2024年湖北省湖北省名校协作体中考三模数学试题（原卷版+解析版）

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（本试题卷共6页，满分120分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡．上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效，作图一律用2B铅笔或黑色签字笔．
4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（共10题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1. 下列四个数中，比小的数是（ ）
A. 3B. C. 0D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】正数大于零，零大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小计算即可．
本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握大小比较的基本方法是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
故选B．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故B错误；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故C错误；
D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故D正确．
故选：D．
3. 近年来，湖北省不断加大对充电设施建设的支持力度，鼓励和引导各方参与充电设施建设．截至2024年3月底，全省累计建成充电桩365000个，居中西部第一，全国第五．将数据365000用科学记数法表示是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【详解】解：，
故选C．
4. 下列立体图形中，左视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查三视图，熟练掌握各个几何体的三视图是解题的关键；因此此题可根据几何体的特征进行排除选项．
【详解】解：A、圆锥的左视图是三角形，故不符合题意；
B、圆柱的左视图是矩形，故不符合题意；
C、三棱柱的左视图是矩形，故不符合题意；
D、球的左视图是圆，故符合题意；
故选D．
5. 在下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据运算法则逐一计算判断即可本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．
【详解】解：∵，不是同类项，无法计算，
故A合题意．
∵，
∴B不合题意．
∵，
∴C合题意．
∵，
∴D不合题意．
故选：C．
6. 下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是（ ）
A. 调查某批次汽车的抗撞击能力
B. 选出某班短跑最快的学生参加运动会
C. 企业招聘，对应聘人员进行面试
D. 地铁站工作人员对乘客进行安全检查
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的选择，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
【详解】解：A．调查某批次汽车的抗撞击能力具有破坏性，适宜抽样调查，故本选项符合题意；
B．选出某班短跑最快的学生参加运动会工作量比较小，适宜普查，故本选项不符合题意；
C．企业招聘，对应聘人员进行面试工作量比较小，适宜普查，故本选项不符合题意；
D．地铁站工作人员对乘客进行安全检查比较重要，适宜普查，故本选项不符合题意．
故选A．
7. 如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜的折射后，折射光线交于主光轴MN上一点．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，对顶角的性质，先由两直线平行，同旁内角互补得到，再根据对顶角的性质求解即可
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选；B．
8. 如图，四边形内接于，，，，连接，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，平行线的性质等等，先根据等边对等角和三角形内角和定理得到，再由圆内接四边形对角互补求出，进而由平行线的性质得到，据此可得．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
