2024年中考押题预测卷01（重庆卷）-数学（全解全析）

这是一份2024年中考押题预测卷01（重庆卷）-数学（全解全析），共24页。

数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）.
1．下列各数中最小的数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据：正数都大于，负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，即可判断求解，掌握有理数的大小比较法则是解题的关键．
【详解】解：∵正数大于一切负数，∴最小的数在和之间，
∵，，，∴，∴最小的数是，故选：．
2．《海底两万里》是法国著名作家儒勒·凡尔纳的一部著名作品，他在小说中塑造了尼摩船长这个反对沙皇专制统治的高大形象，赋予其强烈的社会责任感和人道主义精神，以此来表达对现实的批判．如图所示是《海底两万里》中尼摩船长所发明的潜水头盔的示意图．这种头盔具有良好的抗水压性能，能使潜水工作者在水下数百米深处作业而行动自如．现将其抽象为图示的立体图形，则该头盔的俯视图为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查了几何体的俯视图，根据俯视图是由从上往下看得到的图形即可得出答案，考查了空间想象能力．
【详解】解：根据俯视图是由从上往下看得到的图形可得，该头盔的俯视图为故选：D．
3．如图，网格中每个小正方形的边长是1，若与是位似图形，则位似中心的坐标是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了位似变换，位似图形对应边平行，对应点的连线交于一点，这一点是位似中心．利用位似图形的性质连接各对应点，进而得出位似中心的位置．
【详解】解：连接并延长，连接并延长，连接并延长，延长线的交点即为位似中心，如图所示：
由图知，位似中心的坐标是，故选：D．
4．估计的值应在（ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【答案】C
【分析】本题考查的是无理数的估算，二次根式的乘法运算，熟记运算法则以及估算方法是解本题的关键．先计算二次根式的乘法再估算即可．
【详解】解：，∵，∴，故选：C．
5．一次数学活动中，为检验纸带①、②的边线是否平行，小明和小丽采用了两种不同的方法：小明把纸带①沿折叠，量得；小丽把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合，且点在同一直线上，点也在同一直线上．则下列判断正确的是（ ）
A．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行B．纸带1的边线不平行，纸带②的边线平行
C．纸带①、②的边线都平行D．纸带①、②的边线都不平行
【答案】B
【分析】此题主要考查了平行线的判定以及翻折变换的性质，正确掌握翻折变换的性质是解题关键．直接利用翻折变换的性质结合平行线的判定方法得出答案．
【详解】如图①所示：∵，∴，∴，

∴，∴纸带①的边线不平行；如图②所示：
∵与重合，与重合，∴，
∴，∴纸带②的边线平行．故选：B．
6．如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2）．射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化，进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法错误的是（ ）
A．该图象不是反比例函数图象B．随增大而减小
C．当烟雾浓度增大时，示数变小D．当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大
【答案】C
【分析】本题考查了物理与数学跨学科综合，根据反比例函数永远不会与坐标轴相交，可以判断A正确；根据函数图象，可看出随增大而减小，根据，为定值电阻，得到分母变小，分式真的值变大，判定当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大，当烟雾浓度增大时，光照强度E减弱，使得变大；示数变大，据此判断即可．
【详解】根据反比例函数永远不会与坐标轴相交，可以判断A正确，不符合题意；
根据函数图象，可看出随增大而减小，判断B正确，不符合题意；
∵，为定值电阻，∴分母变小，分式的值变大，判定当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大，故当光照强度增大时，电路中消耗的总功率增大，故D正确，不符合题意；
当烟雾浓度增大时，光照强度E减弱，使得变大；示数变大，故C错误，符合题意；故选C．
7．如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案要7枚棋子，摆第2个图案要19枚棋子，摆第3个图案要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第7个图案要棋子的数量为（ ）

A．221牧B．363枚C．169枚D．251枚
【答案】C
【分析】本题考查图形类数字规律，根据已有图形，推出第个图案需要的棋子数，进而求出第7个图案需要的棋子数即可．
【详解】解：摆第1个图案要枚棋子；摆第2个图案要枚棋子；
摆第3个图案要枚棋子；
∴摆第个图案要枚棋子；
∴摆第7个图案要棋子的数量为枚棋子；故选C．
8．已知锐角，如图，在射线上取一点，以点为圆心，长为半径作，交射线于点，连接．分别以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（ ）

