2024年山东省济南市九年级下学期中考三模冲刺数学试题解析版

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只有一项是符合题目要求的）
1. 9的平方根是（ ）
A. 3B. ±3C. D. －
【答案】B
【解析】
【分析】根据平方根定义解答即可．
【详解】±±3．
故选B．
【点睛】本题考查了平方根，注意一个正数的平方根有两个．
2. 下列几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据常见简单几何体的三视图，结合俯视图是从上往下看到的图形，可得答案．
本题考查了简单几何体的三视图，熟记简单几何体的三视图是解题关键．
【详解】解：该圆锥的俯视图是带圆心的圆，故本选项不符合题意；
B.该圆柱的俯视图是圆，故本选项不符合题意；
C.该正方体的俯视图是正方形，故本选项不符合题意；
D.该三棱柱的俯视图是三角形，故本选项符合题意．
故选：．
3. 从教育部获悉，我国已基本建成世界第一大教育教数资源库．目前，国家中小学智慧教育平台现有资源超过条，其中用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将一个数表示成的形式，其中，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
详解】解：，
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示形式．
4. 如图：，平分，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义．由角平分线定义得到，由平行线的性质得到，，即可求出的度数．
【详解】解：平分，
，
∵，
，，
，
．
故选：C．
5. 下列设计的图案中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：A选项：既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故A选项错误；
B选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故B选项正确；
C选项：不是中心对称图形，但是轴对称图形，故C选项错误；
D选项，是中心对称图形，但不是轴对称图形，故D选项错误，
故选：B．
6. 有理数a，b在数轴上的对应位置如图所示，下列选项正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据数轴上有理数的位置，计算判断即可．本题考查了数轴上表示有理数，借助数轴进行数或式子的大小比较，符号确定，熟练掌握数轴上大小比较的原则是解题的关键．
【详解】∵，，
∴，，，
故A，C，D都是错误的，B是正确的，
故选B．
7. 某快餐店用米饭加不同炒菜配制了一批盒饭，配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒．每盒盒饭的大小、外形都相同，从中任选一盒，含肉的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查等可能条件下的概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．让含肉的盒饭数除以总盒饭数即为从中任选一盒含肉的概率．
【详解】解：配土豆丝炒肉的有25盒，配芹菜炒肉丝的有30盒，配辣椒炒鸡蛋的有10盒，配芸豆炒肉片的有15盒，全部是80盒，含肉的有70盒，
所以从中任选一盒，含肉的概率是：．
故选：A．
8. 周末，小明的妈妈让他到药店购买口罩和酒精湿巾，已知口罩每包3元，酒精湿巾每包2元，共用了30元钱（两种物品都买），小明的购买方案共有（ ）
A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种
【答案】B
【解析】
【分析】设购买口罩包，酒精湿巾包，根据总价单价数量，即可列出关于的二元一次方程，结合均为正整数，即可得出购买方案的个数．
【详解】解：设购买口罩包，酒精湿巾包，
依据题意得：
均为正整数，
或或或
小明共有4种购买方案．
故选：B．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题关键．
9. 反比例函数与一次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数图像的性质，根据题意分以下两种情况讨论，①当时，②当时，利用一次函数与反比例函数图象的性质进行分析判断即可解题．
【详解】解：当时，过一、三象限，且过一、三、四象限，故A图象正确，符合题意，C、D错误，不符合题意；
当时，过二、四象限，且过一、二、四象限，故B错误，不符合题意．
故选：A．
10. 如图，在正方形ABCD中，，点E，F分别是DC和BC边上的动点，且始终保持EF＝BF＋DE，连接AE与AF，分别交DB于点N，M，过点A作AH⊥EF于点H．下列结论：①∠EAF＝45°；②∠BAF＝∠HAF；③AH＝；④∠DNE＝67.5°；⑤DN2＋BM2＝NM2．其中结论正确的序号是（ ）
A. ①③④B. ①②③⑤C. ②④⑤D. ①②③④
【答案】B
【解析】
