专题14 二次函数与几何压轴（3题型18类型+限时检测）-2024年中考数学二轮复习讲义（全国通用）

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一、复习方法
1.以专题复习为主。 2.重视方法思维的训练。
3.拓宽思维的广度，培养多角度、多维度思考问题的习惯。
二、复习难点
1.专题的选择要准，安排时间要合理。 2.专项复习要以题带知识。
3.在复习的过程中要兼顾基础，在此基础上适当增加变式和难度，提高能力。
专题14 二次函数与几何压轴
目 录
TOC \ "1-3" \n \h \z \u
\l "_Tc162860160" 题型01 三角形面积问题
\l "_Tc162860161" 类型一 利用铅垂高计算三角形面积
\l "_Tc162860162" 类型二 面积比值问题
\l "_Tc162860163" 类型三 面积存在性问题
\l "_Tc162860164" 类型四 面积最值问题
\l "_Tc162860165" 题型02 线段相关问题
\l "_Tc162860166" 类型一 线段和最值问题
\l "_Tc162860167" 类型二 线段差最小问题
\l "_Tc162860168" 类型三 周长最值
\l "_Tc162860169" 题型03 存在性问题
\l "_Tc162860170" 类型一 平行四边形存在性问题
\l "_Tc162860171" 类型二 矩形存在性问题
\l "_Tc162860172" 类型三 菱形存在性问题
\l "_Tc162860173" 类型四 正方形存在性问题
\l "_Tc162860174" 类型五 等腰三角形存在性问题
\l "_Tc162860175" 类型六 直角三角形存在性问题
\l "_Tc162860176" 类型七 相似三角形存在性问题
\l "_Tc162860177" 类型八 等角存在性问题
\l "_Tc162860178" 类型九 二倍角、半角存在性问题
\l "_Tc162860179" 类型十 特殊角存在性问题
\l "_Tc162860180" 类型十一 线段存在性
\l "_Tc162860181" （时间：60分钟）
题型01 三角形面积问题
类型一 利用铅垂高计算三角形面积
1．（2023·山东青岛·一模）对于某些三角形，我们可以直接用面积公式或是用割补法等来求它们的面积，下面我们研究一种求面积的新方法：如图1所示，分别过三角形的顶点A、C作水平线的铅垂线l1、l2，l1、l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；
结论提炼：容易证明，“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S=12dℎ”．
尝试应用：
已知：如图2，点A−5,3、B4,0、C0,6，则△ABC的水平宽为______，铅垂高为______，所以△ABC的面积为______．
学以致用：
如图3，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为：y=−x2+2x+3，点B为抛物线的顶点，图象与y轴交于点A，与x轴交于E、C两点，BD为△ABC的铅垂高，延长BD交x轴于点F，则顶点B坐标为______，铅垂高BD=______，△ABC的面积为______．
2．（2024·山西晋城·一模）综合与探究
如图，抛物线y=−13x2−43x+4与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C，P是直线BC上方抛物线上一动点．
(1)求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式．
(2)连接PB，PC，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标．
(3)在（2）的条件下，若F是抛物线对称轴上一点，在抛物线上是否存在点Q，使以B，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
类型二 面积比值问题
3．（2023·辽宁大连·二模）平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y=x2先向右平移72个单位长度，再向上平移74个单位长度，得到新的抛物线C2，其顶点为A，C1，C2相交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC交OA于点D．