A． B． C． D．若，则
【答案】C
【分析】本题考查了作图—复杂作图，圆心角、弦、弧的关系，垂径定理，由作法得：，，根据圆心角、弦、弧的关系得出，即可判断A，当时，为等边三角形，即可判断D；作半径，则，从而得出，即可判断B，利用两点之间线段最短即可判断C，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由作法得：，，，
，故A正确，不符合题意；
当时，，为等边三角形，，
，故D正确，不符合题意；作半径，则，
，
，，，故B选项正确，不符合题意；
，，故C错误，符合题意；故选：C．
9．定义：把互不相等的3个正整数x，2，5（三个数排列不分顺序）组成一个数串称为有效数串．现操作如下：将一个有效数串三个数中最大的数减去其它两个数积的差的绝对值去替换这三个数中最大的数得到一个新数串，若新数串为有效数串时，就可进行再次操作．下列说法：
①若一个有效数串经过一次操作后得到的新数串为1，2，3，则或3．
②若一个有效数串经过两次操作后得到新数串为1，2，3，则x有4种不同的取值．
③如果一个有效数串至少经过两次操作后仍是有效数串，若再继续操作下去，则在整个操作过程中一定存在新数串1，2，3．其中正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】本题主要考查了新定义运算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论，按照题干中给出的信息进行操作，列出相应的方程进行计算即可．
【详解】解：①若新数串为1，2，3则2不是新数串中最大值，
∴5是被替换的数，即存在时或时，故①正确；
②当x为最大值时，则第一次操作后新数串为：，2，5，
经过第二次操作，新数串为1，2，3，则可知，第二次操作，5被替换，
即5为最大数，∴或，解得：，∴新数串为，，，
当，或，当时，，符合题意；
当时，，符合题意；当，或，
当时，，符合题意；当时，，符合题意；
∴当x为最大值时，或或或；
当5为最大值时，则第一次操作后新数串为：，2，x，
∵经过第二次操作后仍然存在2，∴或，
当时，或，由得，∵x为正整数，∴，
当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1，1，2，不符合题意；
∴不符合题意；不等式组无解；
当时，或，不等式组无解；
由得：，∵x为正整数，∴或，
当时，第一次操作后新数串为1，2，3，进行第二次操作后为1，1，2，不符合题意；
当时，第一次操作后新数串为3，2，4，进行第二次操作后为2，2，3，不符合题意；
综上分析符合题意的x的值只有4个，故②正确；
③当时，第一次操作后新数串为14，2，5，
进行第二次操作后为4，2，5，进行第三次操作后为4，2，3，
进行第四次操作后为2，2，3，不符合题意，∴只能进行三次操作，无法进行第四次操作，
∴当时，在整个操作过程中不存在新数串1，2，3，故③错误；
综上分析可知，正确的个数为2个．故选：C．
10．如图，在正方形中，点E是边上一点，连接与对角线交于点P，过点P作交于点F，连接交于点G，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确结论个数为（ ）．

A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】由题意易得，对于①：易知点A、B、F、P四点共圆，然后可得，则问题可判定；对于②：把绕点A顺时针旋转得到，则有，然后易得，则有，则可判定；对于③：连接，在上截取，连接，易得，然后易证，进而问题可求解；对于④，由③可得，进而可得，然后可得相似比为，最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，，
∴，
∵，∴，
∴点A、B、F、P四点共圆，∴，
∴是等腰直角三角形，∴，故①正确；
②把绕点A顺时针旋转得到，如图所示：

∴，，
∴，∵，∴三点共线，
又∵，∴，∴，
∵，∴，故②正确；
③连接交于O，在上截取，连接，如图所示：
∴，，∴是等腰直角三角形，∴，
由①可得点A、B、F、P四点共圆，∴，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，故③正确；
④由③可得，∵，
∴，∴，∴，∴，故④正确；
综上所述：以上结论正确的有①②③④；故选：D．
【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共8个小题，每题4分，满分32分，将答案填在答题纸上）
11．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查实数的运算，算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，先计算算术平方根，特殊角的三角函数值，零指数幂，然后根据实数的运算法则计算即可，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．
【详解】解：原式故答案为：．
12．如图，随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ．

