湖北省十堰市竹溪县第二教研体联盟2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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考试时间：120分钟 试卷满分：120分
一．选择题（每小题3分共30分）
1. 将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6B. 5，12，15C. 1，，2D. ，，5
【答案】C
【解析】
【分析】判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、∵42+52=16+25=41＞36=62∴不能组成直角三角形，故A选项不正确；
B、∵52+122=25+144=169＜225=152，∴不能组成直角三角形，故B选项错误；
C、∵12+（）2=22，∴能组成直角三角形，故C选项正确；
D、∵（）2+（）2=2+3=5＜25=52，∴不能组成直角三角形，故D选项错误．
故选：C．
【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足a2+b2=c2，则△ABC是直角三角形．
2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了最简二次根式的定义．直接利用最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，进而得出答案．
【详解】解：A、，不是最简二次根式，故此选项错误；
B、，是最简二次根式，故此选项正确；
C、，不是最简二次根式，故此选项错误；
D、，不是最简二次根式，故此选项错误．
故选：B．
3. 下列计算中，结果错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次根式的加减法对选项A和B进行判断，根据二次根式的除法法则对选项C进行判断，根据二次根式的性质对选项D进行判断，最后得出答案即可．
【详解】解∶ A．与不能合并，所以A选项的计算错误；
B．，所以B选项的计算正确；
C．=，所以C选项的计算正确；
D．，所以D选项的计算正确；
故选∶A．
【点睛】本题考查了二次根式的计算∶先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的运算，最后合并同类二次根式．熟练掌握二次根式的运算是解题的关键．
4. 已知最简二次根式与是同类二次根式，则的值为（ ）
A. B. C. D. 不确定
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．先把化简为，再利用最简二次根式的定义和同类二次根式的定义得到，从而得到的值．
【详解】解：，
而最简二次根式与是同类二次根式，
，
解得．
故选：B．
5. 有理数a，b，c在数轴上的位置如图：化简：（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查整式的加减、数轴、绝对值，算术平方根，根据数轴可以判断、，从而可以化简．
【详解】解：由题意得：，、，
，
故选：B．
6. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据用勾股定理的逆定理判断A、B，，根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．
【详解】解：A.∵，设AB=3k，则BC=4k，AC=5k，∴AB2+BC2=25k2=AC2，是直角三角形，故此选项不符合题意；
B.∵，设AB=k，则BC=2k，AC=k，∴AB2+AC2=4k2=BC2，是直角三角形，故此选项不符合题意；
C.∵∠A-∠B=∠C，∴∠A=∠C+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴是直角三角形，故此选项不符合题意；
D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=75°，不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键．
7. 一个四边形的三个相邻内角度数依次如下，那么其中是平行四边形的是（ ）
A 88°，108°，88°B. 88°，104°，108°
C. 88°，92°， 92°D. 88°，92°，88°
【答案】D
【解析】
【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形,根据所给的三个角的度数可以求出第四个角,然后根据平行四边形的判定方法验证即可.
【详解】两组对角分别相等的四边形是平行四边形,故B不是;
当三个内角度数依次是88°,108°,88°时,第四个角是76°,故A不是;
当三个内角度数依次是88°,92°, 92°时,第四个角是88°,而C中相等的两个角不是对角，故C不对;
D中满足两组对角分别相等，因而是平行四边形.
故选D.
【点睛】本题主要是考查了平行四边形的性质定理以及四边形内角和等于360°，熟练掌握平行四边形的对角相等，是解题的关键．
8. 如图，在中，于点，点分别是的中点，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，由等腰三角形的性质可得，再根据三角形中位线的性质即可求出的长，掌握三角形中位线的性质是解题的关键．
【详解】解：∵于点，
∴，
∵点分别是的中点，
∴为的中位线，
∴，
故选：．
9. 如图，在菱形中，相交于O，且，若．则菱形的面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，进而得到，设，由勾股定理得，解方程推出，则．
【详解】解：∵在菱形中，相交于O，
∴，
∵，
∴，
设，
在中，由勾股定理得；，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
故选：A．
10. 如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ）
A. 3B. 2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理及垂线段最短，掌握菱形，矩形的性质是解题的关键．连接，证明四边形是矩形得，当时，的值最小，即的值最小，再根据等面积法即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，，
∵于点E，于点F，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故选：C．
二．填空题（每小题3分共18分）
11. 把进行化简，得到的最简结果是_________________(结果保留根号)．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据二次根式的性质化简即可，熟练掌握二次根式的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 若代数式有意义，则实数x的取值范围为______．
【答案】且
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件．直接利用二次根式和分式有意义的条件得出答案．
【详解】解：由题意得，，
∴且，
故答案为：且．
13. 若一个直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则第三条边长是________cm．
【答案】或
【解析】
【分析】分两种情况，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：①直角三角形的两边长分别是4cm，3cm，则
第三条边长（cm）；
②当直角边为3cm，斜边长为4cm时,第三条边长（cm）
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键．
14. 如图，一旗杆离地面6m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部8m处，旗杆折断之前的高度是______m．
【答案】16m
【解析】
【分析】图中为一个直角三角形，根据勾股定理两个直角边的平方和等于斜边的平方．此题要求斜边的长度，解直角三角形即可．
【详解】解：∵旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为8m，旗杆离地面6m折断，且旗杆与地面是垂直的，
∴折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为==10m，
∴旗杆折断之前高度为：10m+6m=16m．
故答案为16m．
【点睛】本题考查的是勾股定理的实际应用，根据实际情况找出可以运用勾股定理的直角三角形是解答本题的关键．
15. 如图，四边形是菱形，，于点，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质，直角三角形的勾股定理，先求出的长度，在中根据面积相等方法即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，，
∴，，
∴在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的对角线相互垂直且相互平分，直角三角形的勾股定理，等面积法求边长或高是解题的关键．
16. 如图，点D，E，F分别是三边的中点，则下列判断：①四边形一定是平行四边形；②若平分，则四边形是正方形；③若，则四边形是菱形；④若，则四边形是矩形．正确的是___________．（填序号）