(1)点A的坐标是________；
(2)如图，求△OBD面积与△OCD面积的比值；
(3)在y轴上有两点E0，n，G0,n+32，过点E作x轴的平行线交直线AO于点F，以EF，EG为邻边作矩形EFHG，直线FH分别交抛物线C1，C2于点P，Q．若抛物线C在矩形EFHG内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而增大，且抛物线C2，在矩形EFHG内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而减小，求PQ的取值范围．
4．（2021·天津河西·二模）如图所示，在抛物线上选定两点，我们把过这两点的线段和这条抛物线所围成的图形称作抛物线弓形．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2a>0与直线y=x相交于点O和点A，OA截得的抛物线弓形的曲线上有一点P．
（Ⅰ）当a=1时，解答下列问题：
①求A点的坐标；
②连接OP，AP，求△OPA面积的最大值；
③当△OPA的面积最大时，直线OP也截得一个更小的抛物线弓形，同理在这个更小的抛物线弓形曲线上也有一点P'，连接OP'，P'P，当△OP'P的面积最大时，求这个△OP'P的最大面积与②中△OPA的最大面积的比值；
（Ⅱ）将（Ⅰ）中a=1的条件去掉后，其它条件不变，则△OP'P的最大面积与△OPA的最大面积的比值是否变化？请说明理由．
5．（2021·江苏盐城·二模）将抛物线y＝ax2的图像（如图1）绕原点顺时针旋转90度后可得新的抛物线图像（如图2），记为C：y2＝1ax．
【概念与理解】
将抛物线y1=4x2和y2=x2按上述方法操作后可得新的抛物线图像，记为：C1：_____________；C2：____________．
【猜想与证明】
在平面直角坐标系中，点M（x，0）在x轴正半轴上，过点M作平行于y轴的直线，分别交抛物线C1于点A、B，交抛物线C2于点C、D，如图3所示．
（1）填空：当x=1时，ABCD=______；当x=2时，ABCD=_______；
（2）猜想：对任意x（x＞0）上述结论是否仍然成立？若成立，请证明你的猜想；若不成立，请说明理由．
【探究与应用】
①利用上面的结论，可得△AOB与△COD面积比为 ；
②若△AOB和△COD中有一个是直角三角形时，求△COD与△AOB面积之差；
【联想与拓展】
若抛物线C3：y2＝mx、C4：y2＝nx（0类型三 面积存在性问题
6．（2023·宁夏吴忠·一模）如图抛物线y=x2+bx+c经过点A−1,0，点B2,−3，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)抛物线上是否存在点p，使△PBC的面积是△BCD面积的3倍，若存在，请直接写出点p的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2023·贵州遵义·一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−x+4交两坐标轴于B、C两点，二次函数y=ax2+bx+c图象经过A，B，C三点且A(−1,0)．
(1)求二次函数的解析式．
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P？使得PA+PC的长度最短．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在直线上方抛物线上是否存在点Q？使得△QBC的面积有最大值．若存在，求出点Q的坐标及此时△QBC的面积；若不存在，请说明理由．
8．（2024·陕西西安·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C1:y=ax2−x+ca≠0与x轴交于A−1,0，B3,0两点，交y轴于点C．
(1)求抛物线C1的解析式；
(2)设抛物线C1关于坐标原点对称的抛物线为C2，点A，B的对应点分别为A'，B'，抛物线C2的顶点为E．则在x轴下方的抛物线C2上是否存在点F，使得S△ABF=2S△B'BE．若存在，求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．
类型四 面积最值问题
9．（2024·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C0,2，且顶点P的坐标为(−1,3)．
(1)求二次函数的解析式；
(2)如图1，点D(−52,34)，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方，连接MC，MD．求△MCD面积的最大值及此时点M的横坐标；
(3)如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，且在点C的下方，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，直线PF交抛物线于点E（点E与点P不重合），判断此时能否求出点E的坐标，如能，求出点E的坐标，不能，说明理由．
10．（2023·山东济宁·二模）如图，已知直线y=43x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+4经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x=−1．
(1)求抛物线的表达式；
(2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；
(3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．（2024·湖北孝感·一模）如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(−1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，连接BC．
(1)求a，b的值及直线BC的解析式；
(2)如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，
(ⅰ)若EP=EG，求点P的坐标，
(ⅱ)连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求S1S2的最大值；
(3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．
12．（2023·山东济南·模拟预测）已知对称轴为直线x=32的抛物线经过A−1,0，C0,−4两点，抛物线与x轴的另一个交点为B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，若点P为第四象限抛物线上一点，连接OP，BC交于点D，连接BP，求S△PBDS△OBD的最大值；
(3)如图2，若点Q为抛物线上一点，且当tan∠BCQ=14，求点Q的坐标．
题型02 线段相关问题
类型一 线段和最值问题
13．（2024·重庆南岸·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=14x2+bx+c交x轴于点A−2,0，B7,0，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图，若点M是第四象限内抛物线上一点，MN∥y轴交BC于点N,MQ∥BC交x轴于点Q，求MN+32BQ的最大值；