【答案】
【详解】本题考查了列举法求概率，根据随机闭合开关中的两个，有种方法，其中有两种能够让灯泡发光，即可求解，正确列举出总的情况和让灯泡发亮的情况是解题的关键．
解：随机闭合开关中的两个，可以闭合、；、 ；、三种情况，其中闭合、 或、时，灯泡可以发光，∴．故答案为：．
13．如图，在正五边形中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线与边交于点，连接，则 °．

【答案】18
【分析】本题考查了内接正多边形，角平分线的性质与做法，圆周角定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作出正五边形的外接圆，易得，结合圆周角定理，得，因为是的平分线，即可作答．
【详解】解：如图：作出正五边形的外接圆，连接
∵正五边形的外接圆∴∵∴
∵由题意可知，是的平分线∴故答案为：18
14．一农户家承包了一块矩形荒地，修建了三个草莓种植大棚，其布局如图所示．已知矩形荒地米，米，阴影部分为大棚，其余部分是等宽的通道，大棚的总面积为870平方米，则通道宽为 米．

【答案】1
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，设通道的宽为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．
【详解】解：设通道的宽为米，根据题意得：，
解得：（不合题意舍去）或，通道的宽为1米，故答案为：1．
15．从如图的一块半径为的铁圆盘上剪出一个圆周角为扇形，若将剪下的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了圆锥的母线、底面半径和高的关系，圆锥侧面展开图的圆心角计算公式，圆锥的体积，熟练掌握圆锥的相关计算公式是解题的关键．圆锥的母线、底面半径和高的关系：；圆锥侧面展开图的圆心角计算公式：；圆锥的体积是．连结，，证明是等边三角形，继而求得的长，然后利用圆锥侧面展开图的圆心角计算公式，求出底面半径，根据母线、底面半径和高的关系，求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算即可作答．
【详解】连结，，，为半径，，
是等边三角形，，即圆锥的母线长，
，，，，，解得，
，即该圆锥的体积为．故答案为：．
16．三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克洛尔于1816年首次发现，但他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名．如图1，若任意内一点D满足，则点D叫做的布洛卡点．如图2，在等腰中，，点D为的布洛卡点，，，则的值为 ．

【答案】10
【分析】过点A作，根据，得出，设，则，，根据勾股定理得出，证明，得出，即，求出，．
【详解】解：过点A作，如图所示：
∵，，∴，
∵，∴，∴设，则，，
∴根据勾股定理得：，
∵点D是的布洛卡点，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴，解得：，，
∴．故答案为：10．
【点睛】本题主要考查了三角函数的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
17．若关于的不等式组的解集为，且关于的分式方程有整数解，则符合条件的所有整数有 个．
【答案】4
【分析】本题考查解一元一次不等式组，解分式方程．根据题意先将一元一次不等式组解开，利用求出，在解分式方程得出，，继而得到本题答案．
【详解】解：∵整理得：，∵的不等式组的解集为，∴，
∵，等式两边同时乘以得：，整理得：，
∵关于的分式方程有整数解，∴，即，
又∵，∴当时，，当时，，
当时，，当时，（舍去），当时，，
∴符合条件的所有整数有：，故答案为：4．
18．如图，在矩形中，，．点E是上的动点，点F是线段上的点，且，，相交于点P，则的最大值为 ，最小值为 ．

