备战2024年中职高考对口数学冲刺模拟卷6（四川适用）

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选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】直接计算交集得到答案.
【详解】集合，，则.
故选：A
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由可得，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由可得，
由“”不能推出“”，
但由“”可以推出“”．
故“”是“”的必要而不充分条件．
故选：B.
3．若不等式的解集是或，则a，b的值为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】是方程的两个根，由韦达定理得到答案.
【详解】由题意得是方程的两个根，
故，解得.
故选：C
4．已知函数，则=（ ）
A．1B．3C．-3D．-1
【答案】B
【分析】计算出，从而求出.
【详解】，.
故选：B
5．下列函数中，在区间上是单调递增函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由函数解析式直接得到函数的单调性，得到正确答案.
【详解】A选项，在R上单调递减，A错误；
B选项，在R上单调递增，满足要求，B正确；
C选项，在上单调递减，C错误；
D选项，在上单调递减，D错误.
故选：B
6．（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】根据对数的运算可求得答案.
【详解】原式
.
故选：C.
7．函数的图像必经过点（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的性质，令，求得，即可求解.
【详解】由函数，令，即，可得，
所以函数的图象必经过点.
故选：D.
8．设为两条直线，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ）
A．若，，则B．若，，，则
C．若，，，则D．若，则
【答案】D
【分析】ABC可举出反例，D可利用线面平行的判定定理证得.
【详解】A选项，如图1，满足，，但不平行，A错误；