(3)如图，在y轴上取一点G0,7，抛物线沿BG方向平移22个单位得新抛物线，新抛物线与x轴交于点E,F，交y轴于点D，点P在线段FD上运动，线段OF关于线段OP的对称线段OF'所在直线交新抛物线于点H，直线F'P与直线BG所成夹角为45°，直接写出点H的横坐标．
14．（2023·浙江·模拟预测）已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(5,0)两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连接AC，BC，且tan∠CBD=43，如图所示．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连接FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连接PB，求35PC+PB的最小值．
15．（2024·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系钟，已知直线y=12x+2分别与x轴和y轴交于点A，B，抛物线y=ax2+bx+2经过点A，与x轴交于另一点C1,0．
(1)求出抛物线解析式．
(2)已知过点C的直线CE∥AB，交抛物线于点于点E，P是直线AB上方抛物线上一动点，过点P作直线PG∥AB与x轴交于点G，过点P作PF∥y轴，与直线AB交于点D， 直线CE交于点F，求出PF+AG的最大值和此时P点坐标．
(3)在（2）的条件下，将上述抛物线沿射线AB方向平移1585个单位得到一条新抛物线，新抛物线顶点为Q，若点M是直线AB上一点，N是直线CE上一点，有如下情况：点Q关于直线PM的对称点为点N，或者点P关于直线QM的对称点为N，请直接写出符合条件的N点坐标．
16．（2023·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−14x2+bx+3的对称轴是直线x=2，与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)M为第一象限内抛物线上的一个点，过点M作MN⊥x轴于点N，交BC于点D，连接CM，当线段CM=CD时，求点M的坐标；
(3)以原点O为圆心，AO长为半径作⊙O，点P为⊙O上的一点，连接BP，CP，求2PC+3PB的最小值．
类型二 线段差最小问题
17．（2023·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A(−42,0)，B(22,0)，与y轴交于点C，连接AC．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)如图1，D是线段AC上方抛物线上的一个动点，过点D作DE⊥AC于点E，过点E作EF∥x轴交y轴于点F．求3DE−322EF的最大值及此时点D的坐标；
(3)如图2，在平面内将抛物线y=−12x2+bx+c沿x轴向右平移，当平移后的新抛物线经过点C时停止平移，此时得到新抛物线．G在第一象限且为新抛物线的对称轴上一点，直接写出所有使得以A，C，G为顶点的三角形是等腰三角形的点G的坐标，并把求其中一个点G的坐标的过程写出来．
18．（2023·内蒙古兴安盟·一模）如图，已知直线y=12x+1与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y=12x2+bx+1与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且线段OA=OB．（注：抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=−b2a）
(1)求该抛物线的解析式；
(2)动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上找一点M，使AM−CM的值最大，求点M的坐标．
类型三 周长最值
19．（2023·广东肇庆·三模）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A−2,0和B1,0，与y轴交于点C．
(1)求抛物线的表达式；
(2)作射线AC，将射线AC绕点A顺时针旋转90°交抛物线于另一点D，在射线AD上是否存在一点H，使△CHB的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线AD与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当△APQ是以AP为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标．
20．（2023·四川资阳·二模）如图，直线y=−43x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=−43x2+bx+c过A、B两点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)点D为抛物线上位于AB上方的一点，过点D作DE⊥AB于点E，作DF∥y轴交AB于点F，当△DEF的周长最大时，求点D的坐标；
(3)G是平面内的一点，在（2）的条件下，将△DEF绕点G顺时针旋转α得到△D'E'F'，当α=∠OBA时，△D'E'F'的两个顶点恰好落在抛物线上，求点D'的横坐标．
21．（2023·湖北恩施·一模）已知直线y=x−1与x轴交于点A，过x轴上A，C两点的抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点B，与直线y=x−1交于D且OB=OC，
(1)直接写出A，B，C三点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)若点M是抛物线对称轴l上一动点，当△CDM的周长最小时，求△CDM的面积；
(4)点P是抛物线上一动点（点P不与B，C重合），连接AP，DP，若△ADP的面积等于3，求点P的坐标．
题型03 存在性问题
类型一 平行四边形存在性问题
22．（2024·浙江·模拟预测）如图，抛物线y=−x2+2x+m(m>0)与y轴交于A点，其顶点为D．直线y=−12x−2m分别与x轴、y轴交于B、C两点，与直线AD相交于E点．
(1)求A、D的坐标（用m的代数式表示）；
(2)将△ACE沿着y轴翻折，若点E的对称点P恰好落在抛物线上，求m的值；
(3)抛物线y=−x2+2x+m(m>0)上是否存在一点P，使得以P、A、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求此抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
23．（2023·河南·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx−16对称轴是直线x=1，且过点A−2,0．点B为抛物线与x轴另一交点．
(1)求抛物线的表达式．
(2)矩形BCDE的边BC在x轴正半轴上，边CD在第四象限．BC=6，CD=4．将矩形BCDE沿x轴负半轴方向平移得到矩形B'C'D'E'，直线B'E'与直线C'D'分别交抛物线于点M、N．在平移过程中，是否存在以C'、E'、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求平移距离；若不存在，请说明理由．
类型二 矩形存在性问题
24．（2023·山西晋中·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线y=−x2+bx+c的顶点为D1,4与x轴交于A和B两点，交y轴于点C．