【答案】
【分析】设，可得，，由矩形性质可得，推出，求得，由勾股定理可得 ，推出 ，令，则，得出，即可求得答案．
【详解】解：设， ∵， ∴， ∴，
∵四边形是矩形，，，
∴，，，， ∴，
，即，∴，
在中，，∴，
令，则，∴，
∵，即，∴，∴，即，
∴当时，即时，取得最大值，最大值为：；
当时，即时，取得最小值，最小值为：；故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，二次函数的性质等，熟练运用相似三角形性质和二次函数的性质是解题关键．
三、解答题 （本大题共8小题，其中19题8分，其余每题各10分，共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）计算：(1)；(2)．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）原式先利用平方差公式和多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可；（2）先将括号内的式子通分得，最后一项的分子利用完全平方公式计算得，再将除号变为乘号，最后约分即可．
【详解】（1）解：
（2分）
（3分）
；（4分）
（2）解：
（6分）
（7分）
．（8分）
【点睛】本题主要考查整式的混合运算、分式的混合运算，熟练掌握平方差公式：，完全平方公式：是解题关键．
20．（10分）如图，四边形为平行四边形，且．
(1)请用尺规完成基本作图：作出的角平分线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)某数学学习小组在（1）所作的图形中，连接，发现了是一个直角三角形，并给出来如下证明，请你填空完成证明．
证明：∵是的角平分线，∴______．
∵四边形为平行四边形，∴，
∴，∴，∴______．
∵，∴，∴．
又∵，∴______．∴．
∵，∴______．∴．∴．
∴．∴．∴为直角三角形．
【答案】(1)见解析(2)
【分析】（1）以点为圆心，任意长为半径，画弧，交各一点，以两个交点为圆心，大于两个交点所连线段一半的长度为半径，分别画弧，两弧交于一点，连接点与该交点的射线，交于点E，即为所求；（2）根据角平分线的定义，等角对等边，平行线的性质，进行填写即可．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（5分）
（2）证明：∵是的角平分线，∴．（6分）
∵四边形为平行四边形，∴，
∴，∴，∴．（7分）
∵，∴，∴．
又∵，∴．∴．（8分）
∵，∴．∴．∴．（9分）
∴．∴．∴为直角三角形．（10分）
故答案为：．
【点睛】本题考查角平分线的作图，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，是解题的关键．注意，平行四边形中含有内角角平分线，必有等腰三角形．
21．（10分）某工厂生产部门有甲、乙两个小组，各有员工200人，为了解这两个小组员工的生产技能情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．
【收集数据】从甲、乙两个小组各随机抽取20名员工，进行生产技能测试，测试成绩（百分制）如下：
甲小组 78 86 74 81 75 76 87 70 75 90 75 79 81 70 74 80 86 69 83 77
乙小组 93 73 88 81 72 81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 40
【整理、描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：
（说明：成绩80分及以上为生产技能优秀，70～79分为生产技能良好，60～69分为生产技能合格，60分以下为生产技能不合格）
【分析数据】两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：____，____．
(2)估计乙小组生产技能优秀的员工人数．
(3)根据以上数据，你认为哪个小组的员工生产技能水平较高？请说明理由．（至少从两个不同的角度进行说明）
【答案】(1)，81；(2)120(3)乙小组，理由见解析
【分析】本题考查了求中位数，众数，用样本估计总体．（1）把甲组数据从小到大排列，最中间第10、11两个数据的平均数，就是甲组数据的中位数；乙小组中成绩出现次数最多的即是众数；
（2）乙小组中样本里优秀的占比与该小组总数的积即是乙小组生产技能优秀的员工人数；
（3）比较两个小组成绩的中位数与众数，即可判断．
【详解】（1）解：甲组的中位数为按从小到大排列的第10、11两个数据的平均数，即77与78的平均数，即；乙小组中成绩为81的出现了4次，次数最多，故；故答案为：，81．（4分）
（2）解：（人）．答：估计乙小组生产技能优秀的员工人数为120．（6分）
（3）解：乙小组．理由：生产技能测试中，乙小组员工的中位数较高，且优秀率较高，所以乙小组的员工生产技能水平较高．（答案不唯一，理由合理即可）（10分）
22．（10分）在全民健身运动中，骑自行车越来越受到市民青睐，从A地到B地有一条自行车骑行车道．小明从A地出发骑行去 B地，小军从B地出发骑行去A地．
(1)小明和小军相约在上午7时同时从各自出发地出发，匀速前行，到上午9时，他们还相距，到中午11时，两人又相距．求A、B两地间的自行车道的距离．
(2)因骑自行车的市民越来越多，政府决定重新改建一条自行车道，改建的自行车道比A、B两地的距离多，某工程队由于采用了更加先进的修路技术和修路机器，每天可以比原计划的改建里程多 ，结果完成此项修路工程比原计划少用了5天．若每天付给工程队的施工费用为万元，则完成工程后，一共付给工程队的费用是多少？
【答案】(1)A、B两地间的自行车道的距离(2)一共付给工程队的费用是万元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，（1）根据题意可得，两人在9时相距，还未相遇；在11时相距，是相遇之后，设两人的速度和为，则第一次相距时两人路程和第二次相距时两人路程和，列出方程求解即可；（2）设实际用了天，则原计划用天，根据实际每天可以比原计划的改建里程多，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：设两人的速度和为，当两人相距时用时：，（1分）
当两人再次相距时用时：，（2分）
∴，解得：，∴，
答：A、B两地间的自行车道的距离．（4分）
（2）解：设实际用了天，则原计划用天，改建的自行车道距离：，（5分）
由题意得，，解得：，经检验，是原分式方程的根，（8分）
∴付给工程队的费用：（万元），
答：一共付给工程队的费用是万元．（10分）
23．（10分）如图，小李为了测量某居民楼的高度，在楼底端点沿斜坡走36米到达点，已知斜坡与地面夹角为，再沿水平方向走6米就到达到达点，然后他沿着坡度的斜坡走了52米到达了点，此时他在点处放置了高度为1.6米的测角仪，在点处测得某楼顶端点的仰角．（参考数据：）
(1)求居民楼的高度约为多少米；
(2)如图，在处的小李与在处的小明约好在中点处见面，已知两人的下坡速度都为，平地速度为，居民楼的电梯运行速度是，不考虑电梯的等待时间和中途进出时间，那么谁会先到达？请说明理由．（精确到0.1米）