9. 下列判断错误的是（ ）
A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
B. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
C. 对顶角相等
D. 同旁内角互补
【答案】D
【解析】
【分析】根据正方形、矩形的判定定理，以及对顶角和平行线的性质进行判断即可．
【详解】解：A．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确；
B．对角线相等且互相平分的四边形是矩形，正确；
C．对顶角相等，正确；
D． 两直线平行，同旁内角互补，故原说法不正确．
故选D．
【点睛】本题考查了正方形、矩形的判定定理，以及对顶角和平行线的性质，熟练掌握正方形、矩形的判定定理是解答本题的关键．
10. 如图，二次函数(a，b，c为常数，)的图象关于直线对称，抛物线与x轴交于，两点.若则下列四个结论错误的是（ ）
A. B.
C. D. 对于任意实数t，都有
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与x轴的交点，根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出a，b之间的等量关系，再结合抛物线与x轴的交点情况及点A横坐标的取值范围即可解决问题．
【详解】解：由题知，
A，B两点关于直线对称，
又，
且，，
所以．
故A正确，不符合题意．
由抛物线的对称轴是直线得，，
则，
所以，
又，
所以．
故B错误，符合题意．
因为抛物线与x轴有两个交点，
所以，
又当时，函数值小于0，
即，
所以，
又，
所以，
所以，
故C正确，不符合题意．
因为当时，函数取得最小值，
所以当时，
总有，
所以．
故D正确，不符合题意．
故选：B
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11. 反比例函数的图象在第___象限．
【答案】二、四
【解析】
【分析】根据反比例函数的图像和性质进行解答即可．
【详解】解：反比例函数中，
∴反比例函数的图像在第二、四象限内．
故答案为：二、四．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图像与k的关系，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图像是双曲线，当时，图像在第一、三象限；当时，图像在第二、四象限．
12. 直接写出不等式组的一个整数解是_________．
【答案】0(答案不唯一，答案为内的整数即可)
【解析】
【分析】根据题意，得到不等式组的解集是，其整数解有，自主选择一个即可．本题考查了求不等式组的解集，及其整数解，熟练掌握整数解的确定是解题的关键．
【详解】根据题意，得的解集是，其整数解有，
故答案为：0．
13. 湖北省旅游资源丰富，今年“清明节”期间，十堰武当山、官昌清江画廊、荆州方特、黄石天空之城这四个景区异常火爆，甲、乙两人准备在这四个景区中随机选择一个景区游玩，则他俩选择同一个景区游玩的概率是_________．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图计算即可．本题考查了画树状图法求概率，正确画图是解题的关键．
【详解】设十堰武当山用A表示、官昌清江画廊用B表示、荆州方特用C表示、黄石天空之城用D表示，画树状图如下：
根据题意，一共有16种等可能性，选择同一景区的等可能性有4种，
故他俩选择同一景区的概率是．
故答案为：．
14. 在我国古代重要的数学著作《孙子算经》中，记载有这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步.间车有几何?”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆空车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问车辆有多少?若设车辆数为x，则可列方程为___________．
【答案】
【解析】
【分析】设车辆数为x，根据人数相等，列出等式即可．
本题考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系是解题的关键．
【详解】设车辆数x，根据题意，得，
故答案为：．
15. 已知等腰中，，，点D是边的中点，沿翻折，使点A落在同一平面的点E处，若，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键．
记的交点为F，设，，则，，，由翻折的性质可知，，，，证明，则，即，可得，则，由勾股定理得，，即，整理得，；，即，整理得，；得，，可求，则，，由勾股定理得，，即，可求满足要求的解，，进而可求的值．
【详解】解：如图，记的交点为F，设，，则，，，
由翻折的性质可知，，，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
由勾股定理得，，即，整理得，；
，即，整理得，；
得，，
∴，
∴，，
由勾股定理得，，即，
解得，或（舍去），
∴，
故答案为：．
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 计算：．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，先计算立方根，绝对值，乘方运算，再合并即可．
【详解】．解；
；
17. 如图，四边形是平行四边形，E，F分别是和的中点，连接，．
（1）求证：；
（2）当_________度时，四边形为矩形．