(1)求抛物线的函数表达式及点A、B、C的坐标；
(2)如图1，点P是直线BC上方的抛物线上的动点，当△BCP面积最大时，求点P的横坐标；
(3)如图2，若点M是坐标轴上一点，点N为平面内一点，是否存在这样的点，使以B、D、M、N为顶点的四边形是以BD为对角线的矩形？若存在，请直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
25．（2023·河北石家庄·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A−3,0,B2,0．与y轴交于点C，∠CAO=45°，直线y=kx交抛物线于点E，且AE=EC．

(1)求抛物线的解析式；
(2)若点M为直线y=1上一点，点N为直线EC上一点，求CM+MN的最小值；
(3)点P为抛物线上一点，点Q为平面内一点，是否存在点P，Q，使得以E，C，P，Q为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
类型三 菱形存在性问题
26．（2024·陕西西安·一模）已知：平面坐标系内点Px,y和点A0,1，点P到点A的距离始终等于点P到x轴的距离．
(1)请你求出点P满足的函数关系式；
(2)如果（1）中求出的函数图象记为L，L'是L沿着水平方向平移得到的，若点M在L上，点N是L平移后点M的对应点，点Q是x轴上的点．是否存在这样的点M，使得以M、N、O、Q为顶点的四边形是有一个内角为60°且的菱形？若存在，请你求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
27．（2023·山东青岛·二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴交于A，B点，与y轴交于点C0，3，点B的坐标为（3,0），点P是抛物线上一个动点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)当点P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值．
(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP'C为菱形？若存在；若不存在，请说明理由．
28．（2022·陕西·模拟预测）如图，一次函数y=33x+3的图象与坐标轴交于点A、B，二次函数y=−33x2+bx+c的图象经过A、B两点．

(1)求二次函数解析式；
(2)点B关于抛物线对称轴的对称点为C、P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
类型四 正方形存在性问题
29．（2023·辽宁阜新·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点P为抛物线上的动点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点D为直线y=x上的动点，当点P在第四象限时，求四边形PBDC面积的最大值及此时点P的坐标；
(3)已知点E为x轴上一动点，点Q为平面内任意一点，是否存在以点P，C，E，Q为顶点的四边形是以PC为对角线的正方形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
30．（2023·辽宁抚顺·三模）如图，抛物线y=−14x2+bx+c的对称轴与x轴交于点A1,0，与y轴交于点B0,3，C为该抛物线图象上的一个动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，当点C在第一象限，且∠BAC=90°，求tan∠ABC的值；
(3)点D在抛物线上（点D在点C的左侧，不与点B重合），点P在坐标平面内，问是否存在正方形ACPD？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
31．（2023·山西大同·模拟预测）综合与探究
如图，抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于A−2,0，B4,0两点，与y轴交于点C，直线y=23x−4与x轴交于点D，与y轴交于点E．若M为第一象限内抛物线上一点，过点M且垂直于x轴的直线交DE于点N，连接MC，MD．