【答案】①③④
【解析】
【分析】①由三角形的中位线定理可以判定结论正确；
②利用平分可以判定四边形是菱形而非正方形，可得②的结论错误；
③利用斜边上的中线等于斜边的一半可得出，从而得出四边形是菱形；
④，则根据①的结论可得四边形是矩形；
【详解】解 ①D是的中点，E是的中点，
∴，
∵D是的中点，F是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴①正确；
②如图，
由①知：，
∴
若平分，
则，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
∴②不正确；
③如图，

若，
∵D是的中点，
∴是垂直平分线，
∴，
∵，E是的中点，
∴，
同理：，
∴，
由①知： 四边形是平行四边形，，
∴四边形是菱形，
∴③正确；
④，如图，

由①知： 四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形，
∴④正确；
综上可得，正确的结论有：①③④，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了三角形的中位线，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，矩形的判定，直角三角形斜边上的直线的性质，等腰三角形的判定与性质，利用三角形的中位线定理得出平行线是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
17. 计算：
（1）．
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，二次根式的加减计算：
（1）先计算二次根式的乘除法，再计算二次根式加减法即可；
（2）先化简二次根式，再计算二次根加减法即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再代值计算即可．
【详解】原式
；
∴当时，原式．
【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握平方差公式和完全平方公式，正确的进行计算，是解题的关键．
19. 已知：如图，在平行四边形中，E、F分别是的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，先由平行四边形的性质得到，再由线段中点的定义证明，即可证明四边形是平行四边形，则．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵E、F分别是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
20. 如图，一架长25米的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子底端离墙7米．
（1）此时梯子顶端离地面多少米？
（2）若梯子顶端下滑4米，那么梯子底端将向左滑动多少米？
【答案】（1）梯子顶端离地面24米（2）梯子底端将向左滑动了8米
【解析】
【分析】（1）构建数学模型，根据勾股定理可求解出梯子顶端离地面的距离；
（2）构建直角三角形，然后根据购股定理列方程求解即可.
【详解】解：（1）如图，∵AB=25米，BE=7米，
梯子距离地面的高度AE==24米．
答：此时梯子顶端离地面24米；
（2）∵梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度CE=（24﹣4）=20米，
∴BD+BE=DE===15，
∴DE=15﹣7=8（米），即下端滑行了8米．
答：梯子底端将向左滑动了8米．
【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知勾股定理是解答此题的关键．
21. 如图，四边形是平行四边形，且对角线，交于点，，，．
求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】由平行四边形的性质与已知得出AB=OB，易证四边形ABOE是平行四边形，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
∵，．
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键．
22. 如图，已知四边形中，，，，，E为边上的一点，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点B运动，连接，设点P运动的时间为t秒．
（1）求的长；
（2）若为直角三角形，求t的值．
【答案】（1）5 （2）当秒或秒时，为直角三角形．
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理，矩形的性质与判定：
（1）先求出，在中根据勾股定理计算即可；
（2）分、两种情况，根据勾股定理计算即可．
【小问1详解】
解：，，
，
在中，；
【小问2详解】
解：当时，如下图：

