备战2024年中职高考对口数学冲刺模拟卷7（四川适用）

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选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．设集合，则（ ）
A．{2}B．{4,5}C．{3,4}D．{2,3}
【答案】D
【分析】应用集合的交运算求结果.
【详解】由题设.
故选：D
2．“”是“”的什么条件（ ）
A．充分条件B．必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断即可得结论.
【详解】若，则由“”不能推出“”，故充分性不成立；
若，则由“”不能推出“”，故必要性不成立；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
3．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求解不等式，在根据充分、必要性的定义判断即可.
【详解】由，得，由，得，
因为，，
所以是的必要不充分条件.
故选：.
4．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数解析式可知要保证根式和分式有意义，列出不等式组求解即可得出答案.
【详解】由题意得，解得且
所以函数的定义域为.
故选：A.
5．已知函数，则等于（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】C
【分析】将自变量代入解析式求函数值即可.
【详解】由解析式知：.
故选：C
6．函数在上是减函数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据一次函数的单调性有，即可得结果.
【详解】因为函数在上是减函数，
所以.
故选：D
7．已知，，，则（ ）
A．5B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】根据指数的运算性质即可求解.
【详解】由于，∴，
故选：B.
8．函数的图象大致为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】B选项的不是函数图象，故排除，再结合特殊值排除AC选项.
【详解】先排除B选项，因为不是函数图象；
，排除AC选项.
故选：D
9．经过点，倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角求出斜率，然后由点斜式可得.
【详解】因为倾斜角为，所以斜率，
又直线经过点，所以由点斜式可得直线的方程为：，即.
故选：D
10．圆在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先计算出，从而由斜率乘积为-1得到切线斜率，利用点斜式写出切线方程，得到答案.
【详解】因为，所以在圆上，
的圆心为，
故，
设圆在点处的切线方程斜率为，
故，解得，
所以圆在点处的切线方程为，
变形得到，即.
故选：A
11．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】AC项角度与弧度混用，排除AC；D项终边在第三象限，排除D.
【详解】因为，终边落在第四象限，且与角终边相同，
故与的终边相同的角的集合
即选项B正确；
选项AC书写不规范，选项D表示角终边在第三象限.
故选：B.
12．将函数的图像向左平移个单位长度，再将所得图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像，则函数的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据函数图像平移变换和伸缩变换法则，即可得出函数的解析式．
【详解】函数的图像向左平移个单位长度，得函数的图像，
再将图像上各点横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图像.
故选：C
13．已知向量、满足，，且与夹角的余弦值为，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】利用平面向量数量积以及夹角代入计算即可求得.
【详解】根据题意可得，
则可得，
所以.
故选：D
14．在数列中，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依次计算，得到为周期数列，一个周期为3，从而求出.
【详解】由题意得，，，
，……
故为周期数列，一个周期为3，
故.
故选：C
15．如图，在正方体 中，为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】连接，易证，只需解三角形，求出的余弦值即可得解.
【详解】
如图，连接，，
因为，，
所以四边形是平行四边形，
，因此是异面直线与所成的角或其补角，
设正方体的棱长为2，则，，
在直角三角形中，，
，即三角形是直角三角形，
，
即异面直线与所成角的余弦值为.
故选：C.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
16．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【分析】根据函数是奇函数，得到，代入解析式求解即可.
【详解】依题中条件知，，
故答案为：.
17．不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】利用指数函数的单调性解不等式.
【详解】由，
所以，即，
解得或，
故答案为：.
18．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，则 ．
【答案】
【分析】根据三角函数定义得到，由诱导公式求出答案.
【详解】根据题意得到，
故.
故答案为：
19．若抛物线上的点到其焦点的距离为3，则 .
【答案】2
【分析】根据抛物线方程及抛物线定义有，求参数即可.
【详解】由题设及抛物线定义知：且.
故答案为：
20．某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为 .
【答案】/
【分析】先罗列出所有情况，再罗列出符合要求的情况，最后算概率即可.
【详解】设装变形金刚玩具的盒子分别为，
装积木玩具的盒子为.则从这5个盒子中选出2个盒子的不同选法有
，
共10种不同方法；
恰好选到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的不同选法有
，共4种不同方法，故所求概率，
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
21．计算下列各式的值：
(1)
(2)
【答案】(1)(2)3
【分析】（1）根据分数指数幂的公式化简可得；
（2）利用换底公式和对数运算公式化简可得.
【详解】（1）.
（2）原式
.
22．(1)化简：；
(2)已知角的终边经过点，求，，的值；
【答案】(1)；(2)﹒
【分析】(1)根据三角函数的诱导公式化简即可；
(2)根据三角函数的定义即可求解.
【详解】(1)；
(2)角的终边经过点，
则，
.
23．已知函数.
(1)判断函数奇偶性，并说明理由；
(2)判断函数在上的单调性，并利用单调性定义说明理由.
【答案】(1)为奇函数，理由见解析
(2)在上单调递增，理由见解析
【分析】（1）易知函数的定义域关于原点对称，且满足，所以为奇函数；（2）根据单调性定义按照取值、作差、变形、定号、得结论等步骤证明即可.
【详解】（1）函数为奇函数，证明如下：
函数的定义域为，关于原点对称，
，满足奇函数定义；
所以为奇函数.
（2）在上单调递增，理由如下：
在上任取，
则
因为，所以，
故，即
所以，所以在上单调递增.
24．已知，，．
(1)求的值；
(2)求向量与夹角的余弦值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题中条件，变化，即可求解；
（2）求出及，设与的夹角为θ，利用公式即可.
【详解】（1）由题知，
因为，所以
所以
（2）由题，，
则，
，
所以，
令与的夹角为θ，
则，
即向量与夹角的余弦值是．
25．记等差数列的前项和为，已知，且．
(1)求和；
(2)设，求数列前项和．
【答案】(1)；；(2)．
【分析】（1）利用等差数列性质求出通项公式和前项和；
（2）利用裂项相消法求和.
【详解】（1）设的公差为，因为，所以，
又，所以，解得，
所以，
．
（2），
所以
．
26．如图，S为圆锥顶点，O是圆锥底面圆的圆心，AB、CD为底面圆的两条直径，，且，，P为SB的中点.
(1)求证：平面PCD；
(2)求圆锥SO的体积.
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）连结PO，由中位线性质有，利用线面平行的判定定理即可证结论；
（2）根据已知求底面半径，进而求出底面积，应用圆锥体积公式求体积.
【详解】（1）连结PO，如下图示：
∵P、O分别为SB、AB的中点，
∴，又平面PCD，平面PCD，
∴平面PCD.
（2）∵，P为SB的中点，
∴.
∴，则底面圆面积.
∴圆锥体积.
27．已知圆C：．
(1)若点，求过点的圆的切线方程；
(2)若点为圆的弦的中点，求直线的方程．
【答案】(1)或(2)
【分析】（1）求出圆的圆心与半径，分过点的直线的斜率不存和存在两种情况，利用圆心到直线距离等于半径，即可求出切线方程；
（2）根据圆心与弦中点的连线垂直线，可求出直线的斜率，进而求出结果.
【详解】（1）解：由题意知圆心的坐标为，半径，
当过点的直线的斜率不存在时，方程为．
由圆心到直线的距离知，此时，直线与圆相切．
当过点的直线的斜率存在时，设方程为，
即．由题意知，
解得，∴方程为．
故过点的圆的切线方程为或．
（2）解：∵圆心，，即，
又，
∴，则.