(1)求抛物线的函数表达式及D，E两点的坐标．
(2)当CM=EN时，求点M的横坐标．
(3)G为平面直角坐标系内一点，是否存在点M使四边形MDEG是正方形．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．
类型五 等腰三角形存在性问题
32．（2024·内蒙古乌海·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=−3x−3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）．
(1)求抛物线的解析式；
(2)设该抛物线的顶点为点H，求△BCH的面积；
(3)若点M是线段BC上一动点，过点M的直线ED平行y轴交x轴于点D，交抛物线于点E，求ME长的最大值及点M的坐标；
(4)在(3)的条件下：当ME取得最大值时，在x轴上是否存在这样的点P，使得以点M、点B、点P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2023·广东汕头·二模）如图，点A、B在x轴正半轴上，点C、D在y轴正半轴上，且OB=OC=3, OA=1, OD=2，过A、B、C三点的抛物线上有一点E，使得AE⊥AD．
(1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式．
(2)求点E的坐标．
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
34．（2023·甘肃平凉·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，其中B4,0,C0,−8 ，连接AC，BC．点E是线段OB上一动点（不与O、B两点重合），过点E作x轴的垂线l，与直线l交于点D，与抛物线交于点P．

(1)求抛物线的表达式，及直线BC的表达式；
(2)过点P作PF⊥BC，垂足为F，求Rt△PFD周长的最大值；
(3)点Q在y轴上，点H在抛物线对称轴上，是否存在点Q、H使得△AQH为等腰直角三角形，且∠QAH=90∘，若存在，求出点Q、H的坐标，若不存在，请说明理由．
类型六 直角三角形存在性问题
35．（2023·贵州贵阳·二模）如图，二次函数y=x2−3x−4的图象与x轴交于A和B两点，与y轴交于点C，点P是直线AC下方的抛物线上一动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线AC于点E．

(1)求点A和点B的坐标；
(2)求线段PE的最大值及此时点P的坐标；
(3)当PE最大时，在二次函数的图象上是否存在点Q，使以点A,P,Q为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
36．（2023·广西梧州·三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点A的坐标为−1,0，抛物线顶点D的坐标为1,−4，直线BC与对称轴相交于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为直线x=1右方抛物线上的一点（点M不与点B重合），设点M的横坐标为m，记A、B、C、M四点所构成的四边形面积为S，若S=3S△BCD，请求出m的值；
(3)点P是线段BD上的动点，将△DEP沿边EP翻折得到△D'EP，是否存在点P，使得△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形？若存在，请直接写出BP的长，若不存在，请说明理由．
37．（2023·青海西宁·二模）如图，抛物线y=x2+2x−3与x轴相交于点A−3,0，与y轴相交于点C．
(1)求直线AC的解析式；
(2)若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值；
(3)设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
类型七 相似三角形存在性问题
38．（2024·甘肃平凉·一模）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A−2,0，点B4,0，交y轴于点C0,4．连接AC,BC.D为OB上的动点，过点D作ED⊥x轴，交抛物线于点E，交BC于点G．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)过点E作EF⊥BC，垂足为F，设点D的坐标为m,0，请用含m的代数式表示线段EG的长，并求出当m为何值时EG有最大值，最大值是多少？
(3)点D在运动过程中，是否存在一点G，使得以O,D,G为顶点的三角形与△AOC相似．若存在，请求出此时点G的坐标；若不存在，请说明理由．
39．（2024·云南昆明·模拟预测）抛物线y=ax2+2ax+ca＞0与x轴交于A−3,0、B两点（A在B的左侧），与y输交于点C0,−3，抛物线的顶点为M．
(1)求a、c的值；
(2)若点P是线段AC上一个动点，连接OP．问，是否存在点P，使得以点O、C、P为顶点的三角形与△ABC相似?若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
40．（2024·江苏淮安·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+4的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为−2，0，点B的坐标为8，0．
(1)求此二次函数的解析式；
(2)动点D从点C出发，以每秒5个单位的速度在线段CB上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，连接CE和OD，若△OCD与△CDE的面积相等，求t的值．
(3)点D在直线CB上运动，过点D作x轴的垂线，交二次函数图像于点E，交x轴于点F，是否存在点D，使得以B、E、F为顶点的三角形与△ABC相似？ 若存在，求出D的坐标；若不存在，请说明理由．
类型八 等角存在性问题
41．（2024·山西朔州·一模）综合与探究
如图1，二次函数y=23x2+bx+c的图象与x轴交于A，B（点A在点B的左侧）两点，与y轴交于点C．直线y=−2x−2经过A，C两点，连接BC．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)在抛物线上是否存在除点C外的点D，使得∠ABD=∠ABC？若存在，请求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)如图2，将△AOC沿x轴正方向平移得到△A'O'C'（点A，O，C的对应点分别为A'，O'，C'），A'C'，O'C'分别交线段BC于点E，F，当△C'EF与△O'BF的面积相等时，请直接写出△A'O'C'与△BOC重叠部分的面积．
42．（2023·辽宁盘锦·二模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴于点D(1,0)，将△ACD沿CD所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处．

