2024年中考押题预测卷（广州卷）-数学（全解全析）

这是一份2024年中考押题预测卷（广州卷）-数学（全解全析），共21页。

数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．的倒数是（ ）
A．B．C．D．2024
【答案】B
【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数进行求解即可．
【解析】解：的倒数是，
故选：B．
2．年巴黎奥运会是第三十三届夏季奥林匹克运动会，将于年月日至月日在法国巴黎举行．下面年巴黎奥运会项目图标是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．
【解析】、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、是中心对称图形，该选项符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
、不是中心对称图形，该选项不符合题意；
故选：．
3．下列运算不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查立方根，二次根式的减法，积的乘方和幂的乘方以及分式的加法，分别根据相关运算法则进行计算后再判断即可
【解析】解：A. ，故选项A计算错误，符合题意；
B. ，故选项B计算正确，不符合题意；
C. ，故选项C计算正确，不符合题意；
D. ，故选项A计算正确，不符合题意；
故选：A
4．如图所示，该几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据主视图是从几何体正面看到的平面图形即可解答．
【解析】解：∵从几何体的正面看到的平面图形是一个长方形和侧面的长方形，
即主视图是两个长方形中间有一条实线的平面图形，
故选．
5．学校举行投篮比赛，某班有7名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为3，5，5，6，6，4，6．下列关于这组数据描述不正确的是（ ）
A．众数为6B．平均数为5C．中位数为5D．方差为1
【答案】D
【分析】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，根据定义求出对应数值分别判断，即可得到答案．
【解析】解：A、6出现3次，出现次数最多，故众数是6，该项描述正确，不符合题意；
B、 ，故该项描述正确，不符合题意；
C、这组数据按由小到大排列是：3，4，5，5，6，6，6．最中间的是第四个数5，中位数为5，故该项描述正确，不符合题意；
D、方差为，故该项描述错误；符合题意，
故选：D．
6．已知四边形是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当时，它是矩形B．当时，它是菱形
C．当时，它是菱形D．当时，它是正方形
【答案】D
【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定逐个判断即可．
【解析】解：A、∵四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，故本选项不符合题意；
B、∵四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
C、四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形，故本选项不符合题意；
D、∵四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，不一定是正方形，故本选项符合题意；
故选：D．
7．若有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（ ）
A．B．且C．且D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此根据一元二次方程的定义得到，再利用判别式求解即可．
【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故选：C．
8．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是（ ）

A．不小于 B．不大于 C．小于D．大于
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据图象可知，函数图象是反比例函数，且过点，将点代入反函数解析式即可求得的值，从而得出函数解析式，再根据的范围即可得出答案．
【解析】函数图象是双曲线的一条分支，且过点
，
则
故选：A．
9．如图，在中，，，与，分别切于点D，C，连接．则的度数为（ ）

A．50B．40C．30D．20
【答案】C
【分析】由，，求得，由与，分别切于点，，根据切线长定理得，则，所以，求得，则，于是得到问题的答案．
【解析】解：，，
，
与，分别切于点，，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
10．如图，矩形纸片中，，，点，分别在，上，将纸片沿直线折叠，点落在上的点处，点落在点处，有以下四个结论：①四边形是菱形；②平分；③线段的取值范围为；④当点与点重合时，．则正确结论的有（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】①先证明四边形是平行四边形，结合，即可判断说法正确与否；②若平分，可求得，即可判断说法正确与否；③当点与点重合时，可以取得最小值，当四边形为正方形时，可以取得最大值；④根据勾股定理即可判断说法正确与否．
【解析】①根据图形折叠的性质可知，，
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
又，∴四边形是平行四边形．
又，∴四边形是菱形．
说法①正确．
②∵四边形是菱形，
∴．
若平分，则，
∴．
所以，只有当时，平分．
说法②错误．
③如图所示，当点与点重合时，可以取得最小值．

设，则．
在中
，即
解得
所以，的最小值为．
当四边形为正方形时，可以取得最大值．
此时点、、重合，．
所以，的最大值为．
综上所述，．
说法③正确．
④根据题意可知，
∵四边形是菱形．
∴，．
∴．
∴．
说法④正确．
综上所述，说法正确的为①③④．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，利用提公因式法即可求解．
【解析】解：原式，
故答案为：
12．分式方程的解 ．
【答案】/
【分析】本题考查解分式方程，去分母将分式方程转化为整式方程，求解后检验即可．
【解析】解：去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，∴，
经检验，是原方程的解；
故答案为：．
13．在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，，，．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为的概率为 ．
【答案】
【分析】先利用树状图列出两次取出的小球标号和的所有可能情况数，再找出两次取出的小球标号的和等于5的情况数，最后求出概率即可．
【解析】解：画树状图得：
由树状图可知：共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于5的有4种情况，
∴两次摸出的小球标号之和等于5的概率是：=．
故答案为：．
14．如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则 ．