B错误，如图2，满足，，，但不平行，B错误；

C选项，如图3，满足，，，但不平行，C错误；

D选项，若，由线面平行的判断定理可得，D正确.
故选：D
9．已知，则的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用幂函数的单调性可比较a，c，再由对数函数性质可知，即可得答案.
【详解】因为函数在上单调递增，
所以，即，
又，所以.
故选：C
10．已知，且，则等于（ ）
A．5B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量垂直得出其数量积为0，即可根据向量的模长求法得出答案.
【详解】，
，
，
故选：A.
11．若直线：与直线：互相平行，则（ ）
A．B．C．12D．
【答案】C
【分析】根据直线平行的条件求解即可.
【详解】因为，
所以，解得，
故选：C
12．已知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，则其表面积为（ ）
A．12B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角形面积公式及四面体表面积的意义计算即得.
【详解】棱长为2，各面均为等边三角形的四面体，
其表面积为：.
故选：C
13．已知直线与圆相切，则实数的值可能为（ ）
A．或8B．9C．D．18
【答案】A
【分析】根据题意，利用圆心到直线的距离等于半径列方程来求得的值.
【详解】圆的圆心为，半径为.
由于直线与圆相切，
所以，解得或.
故选：A
14．椭圆的焦点在轴上且焦距为2，则的值等于（ ）
A．5B．5或8C．5或3D．3
【答案】A
【分析】由椭圆的标准方程及焦点在x轴上且，结合椭圆参数的关系即可求.
【详解】依题得，即，则.
故选：A
15．甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，则不同游览方案的种数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析可知，每个人都有三种选择，利用分步乘法计数原理可得结果.
【详解】甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，
每个人都有三种选择，则不同的游览方案种数为种.
故选：B.
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）
16．已知函数，则 ．
【答案】1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
17．已知函数是定义在上的奇函数，当时，则 .
【答案】
【分析】根据函数奇偶性先得到，再由定义域为求出，最后相加即可.
【详解】因为是定义在上的奇函数，
所以，
又因为定义域为，
所以，
所以，
故答案为：
18．已知为第三象限角，，则 ．
【答案】
【分析】根据同角三角函数的商式关系以及平方和关系，可得答案.
【详解】由，则，，由，则，
由为第三象限角，，，则.
故答案为：.
19．展开式中常数项为 .（用数字作答）
【答案】54
【分析】根据的展开式的通项公式可求出结果.
【详解】展开式的通项为，
令，得，所以展开始得常数项为.
故答案为：.
20．一辆汽车在行驶过程中，路程（千米）与时间（小时）之间的函数关系如图所示，当时，关于的函数解析式为，当时，关于的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】根据图像，设出当时，关于的函数解析式为，把点与代入，计算出的值，即可得到答案．
【详解】由图可设当时，关于的函数解析式为，
当时，，当时，，
代入解析式可得解得
当时，.
故答案为
三、解答题（本大题共6小题，满分70分。解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
21．计算下列各式的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分数指数幂和根式运算法则计算即可；
（2）利用对数运算法则计算即可.
【详解】（1）；
（2）．
22．已知，且为第三象限角.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】（Ⅰ）-5（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）化简，再代入已知得解；
（Ⅱ）先根据已知求出，，再代入即得解.
【详解】解：（Ⅰ）因为，
，
所以
（Ⅱ）由，得，
又，所以，
注意到为第三象限角，可得，.
所以
.
【点睛】本题主要考查同角的商数关系和平方关系，考查差角的余弦公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
23．已知平面向量，满足，，．
(1)求与的夹角；
(2)求．
【答案】(1)
(2)12
【分析】（1）根据定义法直接求解即可；
（2）根据平方关系的转化求解向量的模即可.
【详解】（1）设与的夹角为
因为，，，
所以，
所以，
即与的夹角为
（2）由题意得，.
24．如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线．
(1)求证：平面；
(2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
【分析】（1）先证明线面垂直，通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到面面垂直即可；
（2）先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平面角求解即可.
【详解】（1）因为是底面的一条直径，是下底面圆周上异于的动点，
所以，
又因为是圆柱的一条母线，所以底面，
而底面，所以，
因为平面，平面，且，
所以平面，
又因为，所以平面平面；
（2）如图所示，
过作圆柱的母线，连接，
因为底面//上底面，所以即求平面与平面所成锐二面角的大小，
因为在底面的射影为，且为下底面的直径，所以为上底面的直径，
因为是圆柱的母线，所以平面，
又因为为上底面的直径，所以，而平面，
所以为平面与平面所成的二面角的平面角，
又因为在底面射影为，所以，，
所以，又因为母线长为，所以，
又因为平面，平面，所以，
所以,
所以，
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
25．已知等差数列的前三项依次为，4，，前项和为，且.
(1)求的通项公式及的值；
(2)设数列的通项，求证是等比数列，并求的前项和.
【答案】(1)，
(2)证明见解析，
【分析】(1)直接利用等差中项的应用求出的值，进一步求出数列的通项公式和的值；
(2)利用等比数列的定义即可证明数列为等比数列，进一步求出数列的和.
【详解】（1）等差数列的前三项依次为，4，，
∴，解得；
故首项为2，公差为2，
故，
前项和为，且，整理得，
解得或－11(负值舍去).
∴，k＝10.
（2）由(1)得：，
故(常数)，故数列是等比数列；
∴.
26.A市居民生活用水原收费标准为4元/m3，为保护生态，鼓励节约用水，A市从2016年1月1日起，调整居民生活用水收费标准，具体规定如下：第一阶梯：每户用水量不超过25m3的部分（含25m3），按3元/m3计费；第二阶梯：每户用水量超过25m3且不超过35m3的部分（含35m3），按4元/m3计费；第三阶梯：每户用水量超过35m3的部分，按6元/m3计费．如：当某户月用水量为30m3时，该户当月应缴水费为3×25＋4×(30－25)＝95(元)．假设某户月用水量为xm3时，当月应缴水费为y元．
(I)求调整收费标准后y与自变量x的函数关系；
(II)当某户用水量超过多少m3时，按调整后收费标准应缴水费超过按原收费标准应缴水费？
答案：(I)由题意得某户月用水量为，当月应缴水费为元.
第一阶梯：当时，；
第二阶梯：当时，；
第三阶梯：当时，.
综上， .
(II) 当时，，的取值范围不存在；
当时，，的取值范围不存在；
当时，，解得.
所以当某户用水量超过47.5m3时，按调整后收费标准应缴水费超过按原收费标准应缴水费.
27．已知椭圆，三点中恰有两点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交椭圆于两点，且线段的中点的横坐标为，过作直线，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标.
【答案】(1)(2)证明见解析，
【分析】(1)分别讨论即可确定在上，即可求解；(2)利用点差法表示出的斜率，再表示出的直线方程，即可求出定点.
【详解】（1）显然不能同时在上，
若在上，则.
故在上，则，所以.
所以椭圆的方程为.
（2）设.
当时，设，显然.
联立，则，即.
又为线段的中点，故直线的斜率为.
又，所以直线的方程为，
即，显然恒过定点.
当时，过点.
综上所述，恒过定点.