【答案】(1)居民楼的高度约为41.1米(2)小李先到，见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，坡度问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．（1）延长交于点G，延长交于点H，过点F作，垂足为，则，根据已知可设米，则米，再根据勾股定理、含30度角的直角三角形的性质及锐角三角函数求解即可；
（2）根据题意，分别计算小李用的时间和小明用的时间，然后进行比较即可．
【详解】（1）延长交于点G，延长交于点H，过点F作，垂足为，
∴四边形是矩形，∴，（1分）
∵斜坡的坡度，∴，∴设米，则米，（2分）
在直角三角形中，，∴，∴米，则米，
∵米，∴米，（3分）
在直角三角形中，米，，∴米，∴米，（4分）
∵米，∴米，（5分）
在直角三角形中，，∴米，（6分）
∴米，所以，居民楼的高度约为41.4米；（7分）
（2）小李先到，理由如下：小李用时：秒，（8分）
小明用时：秒，∵，∴小李先到．（10分）
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，在第一象限内以为边作，点C在反比例函数的图象上，D是边的中点，点C的横坐标为2．
(1)如图1，若点D的纵坐标为，求反比例函数的解析式；
(2)如图2，若点D在反比例函数图象上且，求的面积．
(3)如图3，在（1）的条件下，将直线：向上平移得到直线，直线与双曲线交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．试探究的值是否为定值，若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．

【答案】(1)(2)(3)为定值
【分析】（1）设，由题分别求出，，，再由点D的纵坐标为，得到方程，求出k的值即可确定函数的解析式．（2）设，由题分别求出，，，由D点在反比例函数上能求出，再由，可求出，从而确定点，则的面积．（3）设直线：向上平移b个单位长度，与y轴交于点E，与x轴交于G点，过点O作交于点F，求出，当时，，，求出，可得，即可求得．
【详解】（1）解：∵点C的横坐标为2，∴，设，∵四边形是平行四边形，∴，
∵D是边AB的中点，∴，（1分）
∵点D的纵坐标为，∴，解得，∴反比例函数的解析式为．（2分）
（2）设，由（1）可知，，，
∵点D在反比例函数上，∴，解得，∴，，，（3分）
∵，∴，即，解得，（4分）
∵，∴，∴，∴的面积．（5分）
（3）解：的值为定值，理由如下：
设直线：向上平移b个单位长度，与y轴交于点E，与x轴交于G点，（6分）
∴直线的解析式为，∴，点O作交于点F，
∵，∴，（7分）
当时，， ∴，∴，∴，（8分）
∵，∴，当时，，
∴，则，（9分）
∵点P为的中点，∴，∴，∴．（10分）
【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象及性质，平行四边形的性质，平行线的性质，相似三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
25．（10分）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于点A和B，点A在点B的左侧，交y轴于点C，作直线．(1)求点B的坐标及直线的表达式；
(2)当点D在直线下方的抛物线上运动时，连接交于点E，若，求点D的坐标；
(3)抛物线上是否存在点F．使得?若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点B的坐标是，直线BC的表达式是；(2)点的坐标是或；
(3)存在，点的坐标是或．
【分析】（1）令和，解方程即可求得点B和点C的坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）作轴，垂足为，交直线于点，证明，利用相似三角形的性质求解即可；
（3）分两种情况讨论，利用待定系数法和解方程组即可求解．
【详解】（1）解：令，解方程得或，
∴点B的坐标为；令，则，∴点C的坐标为；（1分）
设直线的表达式为，则，解得，∴直线的表达式为；（2分）
（2）解：作轴，垂足为，交直线于点，∴，∵点C的坐标为，∴，
设点的坐标为，则点的坐标为，（3分）
∴，∵，∴，∴，（4分）
∴，整理得，解得或，
∴点的坐标为或；（5分）
（3）解：∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，∴或，（6分）
当时，以为边作等边，直线交抛物线于点，此时，如图，
作轴于点，