(1)求抛物线解析式；
(2)连接BE，
①S△BCE= ；
②若点P为直线AB上方抛物线上一动点，连接PB,PC，当四边形PBCE面积最大时，求点P的坐标．
(3)抛物线上是否存在一点Q，使∠QEA=∠BAE？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
类型九 二倍角、半角存在性问题
43．（2024·陕西西安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴分别交于A，B两点，点A的坐标是(−4,0)，点B的坐标是(1,0)，与y轴交于点C，P是抛物线上一动点，且位于第二象限，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，线段PD与直线AC相交于点E

(1)求该抛物线的解析式；
(2)连接OP，是否存在点P，使得∠OPD=2∠CAO？若存在，求出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
44．（2023·山东东营·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c过A−4,0，B6,0，C0,8三点；点P是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标是m，且1(1)试求抛物线的表达式；
(2)过点P作PN∥y轴并BC交于点N，作PM∥x轴并交抛物线的对称轴于点M，若PM=23PN，求点P的坐标；
(3)当点P运动到使∠PAB=12∠ABC时，求出m的值．
45．（2023·广东阳江·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=−12x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

(1)填空：b=___________，c=___________；
(2)点D为直线AC上方抛物线上一动点．
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，求DEEB的最大值；
②过点D作DF⊥AC于点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的∠DCF=2∠BAC，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
类型十 特殊角存在性问题
46．（2022·黑龙江绥化·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+72x+c与直线y=kx+2交于C，D两点，其中点C在y轴上，点D的坐标为(3,72)．点P是y轴右侧的抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交CD于点F．

(1)求直线和抛物线的解析式；
(2)若点P的横坐标为m，当m为何值时，以O，C，P，F为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由．
(3)是否存在点P，使∠PCF=45°？若存在，请求出相应的点P的坐标；若不存在请说明理由．
47．（2022·广东江门·一模）如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A4,0，C−1,0两点，于y轴交于点B，P为第一象限抛物线上的动点，连接AB，BC，PA，PC，PC与AB相交于点Q．

(1)求抛物线的解析式；
(2)设△APQ的面积为S1，△BCQ的面积为S2，当S1−S2=5时，求点P的坐标；
(3)是否存在点P，使∠PAB+∠CBO=45°，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
类型十一 线段存在性
48．（2024·新疆伊犁·一模）如图1，已知抛物线顶点C1,4，且与y轴交于点D0,3．
(1)求该抛物线的解析式及其与x轴的交点A、B的坐标；
(2)将直线AC绕点A顺时针旋转45°后得到直线AE，与抛物线的另一个交点为E，请求出点E的坐标；
(3)如图2，点P是该抛物线上位于第一象限的点，线段AP交BD于点M，是否存在点P使得PMAM的值最大，若存在，求出点P坐标．
49．（2023·浙江·模拟预测）已知二次函数y=x2−2x+1的图象为抛物线S，点A1,a,B1,−aa>0是平面直角坐标系上的两点，一次函数y=kx+b的图象过点A且与S交于Px1,y1,Qx2,y2两点，PC垂直于S的对称轴，垂足为C．