【答案】（1）证明见解析；
（2）90．
【解析】
【分析】（1）根据题意，证明四边形是平行四边形可证．
（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，解答即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
【小问1详解】
证明；∵四边形是平行四边形，
∴，
又∵E，F分别是和的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
当时，四边形是矩形，
故答案为：90．
18. 桑梯是我国古代发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政企书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知米，点D在的延长线上，米，当时，求桑梯顶端D到地面的距离．（参考数据：，结果精确到米）
【答案】米．
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作，垂足为，利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再根据已知可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】过点作，垂足为，
，
米，，
，
米，
米，
在中，米，
桑梯顶端到地面的距离约为米．
19. 某校兴趣小组通过调查了解本校学生最喜爱的球类运动项目，形成了如下调查报告．
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查共抽查了______名学生，补全条形统计图；
（2）这名篮球社团的学生定点投篮命中次数的中位数是______，众数是______，平均数是______，这名学生的平均数能不能代表全校喜爱篮球的学生定点投篮的平均水平：______（填“能”或“不能”）；
（3）估计该校名学生中最喜爱篮球运动项目的人数．
【答案】（1），见解析
（2），9，，不能
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意知，本次共抽查（名），喜爱羽毛球的人数为（名），喜爱篮球的人数为（名），然后补图即可；
（2）由题意知，这名篮球社团的学生定点投篮命中次数的中位数是第5、6两位数的平均数即，众数是9，平均数是，分别计算求解即可；根据这名学生恰好是学校篮球社团的成员，可知不能代表全校喜爱篮球的学生定点投篮的平均水平；
（3）根据，计算求解即可．
【小问1详解】
解：由题意知，本次共抽查（名），
∴喜爱羽毛球的人数为（名），喜爱篮球的人数为（名），
补全统计图如下；
【小问2详解】
解：由题意知，这名篮球社团的学生定点投篮命中次数的中位数是，众数是9，平均数是，
∵这名学生恰好是学校篮球社团的成员，
∴不能代表全校喜爱篮球学生定点投篮的平均水平；
故答案为：，9，，不能；
小问3详解】
解：∵（人），
∴估计该校名学生中最喜爱篮球运动项目的人数为人．
【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，平均数，用样本估计总体等知识．从统计图中获取正确的信息是解题的关键．
20. 如图，一次函数()的图象与反比例函数()的图象相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点A的坐标是，点B的坐标是 ．
（1）求m，n，k；
（2）根据图象，直接写出关于x的不等式的解集．
【答案】（1），，
（2）或．
【解析】
【分析】（1）根据点B的坐标，先确定反比例函数解析式，再确定点A的坐标，最后确定一次函数的解析式，即可．
（2）根据函数的图象，结合交点的横坐标写出解集即可．
本题考查了一次函数与反比例函数的综合，数形结合确定解析式构成不等式的解集，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
【小问1详解】
将点代入反比例函数，
得，
，
将点代入，
得，
解得，
，
将点坐标代入一次函数，
得，
解得．
【小问2详解】
关于x的不等式的解集是：或．
21. 如图，在中，，平分交于点，圆心在上，经过点，的分别交，于点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求劣弧的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）连接，由，则，再根据角平分线的定义得，从而有，证明即可求证；
（）连接交于点，作于点，则四边形和四边形都是矩形，再由，得，从而有，最后利用弧长计算公式即可．
【小问1详解】
证明：连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线；
【小问2详解】
解：连接交于点，作于点，
∵是的直径，
∴，
∴四边形和四边形都是矩形，
∴，，
∴，，
在中，，
∴
∴，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定与性质，弧长计算公式，矩形的判定与性质和三角函数的应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
22. 黄冈特产丰富，各种美食数不胜数．黄冈某商店计划在30天内销售某品牌东坡饼和武穴酥糖.据市场调查：在这30天的时间内，东坡饼每盒的利润y（元）与第x天之间的函数关系式为 (，且x为整数)，武穴酥糖每盒的利润保持20元不变；东坡饼和武穴酥糖第x天的销售量(单位：盒)，(单位：盒)与第x天的函数关系分别是和．