，
，
∵，
∴，
四边形为矩形，
，
，
动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿着边向终点运动，
∴（秒，
当时，如图，过点P作于Q，
同理可得四边形是矩形，
∴，
∴，

在中，由勾股定理得，
由（1）得，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
解得，，
当秒或秒时，为直角三角形．
23. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由E是AD的中点，AF∥BC，易证得△AFE≌△DBE，即可得AF＝BD，又由在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，可得AD＝BD＝CD＝AF，证得四边形ADCF是平行四边形，继而判定四边形ADCF是菱形；
（2）首先连接DF，易得四边形ABDF是平行四边形，即可求得DF的长，然后由菱形的面积等于其对角线积的一半，求得答案．
【详解】（1）证明：如图，∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，
∴AE＝DE，BD＝CD，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS）；
∴AF＝DB．
∵DB＝DC，
∴AF＝CD，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝DC＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
（2）解：连接DF，
∵AF∥BC，AF＝BD，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴DF＝AB＝5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴S＝AC•DF＝10．
【点睛】此题考查了菱形判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意根据题意画出图形，结合图形求解是关键．
24. 如图，四边形ABCD是正方形，点G是BC边上任意一点，DE⊥AG于点E，且交AG于点F．
（1）求证：AE＝BF；
（2）如图1，连接DF、CE，探究线段DF与CE的关系并证明；
（3）如图2，若AB＝，G为CB中点，连接CF，直接写出四边形CDEF的面积为______．
【答案】（1）证明见解析；（2）DF＝CE且DF⊥CE，证明见解析；（3）3
【解析】
【分析】（1）根据AAS证明即得；
（2）先根据得出，再根据同角的余角相等得出，然后根据SAS证明即得DF与CE的数量关系及，最后根据推出即得DF与CE的位置关系；
（3）连接CE、DF，先利用勾股定理及等面积法计算出BF，在利用勾股定理及垂直平分线性质推出DF和CE的长，最后由（2）结论可推出四边形CDEF的面积即得．
【详解】（1）证明：∵DE⊥AG于点E，BF∥DE且交AG于点F，
∴BF⊥AG于点F，∠EAD＋∠ADE＝90°
∴∠AED＝∠BFA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD且∠BAD＝∠ADC＝90°，
∴∠BAF＋∠EAD＝90°，
∵∠EAD＋∠ADE＝90°，
∴∠BAF＝∠ADE，
在△AFB和△DEA中，
，
∴△AFB≌△DEA（AAS），
∴BF＝AE；
（2）DF＝CE且DF⊥CE．
理由如下：∵∠FAD＋∠ADE＝90°，∠EDC＋∠ADE＝∠ADC＝90°，
∴∠FAD＝∠EDC，
∵△AFB≌△DEA，
∴AF＝DE，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，
在△FAD和△EDC中，
∴△FAD≌△EDC（SAS），
∴DF＝CE且∠ADF＝∠DCE，
∵∠ADF＋∠CDF＝∠ADC＝90°，
∴∠DCE＋∠CDF＝90°，
∴DF⊥CE；
（3）如图，连接CE、DF
∵AB＝，G为CB中点，
∴BG＝BC＝，
由勾股定理得，AG＝＝＝，
∵S△ABG＝AG•BF＝AB•BG，
∴וBF＝××，
解得BF＝，
由勾股定理得，AF＝＝＝，
∵△AFB≌△DEA，
∴AE＝BF＝，
∴AE＝EF＝，
∴DE垂直平分AF，
∴DF＝AD＝，
由（2）知，DF＝CE且DF⊥CE，
∴四边形CDEF的面积＝DF•CE＝××＝3
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定、垂直平分线的性质和勾股定理，证明线段相等可以转化为证明三角形全等，几何中的线段关系一般指数量关系和位置关系，对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，抓住正方形边长相等和每个内角都为直角是解题关键．