2024北京朝阳区高三下学期4月一模试题数学含答案

这是一份2024北京朝阳区高三下学期4月一模试题数学含答案，共14页。

2024.4
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集，则
（A）（B）（C）（D）
（2）复数在复平面内对应的点位于
（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限
（3）在中，，则
（A）（B）或（C）（D）或
（4）已知，则“”是“函数在上单调递增”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件
（5）已知直线和圆相交于两点．若，则
（A）（B）（C）（D）
（6）已知等比数列的前项和为，且，则
（A）（B）（C）（D）
（7）已知双曲线的右焦点为，过点作垂直于轴的直线，分别是与双曲线及其渐近线在第一象限内的交点．若是线段的中点，则的渐近线方程为
（A）（B）（C）（D）
（8）在中，，点在线段上．当取得最小值时，
（A）（B）（C）（D）
（9）在棱长为的正方体中，分别为棱的中点，动点在平面内，且．则下列说法正确的是
（A）存在点，使得直线与直线相交
（B）存在点，使得直线平面
（C）直线与平面所成角的大小为
（D）平面被正方体所截得的截面面积为
（10）已知个大于2的实数，对任意，存在满足，且，则使得成立的最大正整数为
（A）14（B）16（C）21（D）23
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）
（12）已知抛物线的焦点为，准线方程为，则________；设为原点，点在抛物线上，若，则________．
（13）已知函数若实数满足，则________；的取值范围是________．
（14）已知函数．若曲线在点处的切线与其在点处的切线相互垂直，则的一个取值为________．
（15）设为两个非空有限集合，定义，其中表示集合的元素个数．某学校甲、乙、丙、丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为．已知物理，化学，生物，地理，物理，化学，思想政治，历史，地理，给出下列四个结论：
①若，则思想政治，历史，生物；
②若，则地理，物理，化学；
③若={思想政治，物理，生物}，则；
④若，则={思想政治，地理，化学}．
其中所有正确结论的序号是________．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数的最小正周期为．
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，确定的解析式，并求函数的单调递增区间．
条件①：的最大值为；
条件②：的图象关于点中心对称；
条件③：的图象经过点．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题14分）
如图，在三棱锥中，侧面底面，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）已知，是线段上一点，当时，求二面角的余弦值．
（18）（本小题13分）
为提升学生用数学知识解决现实生活或其他学科领域中的问题的能力，发展学生数学建模素养，某市面向全市高中学生开展数学建模论文征文活动．对于参加征文活动的每篇论文，由两位评委独立评分，取两位评委评分的平均数作为该篇论文的初评得分．从评委甲和评委乙负责评审的论文中随机抽取10篇，这10篇论文的评分情况如下表所示．
（Ⅰ）从这10篇论文中随机抽取1篇，求甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的概率；
（Ⅱ）从这10篇论文中随机抽取3篇，甲、乙两位评委对同一篇论文的评分之差的绝对值不超过5的篇数记为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）对于序号为的论文，设评委甲的评分为，评委乙的评分为，分别记甲、乙两位评委对这10篇论文评分的平均数为，标准差为，以作为序号为的论文的标准化得分．对这10篇论文按照初评得分与标准化得分分别从高到低进行排名，判断序号为2的论文的两种排名结果是否相同？（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，分别是的左、右顶点，是上异于的点，的面积的最大值为．
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）设为原点，点在直线上，分别在轴的两侧，且与的面积相等．
（ⅰ）求证：直线与直线的斜率之积为定值；
（ⅱ）是否存在点使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由．
（20）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若关于的不等式无整数解，求的取值范围．
（21）（本小题15分）
若有穷自然数数列满足如下两个性质，则称为数列：
①，其中，表示这个数中最大的数；
②，其中，表示这个数中最小的数．
（Ⅰ）判断是否为数列，说明理由；
（Ⅱ）若是数列，且成等比数列，求；
（Ⅲ= 3 \* ROMAN）证明：对任意数列，存在实数，使得．
（表示不超过的最大整数）
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）序号
评委甲评分
评委乙评分
初评得分
1
67
82
74.5
2
80
86
83
3
61
76
68.5
4
78
84
81
5
70
85
77.5
6
81
83
82
7
84
86
85
8
68
74
71
9
66
77
71.5
10
64
82
73
北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一
数学参考答案 2024.4
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D（2）A（3）D（4）A（5）D
（6）C（7）C（8）B（9）C（10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11）（12）（13）
（14）（答案不唯一）（15）① ③
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：因为的最小正周期，所以．
所以．
（Ⅰ）因为，所以．
又，且，
所以．5分
（Ⅱ）选条件①②：
因为的最大值为2，所以．
因为的图象关于点中心对称，
所以，即．
因为，所以．
所以．
所以