【答案】3
【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得出，然后利用勾股定理即可得出，最后利用三角形中位线定理即可求解．
【解析】解：∵在中，为斜边上的中线，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴
故答案为：3．
15．如图，正方形的边，点E、F为正方形边的中点，以为半径的扇形交正方形的边于点G、H，则长为 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查弧长的计算，解直角三角形，正方形的性质，先求出，再运用弧长公式进行计算即可得到结论．
【解析】解：∵点E、F为正方形边的中点，
∴
在中，，
∴，
∴，
同理可求出，
∴，
∴长为，
故答案为：．
16．如图，在抛物线（a >0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y1），点Q的坐标为（m，y2）（m>0），点M在y轴上，M的坐标为（0，1）．
（1）用含a、m的代数式表示= ．
（2）连接PM，QM，小磊发现：当直线PM与直线QM关于直线y=对称时，为定值d，则d= ．
【答案】 15am2
【分析】（1）把P、Q的坐标分别代入y＝ax2﹣4，求得y1＝16am2﹣4，y2＝am2﹣4，即可得到|y1﹣y2|＝15m2a．
（2）根据待定系数法求得直线PM的解析式，然后半轴x＝m代入求得对应的函数值，直线PM与直线QM关于直线y＝﹣1对称，即可得出 +（am2﹣4）＝2×（﹣1），解得am2＝ ，由（1）可知，|y1﹣y2|＝15m2a，即可得出d＝ ．
【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣4（a＞0）上有两点P、Q，点P的坐标为（4m，y1），点Q的坐标为（m，y2）（m＞0），
∴y1＝16am2﹣4，y2＝am2﹣4，
∴|y1﹣y2|＝|15m2a|，
∵a＞0，m＞0，
∴|y1﹣y2|＝15m2a．
故答案为：15m2a．
（2）设直线PM的解析式为y＝kx+b，
∵点P的坐标为（4m，16am2﹣4），M（0，﹣1），
∴ ，
解得 ，
∴直线PM为y＝x﹣1，
当x＝m时，y＝•m﹣1＝，
∵直线PM与直线QM关于直线y＝﹣1对称，
∴+（am2﹣4）＝2×（﹣1），
∴am2＝，
∵|y1﹣y2|为定值d，|y1﹣y2|＝15m2a，
∴d＝ ，
故答案为：．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答要求写出文字说明、证明过程或计算步骤．）
17．解方程组：
【答案】
【分析】根据加减消元法可求解方程组．
【解析】解：
得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为．
18．如图，，求证：．
【答案】见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，运用证明，得到，再根据等式的性质即可得出结论．
【解析】证明：∵，
∴．
∵，
∴
在和中，，
∴．
∴．
∴．
即：．
19．已知．
(1)化简；
(2)若，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为6，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据单项式乘多项式的运算法则和完全平方公式将原式展开，去括号后再合并同类项即可；
（2）根据菱形的面积公式可求出的值，然后整体代入由（1）所得的结果进行计算即可．
【解析】（1）解：
；
（2）∵，是菱形两条对角线的长，且该菱形的面积为6，
∴，
∴，
∴．
∴的值为．
20．为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动，赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为，，，四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．根据图表信息，回答下列问题：

(1)表中 ；扇形统计图中，等级对应的扇形圆心角为度 ；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为等级的学生共有 人；
(2)若分以上的学生有人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人都未被选中的概率．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）由等级的人数和所对应的圆心角的度数求出抽取的学生人数，用总人数减去其它等级的人数，求出，再用乘以等级所占的百分比，求出等级对应的扇形圆心角度数；用全校的总人数乘以成绩为等级的学生所占的百分比，即可得出答案；
（2）画树状图，共有种等可能的结果，甲、乙两人都未被选中的结果有种，再由概率公式求解即可．
【解析】（1）解：抽取的学生人数为：（人，
，
等级对应的扇形圆心角为：，
估计成绩为等级的学生共有：（人，
故答案为：，，；
（2）95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，其他两人记为丙、丁，
画树状图如图：

共有12种等可能的结果，甲、乙两人都未被选中的结果有2种，
则甲、乙两人都未被选中的概率．
21．随着疫情防控形势稳步向好，“复工复产”成为主旋律．某生产无人机公司统计发现，公司今年2月份生产型无人机架，4月份生产型无人机达到架．
(1)求该公司生长型无人机每月产量的平均增长率；
(2)该公司还生产型无人机，已知生产架型无人机的成本是元，生产架型无人机的成本是元．现要生产两种型号的无人机共架，其中型无人机数量不超过型无人机数量的倍．公司生产两种型号无人机各多少架时才可使生产成本最少？
【答案】(1)该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%；
(2)公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
【分析】（1）直接利用连续两次平均增长率求法得出等式求出答案；
（2）根据题意求出a的取值范围，再利用一次函数增减性得出答案．
【解析】（1）解：设该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为，
，
（不合题意，舍去）
∴该公司生产A型无人机每月产量的平均增长率为150%；
（2）解：设生产A型号无人机a架，则生产B型号无人机架，需要成本为w元，依据题意可得：
，
解得：，
，
∵，
∴当a的值增大时，w的值减小，
∵a为整数，
∴当时，w取最小值，此时，
，
∴公司生产A型号无人机75架，生产B型号无人机25架成本最小．
22．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
(1)尺规作图：作∠A的角平分线AP交BC于点P；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）所作的图中，若AC=5，BC=12，求CP的长．
【答案】(1)见解析
(2)CP的长为．
【分析】（1）利用基本作图（作已知角的平分线）作AP平分∠BAC；
（2）过点P作PD⊥AB于点D，设PD=PC=x，则PB=12-x，先利用勾股定理计算出AB=13，再根据S△ABP=AB×PD=PB×AC，计算即可得出x．
【解析】（1）解：如图，AP为所作；
；
（2）解：过点P作PD⊥AB于点D，
∵AP平分∠BAC，PD⊥AB，∠C=90°，
∴PD=PC，
在Rt△ABC中，AC=5，BC=12，
∴AB=，
设PD=PC=x，则PB=12-x，
∵S△ABP=AB×PD=PB×AC，
∴13x=5(12-x) ，
解得：x=．
∴CP的长为．
23．最佳视点
如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点．
如图2，当过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，…

