2022北京东城区高三下学期一模考试数学试题含答案

2022北京东城高三一模

数    学

 2022.4

本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合，，则

（A）    （B）

（C）    （D）

（2）下列函数中，定义域与值域均为R的是

（A）     （B）在此处键入公式。

（C）     （D）

（3）已知复数满足，则的虚部为

（A）2   （B）－2  （C）1   （D）－1

（4）已知数列的前项和，则是

（A）公差为2的等差数列    （B）公差为3的等差数列

（C）公比为2的等比数列    （D）公比为3的等比数列

（5）已知，则

（A）   （B）  （C）  （D）

（6）已知正方体的棱长为1，为上一点，则三棱锥的体积为

（A）   （B）  （C）  （D）

（7）在中国农历中，一年有24个节气，“立春”居首。北京2022年冬奥会开幕正逢立春，开幕式上“二十四节气”的倒计时让全世界领略了中华智慧。墩墩同学要从24个节气中随机选取3个介绍给外国的朋友，则这3个节气中含有“立春”的概率为

（A）   （B）  （C）  （D）

（8）已知，则“”是“”的

（A）充分而不必要条件    （B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件    （D）既不充分也不必要条件

（9）在平面直角坐标系中，直线与轴和轴分别交于，两点，，若，则当，变化时，点到点的距离的最大值为

（A）  （B）  （C）  （D）

（10）李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过天后，用户人数，其中为常数。已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为

（本题取）

（A）31   （B）32  （C）33  （D）34

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

（11）在的展开式中，常数项为________.（用数字作答）

（12）已知向量，在正方形网格中的位置如图所示。若网格上小正方形的边长为1，则________.

（13）已知抛物线过点，则________；若点，在上，为的焦点，且，，成等比数列，则________.

（14）已知函数若，则不等式的解集为________；若恰有两个零点，则的取值范围为________.

（15）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动。如图1所示，线段表示角楼的高，，，为三个可供选择的测量点，点，在同一水平面内，与水平面垂直。现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为________.（只需写出一种方案）

①，两点间的距离；

②，两点间的距离；

③由点观察点的仰角；

④由点观察点的仰角；

⑤和；

⑥和.

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（16）（本小题13分）

已知函数.从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）设，求函数在上的单调递增区间.

条件①：；

条件②：为偶函数；

条件③：的最大值为1；

条件④：图象的相邻两条对称轴之间的距离为．

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅰ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

（17）（本小题14分）

如图，在三棱柱中，平面，，，为线段上一点.

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离.

（18）（本小题13分）

根据Z市2020年人口普查的数据，在该市15岁及以上常住人口中，各种受教育程度人口所占比例（精确到0.01）如下表所示：

（Ⅰ）已知Z市15岁及以上常住人口在全市常住人口中所占比例约为85%，从全市常住人口中随机选取1人，试估计该市民年龄为15岁及以上且受教育程度为硕士研究生的概率；

（Ⅱ）从Z市15岁及以上常住人口中随机选取2人，记这2人中受教育程度为大学本科及以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；

（Ⅲ）若受教育程度为未上学、小学、初中、高中、大学专科及以上的受教育年限分别记为0年、6年、9年、12年、16年，设Z市15岁及以上男性与女性常住人口的平均受教育年限分别为年和年，依据表中的数据直接写出与的大小关系.

（结论不要求证明）

（19）（本小题15分）

已知函数．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为－1，求的值；

（Ⅱ）若在上有最大值，求的取值范围.

（20）（本小题15分）

已知椭圆的离心率为，焦距为．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点.是否存在常数，使得直线与直线的交点在，之间，且总有？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

（21）（本小题15分）

设数列.如果，且当时，，则称数列具有性质.对于具有性质的数列，定义数列，其中.

（Ⅰ）对，写出所有具有性质的数列；

（Ⅱ）对数列，其中，证明：存在具有性质的数列，使得与为同一个数列；

（Ⅲ）对具有性质的数列，若且数列满足

，证明：这样的数列有偶数个.

（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）