【分析】把△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，过点B作BK平分∠ABG，BK与AG交于点K，连接MK，证明△AEF≌△AGF，得∠EAF＝∠GAF，便可判断结论①；由△AEF≌△AGF得∠AFE＝∠AFG，再根据等角的余角性质，便可判断结论②；由AH⊥EF，AB⊥BC，∠AFE＝∠AFB，根据角平分线的性质便可判断结论③；证明Rt△ADE≌Rt△AHE，得∠DAE＝∠DAH，若AH不在AC上，则∠DAH≠45°，此时，∠DAE≠22.5°，根据三角形外角性质得∠DNE≠67.5°，便可判断结论④；证明△ADN≌△ABK，得DN＝BK，再由勾股定理得BM2＋BK2＝MK2，进而得DN2＋BM2＝MK2，再证明△AMN≌△AMK，得MN＝MK，便可判断结论⑤．
【详解】解：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG，过点B作BK平分∠ABG，BK与AG交于点K，连接MK，如图，
则AG＝AE，∠ABG＝∠ADE＝90°，DE＝BG，∠DAE＝∠BAG，
∵∠ABC＝90°，
∴G、B、C共线，
∵EF＝BF＋DE，
∴EF＝BF＋BG＝GF，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SSS），
∴∠EAF＝∠GAF，
∵∠DAE＝∠BAG，
∴∠DAB＝∠EAG＝90°，
∴∠EAF＝∠EAG＝45°，
故①正确；
∵△AEF≌△AGF，
∴∠AFE＝∠AFG，
∵AH⊥EF，∠ABC＝90°，
∴∠BAF＋∠AFB＝∠HAF＋∠AFH＝90°，
∴∠BAF＝∠HAF，
故②正确；
∵AH⊥EF，AB⊥BC，∠AFE＝∠AFB，
∴AH＝AB＝，
故③正确；
∵AD＝AB，AB＝AH，
∴AD＝AH，
在Rt△ADE和Rt△AHE中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△AHE（HL），
∴∠DAE＝∠HAE，
∴，
若AH不在AC上，则，
此时，，
∵∠DNE＝∠DAN＋∠ADN，∠ADN＝∠ADC＝45°，
此时，，
故④不正确；
∵BK平分∠ABG，∠ABG＝90°，
∴∠ABK＝45°，
在△ADN和△ABK中，
，
∴△ADN≌△ABK（ASA），
∴DN＝BK，AN＝AK，
∵∠ABD＝45°，∠ABK＝45°，
∴∠MBK＝90°，
∴BM2＋BK2＝MK2，
∴DN2＋BM2＝MK2，
在△AMN和△AMK中，
，
∴△AMN≌△AMK（SAS），
∴MN＝MK，
∴DN2＋BM2＝NM2，
故⑤正确．
综上所述，结论正确的为①②③⑤．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、角平分的性质以及勾股定理等知识，图形复杂，涉及的知识点多，综合性强，难度大，解题关键在于构造与证明全等三角形．
二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）
11. 分解因式：x2-16= ________________．
【答案】（x-4）（x+4）
【解析】
【分析】利用平方差公式进行分解即可
【详解】解：x2-16=（x-4）（x+4）
故答案为（x-4）（x+4）
12. 如图，点在上，，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形．我所添加条件为 _________________．
【答案】（答案不唯一）．．
【解析】
【分析】本题考查三角形全等的判定方法；根据已知结合图形及判定方法选择条件是正确解答本题的关键．
已知，，可以从添加角或者边的条件，得到全等三角形．
【详解】解：添加，理由如下：
在和中，
，
，
故答案为：（答案不唯一）．
13. 甲、乙、丙三个游客团的年龄的方差分别是s甲2=1.4，s乙2=18.8，s丙2=2.5，导游小方最喜欢带游客年龄相近的团队，若在这三个团中选择一个，则他应选________（填甲，乙或丙）．
【答案】甲
【解析】
【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【详解】解：∵s甲2=1.4，s乙2=18.8，s丙2=2.5，
∴s甲2最小，
∴他应选甲队；
故答案为：甲．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
14. 我国是世界上最早制造使用水车的国家．如图是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条（圆的半径）将圆平均分为12个格，半径长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点处离开水面，逆时针旋转上升至轮子上方处时，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是 _______米．（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了生活中的旋转现象和弧长公式，熟练掌握弧长公式是关键．
根据弧长公式直接代入数值求解．
【详解】解：根据题意得，，
所以水斗从处（舀水）转动到处（倒水）所经过的路程是（米．
故答案为：．
15. 如图，与位于平面直角坐标系中，，，，若，反比例函数恰好经过点C，则______．
【答案】
【解析】
【分析】过点C作轴于点D，由题意易得，然后根据含30度直角三角形的性质可进行求解．
【详解】解：过点C作轴于点D，如图所示：

∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴点，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键．
16. 规定：如果两个函数的图象关于y轴对称，那么称这两个函数互为“Y函数”．例如：函数与互为“Y函数”．若函数的图象与x轴只有一个交点，则它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】根据题意与x轴的交点坐标和它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标关于y轴对称，再进行分类讨论，即和两种情况，求出与x轴的交点坐标，即可解答．
【详解】解：①当时，函数的解析式为，
此时函数的图象与x轴只有一个交点成立，
当时，可得，解得，
与x轴的交点坐标为，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为；
①当时，
函数的图象与x轴只有一个交点，
，即，
解得，
函数的解析式为，
当时，可得，
解得，
根据题意可得，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为，
综上所述，它的“Y函数”图象与x轴的交点坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了轴对称，一次函数与坐标轴的交点，抛物线与x轴的交点问题，理解题意，进行分类讨论是解题的关键．
三、解答题：（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明、证明或演算步骤．）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】先利用二次根式的性质，特殊角三角函数值，零指数幂运算法则，绝对值的代数意义将原式化简，再进行二次根式的加减运算即可得到结果．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的运算，二次根式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
18. 解不等式组：并写出它的所有正整数解．
【答案】不等式组的解集为．所有正整数解有1，2
【解析】
【详解】
由①，得．由②，得．
不等式组的解集为．所有正整数解有1，2．
19. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F在对角线BD上，且，连接AE，AF．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据菱形的性质得出，，求出，利用线段垂直平分线的性质可得结论．
【详解】证明：四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
即AC垂直平分EF，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用各性质定理进行推理论证是解题的关键．
20. 数学小组为了了解我校同学对食堂就餐的评价，抽取部分同学参加问卷评价调查，整理并制作出如下的统计表和统计图，如图所示．请根据图表信息解答下列问题：
（1）本次问卷评价调查共抽取 名同学参与；
（2）补全频数分布直方图；
（3）小俊的评价分是所有被抽取学生评价分的中位数，据此推断他的评价得分在_____组；
（4）若全校共1200人，试估计评价得分不低于80分的人数．
【答案】（1）300；
（2）见解析 （3）C；
（4）720人
【解析】
【分析】本题考查频数分布表，频数分布直方图，中位数，用样本估计总体，能从统计表中获取有用信息是解题的关键．
（1）将A组频数除以频率即可求出抽取的同学人数；
（2）先求出m的值，再补全频数分布直方图即可；
（3）根据中位数的意义确定出中位数所在的组，从而推断出小俊的评价分在哪个组；
（4）将评价得分不低于80分的频率乘以1200即可估计评价得分不低于80分的人数．
【小问1详解】
解：（名），
故答案为：300；
【小问2详解】
解：，
补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
解：∵所有被抽取学生评价分的中位数是位于第150，第151数据的平均数，
∴推断小俊的评价得分在C组，
故答案为：C；
【小问4详解】
解：（人），
答：估计评价得分不低于80分的人数为720人．
21. 数学课题研究小组针对所在城市住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下：
【方案设计】
要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中垂直于墙面的遮阳篷，表示窗户，表示直角遮阳篷．
【数据收集】
如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角．
【问题提出】
（1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长．
（2）如图3，要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：，，，，，）
【答案】（1）3.7米
（2）0.5米
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用等知识．
（1）根据正切函数的定义得到即可求解；
（2）在中，根据正切函数的定义得到，在中根据正切函数的定义得到，根据即可求出．
【小问1详解】
解：如图1，在中，∵，，
∴，
∴，
∴的长为；
【小问2详解】
解：如图2，在中，∵，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴遮阳篷的长为．
22. 如图，是的直径，点D在射线上，与相切于点C，过点B作，交的延长线于点E，连接、．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，，求长．
【答案】（1）见解析 （2）12
【解析】
【分析】本题考查的是切线的性质定理、勾股定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
（1）根据切线的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，根据等腰三角形的性质、角平分线的定义证明即可；
（2）设的半径为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【小问1详解】
证明：∵与的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即是的平分线；
【小问2详解】
解：设的半径为r，则，
在中，，
即，
解得，，
则．
23. 某超市计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售．经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．
（1）甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？
（2）该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为W元．
①求W与m的函数关系式；
②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？
【答案】（1）每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元
（2）①；②购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元
【解析】
【分析】本题考查一次函数和分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式和分式方程．
（1）设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为（x+2）元，根据用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同，列出方程，解方程即可，注意验根；
（2）①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子（200﹣m）个，全部售完获得利润为w元，根据总利润＝甲、乙两种粽子利润之和列出函数解析式；
②根据甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍求出m的取值范围，再根据函数的性质求最值，并求出相应的方案．
【小问1详解】
解：设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程根，
此时，
答：每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元；
【小问2详解】
解：①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子个，根据题意得：
，
∴W与m的函数关系式为；
②∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，
∴，
解得
∴（m为正整数）；
由①知，，
∵，
∴当时，W有最大值，最大值为466，
此时，
∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元．
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象的一个交点为，过点B作的垂线l．
（1）求点A的坐标及反比例函数的表达式；
（2）直线和反比例函数的另一个交点为C，求的面积；
（3）P是直线l上一点，连接，以P为位似中心画，使它与位似，相似比为m．若点D，E恰好都落在反比例函数图象上，求点P的坐标．
【答案】（1），
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）由的面积，即可求解；
（3）解方程组求得，根据相似三角形的性质得到，根据平行线的判定定理得到，求得直线的解析式为，解方程组得到，则直线的解析式为，于是得到P．
【小问1详解】
解：令，则，
∴点A的坐标为，
将代入得，，
∴，
∴，
将代入反比例函数表达式得：，
∴反比例函数的表达式为；
【小问2详解】
解：设直线与x轴交于N，
把代入得：，
解得：，
∴，
令，
解得：（舍去）或，
把代入得：，
∴，
∴．
【小问3详解】
解：设直线l与y轴交于M，过点B作轴于点K，如图所示：
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
设直线l的表达式为：，把，代入得：
，
解得：，
则直线l的解析式为，
∵位似图形的对应点与位似中心三点共线，
∴点B的对应点也在直线l上，不妨设为E点，则点A的对应点为D，
令，
解得：（舍去）或，
∴，
画出图形如图所示，
∵，
∴，
∴，
∴直线与直线的一次项系数相等，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵点D在直线与双曲线的另一个交点，
则联立两个函数表达式得：，
解得：（不合题意的值已舍去）
∴，
设直线的解析式为，把代入得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立上式和直线l的表达式得：，
解得：，
把代入得：，
则点．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．
25. 蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．如图，某个温室大棚的横截面可以看作矩形和抛物线构成，其中，，取中点O，过点O作线段的垂直平分线交抛物线于点E，若以O点为原点，所在直线为x轴，为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图，抛物线的顶点，求抛物线的解析式；