任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大；
任务二：若，观察者的眼睛距地面的距离为米，最大视角为，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到米，参考数据)．
【答案】任务一：见解析；任务二：观察者应该站在距离0.87米的地方最理想
【分析】任务一：见详解作图，由圆周角定理得，再由三角形外角定理得，所以，因此在点E时视角最大．
任务二：由圆心角定理知，可证是等边三角形，再由切线定理可证，从而可证，于是可证四边形是平行四边形，则，推得．最后解可求得的长．
【解析】任务一：过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，
∵是的外角，
∴，
又∵与都是弧所对的圆周角，
∴，
∴，
∴在点E时视角最大．
任务二：∵，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，．
如图2，连接，

∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
由题意得，(米)，
在中，(米)．
答：观察者应该站在距离米的地方最理想．
24．综合运用：已知，抛物线如图1所示，其对称轴是．
(1)①写出与的数量关系______；
②证明：抛物线与直线有两个交点；
(2)如图2，抛物线经过点，将此抛物线记为，把抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线．
①求抛物线与轴的交点坐标；
②点为抛物线上一动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，连接，以点为圆心、的长为半径作．当与轴相切时，求点的坐标．
【答案】(1)①，②见解析
(2)①，；②或或或
【分析】（1）①根据对称轴是，列式，即可求解，②联立抛物线与直线方程，计算并配方，即可求解，
（2）①将代入，求出抛物线的表达式：，顶点式：，根据坐标的平移，得到抛物线的表达式，当时，即可求解②，根据与点纵坐标的绝对值相等，列出等式，即可求解，
本题考查了，抛物线的对称轴，求抛物线解析式，二次函数图象的平移，解题的关键是：根据题意列出等量关系式．
【解析】（1）解：①∵抛物线的对称轴是，
∴，即：，
∴抛物线方程为：，
②联立抛物线与直线方程，，
整理得：，
∵，
∴，
∴抛物线与直线有两个交点，
故答案为：①，
（2）解：①将代入，得：，
解得：，
∴抛物线表达式为：，顶点式为：，
∵抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得抛物线，
∴抛物线的表达式为：，
当时，，
解得：，，
∴抛物线与轴的交点坐标为：，，
②根据题意得：，
∴，或，
整理得：，或，
解得：或或或，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
当时，，，
故答案为：或或或．
25．在正方形中，点在边上，连．

(1)如图1，若，，求长；
(2)如图2，点在对角线上，满足，过点作交于，点在线段上（不与端点重合），连接．若，求证：；
(3)如图3，在（1）的条件下，点是中点，点是射线上的一动点，连，将沿着翻折得到，连交于，连，当最小时，请直接写出的面积．
【答案】(1)2
(2)见解析
(3)
【分析】（1）作交于，则，由正方形的性质可得，，，则为等腰直角三角形，设，则，，由勾股定理可得，最后根据得出，求出的值即可得到答案；
（2）连接，证明得到，证明得到，即可得证；
（3）作，交于，得到，推出，从而得到，进而得到，即当最小时，最大，由折叠的性质可得，得出点在以为圆心，2为半径的圆上，作，且于，交的延长线于，从而得出当点运动到时，最大，最小，解直角三角形求出，再解直角三角形，求出，根据三角形面积公式进行计算即可得到答案．
【解析】（1）解：如图，作交于，则，

四边形是正方形，
，，，
为等腰直角三角形，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：或（不符合题意，舍去），
；
（2）证明：如图，连接，

四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
，
，
在和中，，
，
，
，即；
（3）解：由（1）可得，，，
，
如图，作，交于，

，
，
，
，即，
当最小时，最大，
点是中点，
，
由折叠的性质可得：，
点在以为圆心，2为半径的圆上，
作，且交于，交的延长线于，
当点运动到时，最大，最小，
，
，
作与，连接，则，
，
，
，
，
，
在中，，
四边形是正方形，，
，
，
，，
，
，
，
在中，，
．等级
成绩
人数
15
18
7