（1）直接写出：第20天东坡饼的销售量是________盒，当天东坡饼的总利润是_______元；第20天武穴酥糖的销售 盒，当天武穴酥糖的总利润是________元；
（2）若第x天东坡饼与武穴酥糖的总利润相等，求x的值；
（3）求当天销售东坡饼和武穴酥糖总利润和的最大值．
【答案】（1）120，3600，140，2800；
（2）10； （3）6500．
【解析】
【分析】（1）根据解析式，计算当时的函数值即可；根据，计算当时的函数值，两个函数值的积就是总利润；根据解析式，计算当时的函数值即可；函数值乘以20即可得到总利润．
（2）根据解析式，，计算第x天的总利润为，根据解析式，计算第x天的总利润为，根据利润相等，建立方程解答即可．
（3）设第x天东坡饼和武穴酥糖的总利润和为w元，则，利用二次函数的性质计算最值即可．
【小问1详解】
根据解析式，
当时，；
根据，
当时，，
故总利润为：（元），
故答案为120，3600；
根据解析式，
当时，
故总利润为：（元），
故答案为：140，2800．
【小问2详解】
根据解析式，，
巩固第x天东坡饼的总利润为，
根据解析式，
故第x天武穴酥糖的总利润为，
根据题意，两种商品的利润相等，
故，
解方程，得(舍去)
故第10天时，两种商品的总利润相等．
【小问3详解】
设第x天东坡饼和武穴酥糖的总利润和为w元，
则，
∵，
∴抛物线开口方向向下，对称轴为，
∵，且为整数，
∴当=15时，w有最大值为6500．
答：第15天销售东坡饼和武穴酥糖总利润之和最大，最大值为6500元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，函数值的计算，构造二次函数的求最值，抛物线与方程的关系，熟练掌握构造二次函数的求最值是解题的关键．
23. 【问题背景】（1）如图1，，可以由通过旋转变换得到，请直接写出旋转中心旋转方向及旋转角的大小；
【变式迁移】（2）如图2，，，连接，试猜想之间的数量关系，并加以证明；
【拓展创新】（3）如图3，，连接，若，，请直接写出的长度．
【答案】（1）旋转中心：C,旋转方向：顺时针方向；旋转角：；（2）之间的数量关系是；证明见解析；（3）．
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质求解即可；
（2）过点C作，且，连接．证明得，证明为等腰直角三角形得，进而可求出之间的数量关系；
（3）过点C作，且，可证，连接，证明得，．证明得，根据勾股定理求出，进而可求出的长度．
【详解】解：（1）旋转中心为点C；
旋转方向：顺时针旋转；
旋转角的大小为；
（2）之间的数量关系是
证明如下：过点C作，且，连接．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，且，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
（3）
如图，过点C作，且，
∴．
∵，
∴，
连接，
∵，
∴，
∴．
∵，且，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等和相似三角形是解答本题的关键．
24. 如图1，已知抛物线C：与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点D．
（1）直接写出A，B，D三点的坐标；
（2）如图1，点M是抛物线在第二象限上一点，连接和，交于点N，若的面积比的面积大4，求点M的坐标；
（3）如图2，在直线下方的抛物线上有一点P，过点P作，垂足为点M；过点P作，交抛物线于另一点N．若，求点P的坐标．
【答案】（1），，；
（2）；
（3）或．
【解析】
【分析】（1）分别令，，再解方程即可得到答案；
（2）连接，，设点M的坐标为，且．根据．可得，再建立方程求解即可；
（3）先求解设点Р的坐标为，且．分两种情况：当点Р在点N左侧时，可得是等腰直角三角形，取的中点Q，连接，设，可得，，再利用函数的性质建立方程求解即可；当点Р在点N右侧时，同理可得：，，再利用函数的性质建立方程求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
当时，
∴，
解得：，，
当时，；
∴，，；
【小问2详解】
连接，，设点M的坐标为，且．
依题意得．
∵，
∴，
即，
∴，
解得，（舍），
∴点M的坐标为；
【小问3详解】
∵抛物线的解析式为，
∴，
设直线的解析式为(≠0)，
则，解得，
∴；
设点Р的坐标为，且．
∵，
∴，
分两种情况：当点Р在点N左侧时，
∵，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，取的中点Q，连接，设，
则，，
将代入到中，
可得，
将代入到抛物线中，可得，
化简得，
将代入到中，
可得，
解得，(舍)，
∴；
当点Р在点N右侧时，
同理可得：，，
将代入到中，
可得，
将代入到抛物线中，可得，
化简得，
将代入到中，
可得，解得，(舍)，
∴．
综上所得，或
【点睛】本题考查的是求解抛物线与坐标轴的交点坐标，二次函数图象与图形面积的综合，与等腰直角三角形的综合应用，清晰的分类讨论与转化思想是应用是解本题的关键．
调查项目
①了解本校学生最喜爱的球类运动项目；
②抽查部分学生最喜爱的球类运动项目的水平
调查方式
随机抽样调查
调查对象
部分学生
调查内容
①调查你最喜爱的一个球类运动项目（必选，只选一个）
A．篮球 B．乒乓球 C．足球 D．排球 E．羽毛球
②你最喜爱的球类运动项目的水平……
调查结果
①被调查学生最喜爱的球类运动项目的统计图：
②被抽查的最喜爱篮球运动项目的学生中有人恰好是学校篮球社团的成员，他们定点投篮各投次，命中的次数分别为6，7，8，8，8，9，9，9，9，