在中，，，∴，（7分）
∴点的坐标为，同理，求得直线的表达式为，联立，
解得或（舍去），∴点的坐标是；（8分）
当时，设交轴于点，此时，如图，
在中，，，∴，
∴点的坐标为，同理，求得直线的表达式为，（9分）
联立，解得或（舍去），∴点的坐标是；
综上，点的坐标是或．（10分）
【点睛】本题考查了一次函数表达式的确定，函数图象上点的坐标特征，二次函数图象和性质，解一元二次方程，相似三角形的判定和性质，勾股定理，分类讨论思想等，属于中考压轴题，解题关键是熟练掌握待定系数法，运用方程思想和分类讨论思想．
26．（10分）如图，是等腰直角三角形，，，点D是上任意一点，点H是射线上一点，连接，．
(1)如图1，当点H在线段上时，若，，，求的面积；
(2)如图2，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，取中点M，连接．求证：；(3)如图3，连接，将沿翻折得到，连接，若点F是的中点，且，，当取最小值时，求的值．

【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）过点A作于点G．利用勾股定理以及等腰三角形的性质即可作答；
（2）过D作交于点D，且取，连接、，先证明，即有，进而可得，，再证明，则有，M为的中点，结合等腰三角形的性质即可作答；
（3）连接点F和中点O，则有，，可得点F的运动轨迹为以点O为圆心，1为半径的圆上，连接，与相交于点F，此时最短，过C点作，交于点E，根据，可得，根据，可得，根据翻折的性质有：，即可证明平分，根据角平分线的性质定理有：，问题随之得解．
【详解】（1）解：过点A作于点G．

∵是等腰直角三角形，，∴，∴，
又∵，∴，∴在直角中，，（1分）
∴，∴，
∴．（2分）
（2）解：如图，过D作交于点D，且取，连接、，
∵，，∴，（3分）
又∵，∴，∴，∴，
∴在和中，，∴，∴，（4分）
又∵，∴，∴，∵M为中点，∴，
∴在和中∴（5分）
∴，∴M为的中点.∴为的中线，
又∵为等腰直角三角形，∴，且，
∴为等腰直角三角形，∴．（6分）
（3）解：∵沿翻折得到，，∴，
连接点F和中点O，∵点F是的中点，∴，
∴点F的运动轨迹为以点O为圆心，1为半径的圆上，

连接，与相交于点F，此时最短，如图，过C点作，交于点E，（7分）
∵，，∴，则，
∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
根据翻折的性质有：，∴，
∴，∴，（8分）
∵，∴，∴平分，
∴根据角平分线的性质定理（相关结论证明附后）有：，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，∴．（9分）
证明角平分线定理：如图，平分，过C点作，交的延长线于点F，

∵，∴，∴，∵，∴，
∵平分，∴，∴，∴，
∴，∴．（10分）
【点睛】本题是一道三角形的压轴综合题，难度大，考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，作出辅助线，确定F的轨迹，并根据平分，得到，是解答本题的关键．
小贴士
电路总功率，
其中是电路电源电压
小组人数成绩x
甲
0
0
1
11
7
1
乙
1
0
0
7
10
2
平均数
中位数
众数
甲小组
75
乙小组
78