（2）如图，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置，，若，求两个正方形装置的间距的长；

（3）如图，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为，求的长．

【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据顶点坐标，设函数解析式为，求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时对应的自变量的值，得到的长，再减去两个正方形的边长即可得解；
（3）求出直线的解析式，进而设出过点的光线解析式为，利用光线与抛物线相切，求出的值，进而求出点坐标，即可得出的长．
【小问1详解】
解：∵抛物线的顶点，
设抛物线的解析式为，
∵四边形为矩形，为的中垂线，
∴，，
∵，
∴点，代入，得：
，
∴，
∴抛物线的解析式为；
【小问2详解】
∵四边形，四边形均为正方形，，
∴，
延长交于点，延长交于点，则四边形，四边形均为矩形，

∴，
∴，
∵，当时，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
【小问3详解】
∵，垂直平分，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则：，解得：，
∴，
∵太阳光为平行光，
设过点平行于的光线的解析式为，
由题意，得：与抛物线相切，
联立，整理得：，
则：，解得：；
∴，当时，，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用．读懂题意，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合的思想，进行求解，是解题的关键．
26. 某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
（1）【初步探究】如图2，当时，则_____；
（2）【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；
（3）【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
（4）【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）仍然成立，理由见解析
（4）
【解析】
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，可得，根据题意可得，根据等原三角形的性质可得平分，即可得，根据旋转的性质可知；
（2）证明，可得，根据等腰直角三角形可得，由，即可即可得出；
（3）同（2）可得，过点，作，交于点，证明，，可得，即可得出；
（4）过点作，交于点，证明，可得，，在中，勾股定理可得，即可得出．
【小问1详解】
等腰直角三角形和等腰直角三角形，
，
故答案为：
【小问2详解】
在与中，
又
重合，
故答案为：
【小问3详解】
同（2）可得
，
过点，作，交于点，
则，
，
在与中，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
，
即，
【小问4详解】
过点作，交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
中，，
，
即．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键．组别
评价得分
频数
频率
A组

30
0.1
B组
90
n
C组
m
04
D组
60
0.2