(1)用x1,x2表示线段BC的长；
(2)求证：∠ABP=∠ABQ；
(3)若a=1，是否存在直线PQ，使得∠PBQ=60°？如果存在，求出PQ的解析式，如果不存在，说明理由．
50．（2023·广东东莞·二模）如图，二次函数y=12x2+bx−32的图象与x轴交于点A(−3,0)和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

(1)b= ___；点D的坐标：___；
(2)线段AO上是否存在点P（点P不与A、O重合），使得OE的长为12？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．
(3)在x轴负半轴上是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．
（时间：60分钟）
1．（2024·广东珠海·一模）如图， 抛物线 y=54x2−52x−25分别交x轴于点A，B（点A在点B的左侧）， 交y轴于点C．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)以B为圆心， 3 为半径作圆．
①如图1，连接AC，P是线段AC上的动点， 过点P作⊙B的一条切线PM（点M为切点）， 求线段PM的最小值；
②如图2，点D为抛物线的顶点， 点Q在圆B上，连接CQ，DQ， 求DQ−12CQ的最大值．
2．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知一抛物线经过原点，与x轴交于另一点A，顶点坐标为(2,−1)，过点G(2,0)的直线y=kx+b(k≠0)与抛物线交于点B，C，且点B在点C的左侧．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)连接AB,AC，当△ABG的面积与△ACG的面积之比为1:2时，求直线的函数表达式；
(3)若有直线l:y=−2，点B到直线l的距离为BD，点C到直线l的距离为CE，求证：1BD+1CE=1．
3．（2022·安徽·模拟预测）如图，已知抛物线y=x2−2x+c与x轴正半轴交于点A，与y轴负半轴交于点B，且OA=OB，与直线y=kx+1k≠0交于C,D两点．
(1)求点B的坐标；
(2)当k=1时，求△BCD的面积；
(3)k取何值时△BCD的面积最小？最小面积是多少？
4．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线F:y=ax2−2ax−8a(a>0)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线x=3交x轴于点D．

(1)若OB=OC，直接写出抛物线的解析式；
(2)如图1，已知点E在第四象限的抛物线上，在线段OD和直线x=3上是否存在F，G两点，使得C，E，F，G为顶点的四边形是以CF为一边的矩形？若存在，求点F的坐标；若不存在，说明理由；
(3)如图2，将抛物线F平移，使其顶点落在轴上的点P0,12处，得到抛物线G，直线MN与抛物线G只有一个公共点M，与x轴交于点N，定点Q在y轴正半轴上，且满足∠MQN=90°，求此时点Q的坐标．
5．（2023·山东淄博·二模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A−2,0，B8,0，C0,4三点．

(1)求抛物线y=ax2+bx+c的表达式；
(2)如图2，设点P是抛物线上在第一象限内的动点（不与B，C重合），过点P作PD⊥BC，垂足为点D，点P在运动的过程中，以P，D，C为顶点的三角形与△AOC相似时，求点P的坐标；
(3)在y轴负半轴上是否存在点N，使点A绕点N顺时针旋转后，恰好落在第四象限抛物线上的点M处，且使∠ANM+∠ACM=180°，若存在，请求N点坐标，若不存在，请说明理由．（请在备用图中自己画图）
6．（2023·陕西西安·三模）已知抛物线L1过点A（−1，0），B（3，0） ，C（0，−3）．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)抛物线L1的对称轴与x轴交于点P，将该抛物线沿直线y=m翻折得抛物线L2，在抛物线L2第四象限的图象上是否存在一点D，使的△CPD是以CP为直角边的等腰直角三角形？若存在，求出满足条件的L2的解析式；若不能，请说明理由．