练习（二）
数学参考答案及评分标准
2023.5
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A（2）C（3）B（4）A（5）D（6）C（7）B（8）C（9）C（10）A
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）1 2（12） （13）（答案不唯一）（14）（15）①③④
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（1）由正弦定理得，由题设得，
，
因为，所以.
所以. ,.
（Ⅱ）选条件①：.
因为，，.
由正弦定理得，由余弦定理得，
解得.所以.
由解得.
选条件②：.
已知，，，由正弦定理得，
因为，所以，，.
所以.
（17）（共14分）
解：（1）由题设知.
因为平面平面，平面平面，
所以平面.
因为平面，所以.
因为为等边三角形，是的中点，所以.
因为，所以平面.所以.
（Ⅱ）设，.
取的中点，的中点，连接，，
则，.
由（1）知平面，所以平面，
所以，.
如图建立空间直角坐标系，则，，，.
所以，，，，
.
设平面的法向量为，
则即
令，则，.于是.
因为直线和平面所成角的正弦值为，
所以，
整理得，解得或.
因为，所以，即.
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）根据表中数据，可知这7名学生中有4名学生的第二次考试成绩高于第一次考试成绩，分别是学生1，学生2，学生4，学生5，
则从数学学习小组7名学生中随机选取1名。该名学生第二次考试成绩高于第一次考试成绩的概率为.
（Ⅱ）（i）随机变量可能的取值为0,1,2.
这7名学生第二次考试成绩与第一次考试成绩的差分别为1,1，，3,1，，.
；
；
.
则随机变量的分布列为：
的数学期望.
（ii）.
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）因为抛物线过点，所以，即.
故抛物线的方程为，焦点，准线方程为.
所以.
（Ⅱ）设直线的方程为.
由得.
由有.
设，，
则，.
设的中点为，则.
到准线的距离，
，
依题意有，即.
整理得，解得，满足.
所以直线过定点.
（20）（共15分）
解：（Ⅰ），，.
所以曲线在点处的切线方程为.
（Ⅱ）令，则，
当时，，在上单调递增.
因为，，
所以，使得.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
，，
所以.
（Ⅲ）满足条件的的最大整数值为.
理由如下：
不等式恒成立等价于恒成立.
令，
当时，，所以恒成立.
当时，令，，，
与的情况如下：
所以.
当趋近正无穷大时，，且无限趋近于0，
所以的值域为.
因为，所以的最小值小于且大于.
所以的最大整数值为.
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）由题设知，.
（Ⅱ）依题意，则有.
因此.
又因为，所以.所以互不相同.
（Ⅲ）依题意，.
由或，知或.
令，可得或，对于成立，
故或.
①当时，，所以.
②当时，或.
当时，由或，有，
同理，所以.
当时，此时有，
令，，可得或，即或.
令，，可得或.令，，可得.所以.
若，则令，，可得，与矛盾.所以有.
不妨设，
令，，可得，因此.
令，，则或.故.
所以.
综上，时，.
时，.
时，.0
1
2
1
-
0