．
令，
得．
所以的单调递增区间为．13分
选条件①③：
因为的最大值为2，所以．
因为函数的图象经过点，
所以，即．
因为，所以．
所以，即．
下同选条件①②．13分
选条件②③：
因为的图象关于点中心对称，
所以，即．
因为，所以．
所以．
因为函数的图象经过点，
所以．
所以．
下同选条件①②．13分
（17）（共14分）
解：（Ⅰ）取中点，连接．
因为，所以．
又因为，所以．
又因为，
所以平面．
又平面，
所以．5分
（Ⅱ）因为侧面底面，且，平面，
平面平面，
所以平面．
又平面，所以．
又因为，
如图，建立空间直角坐标系．
因为，所以．
则．
所以．
因为是线段上一点，设．
所以．
因为，所以，解得．
所以．
设平面的法向量为，则
即
令，则．于是．
因为平面，所以平面的法向量为．
所以．
由题知，二面角为锐角，所以其余弦值为．14分
（18）（共13分）
解：（Ⅰ）设事件为“从这10篇论文中随机抽取1篇，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5”，
在这篇论文中，甲、乙两位评委的评分之差的绝对值不超过5的有2篇，
所以．4分
（Ⅱ）依题意，的可能取值为．
，
，
．
所以的分布列为
所以的数学期望为．10分
（Ⅲ）相同．13分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题知的最大值为，
依题意解得
所以的方程为．5分
（Ⅱ）设，，则．
（ⅰ）由题知，所以，
即，故．
设直线的斜率为，直线的斜率为，
所以．
所以直线与直线的斜率之积为定值．
（ⅱ）假设存在点使得，
因为，，，
所以．
由（ⅰ）可知．
所以，
即．
所以．
又，所以．
所以，
整理得，解得，与矛盾．
所以不存在点使得．15分
（20）（共15分）
解：函数的定义域为．
（Ⅰ）当时，，则函数在区间上单调递增．
当时，．
= 1 \* GB3 ①若，当时，，函数在区间上单调递减，
当时，，函数在区间上单调递增．
②若，当时，，函数在区间上单调递增，
当时，，函数在区间上单调递减．8分
（Ⅱ）由可得．
设函数，则．
令，则，
所以函数在区间上单调递增．
又，，
所以函数在区间上存在唯一零点．
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以当时，，当时，．
= 1 \* GB3 ①若，当时，，
此时有无穷多个整数解，不符合题意．
= 2 \* GB3 ②若，因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以当时，．
所以无整数解，符合题意．
= 3 \* GB3 ③若，因为，
所以是的两个整数解，不符合题意．
综上，的取值范围是．15分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ）不是数列．理由如下：
因为，
所以．
但，所以不满足性质①，故不是数列．4分
（Ⅱ）根据数列的定义，可知满足：
或，或．
（1）若，因为成等比数列，所以．
又因为，所以．
当时，由得．
（2）若，因为成等比数列，所以．
当时，由得，
与是自然数矛盾，舍去．
当时，由得，
与是自然数矛盾，舍去．
所以，，．
由，以及，
可知，所以．
由，以及，
可知．
由，
以及，
可知，所以．9分
（Ⅲ= 3 \* ROMAN）当时，根据数列的定义，可知或．
若，取，则，结论成立．
若，取，则，结论成立．
假设存在自然数，存在数列使得结论不成立，设这样的的最小值为，
即存在数列，对任意实数，存在，使得．
根据假设，数列的前项组成的数列是一个数列，
从而存在实数，使得．
所以，
即．
令，则．
令，则．
（1）若，根据的定义，存在，使得，
又，
则，
且，所以．
（2）若，根据的定义，存在，使得，
又，
则，
且，所以．
所以．
令，则，
即，
所以．
所以，即，与假设矛盾．
综上，结论成立．15分