福建省福州第十九中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份福建省福州第十九中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（每题4分，共40分）
1. 下列式子中，不是的函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查函数的定义．在一个变化过程中，有两个变量，对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，叫自变量．
【详解】解：A．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意；
B．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意；
C．对于的每一个取值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数，此项不符合题意；
D．对于的每一个取值，都有两个确定的值与之对应，不是的函数，此项符合题意．
故选：D．
2. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 为任意实数
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式是解题的关键．
【详解】解：∵关于方程是一元二次方程，
∴的取值范围是，
故选：C
3. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是（ ）
A. 对角线相等B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直D. 对角线平分对角
【答案】B
【解析】
【分析】此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对该试卷源自 每日更新，享更低价下载。角线都平分一组内角．
【详解】解： A、矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有，故不符合题意；
B、矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分，故符合题意；
C、菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有，故不符合题意；
D、菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有，故不符合题意．
故选B．
4. 八年级某班正在筹备班班有歌声比赛，班长对全班同学进行了问卷调查．他将三首备选歌曲编号，让每位同学选取其中一首．下列调查数据中你认为最值得关注的是（ ）
A. 中位数B. 平均数C. 众数D. 加权平均数
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查中位数、平均数、众数及加权平均数，熟练掌握中位数、平均数、众数及加权平均数是解题的关键．
【详解】解：∵是为了准备歌声比赛，
∴应该选取人数最多的歌曲，即应该关注调查数据的众数，
故选：C．
5. 一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个相等的实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．
【详解】解；由题意得，，
∴原方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
6. 如图－在菱形中，对角线，相交于点．若，，则菱形的面积为（ ）
A. 48B. 40C. 24D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，先由菱形的性质得到，再由勾股定理得到，进而得到，最后根据菱形面积等于其对角线乘积的一半进行求解即可．
【详解】解：如图所示，设交于O，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积为，
故选；C．
7. 某校在读书系列活动中，为了解学生的课外阅读情况，随机选取了八年级某班甲、乙两组学生一周的课外阅读时间（单位：）进行统计，数据如图表，两组数据的平均数分别为、，方差分别为、，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平均数和方差，熟练掌握平均数和方差公式是解题关键．根据数据出现的次数，得到、，比较即可；再分别求出甲、乙两组的方差即可．
【详解】解： ，
，
，
，
∴，，
故选：B．
8. 已知关于的一次函数，下列说法不正确的是（ ）
A. 函数图象与轴交于点
B. 函数图象不经过第三象限或第四象限
C. 函数图象向下平移5个单位长度得到正比例函数的图象
D. 若点，为函数图象上的两个点，则当时，
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数图像的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据一次函数的解析式，结合一次函数的图像的性质进行逐一判断即可．
【详解】解：A、令，则，
∴函数图象与轴交于点，
故本选项不符合题意；
B、当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，即函数的图像不经过第四象限，
当时，一次函数的图像经过第一、二、四象限，即函数的图像不经过第三象限，
∴函数图象不经过第三象限或第四象限，
故本选项不符合题意；
C、根据平移的规律，函数图象向下平移5个单位长度得到正比例函数的图象，
故本选项不符合题意；
D、∵，
∴一次函数中y随x的增大而减小，
∴若，两点在该函数图像上，若，则，
∴，
若，则，
∴
综上，，
故本选项符合题意．
故选：D．
9. 下表是关于某个一次函数的自变量及其对应的函数值的信息，则的值为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，求一次函数值，先利用待定系数法求出该一次函数解析式为，再把代入得，据此可得答案．
【详解】解：设该一次函数解析式为，
∴，
∴，
∴该一次函数解析式为，
把代入得，
∴，
∴，
故选：A．
10. 在一节《综合与实践》课上，老师和同学们正在进行剪纸活动．老师用一张边长为2的正方形纸片按如下步骤确定线段的位置，最后剪下矩形：
①作的垂直平分线分别交，于点，；
②连接，作的角平分线，交于点；
③过点作于点；
小刘同学通过推理计算出的值为（ ），于是他明白了老师的用意．
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作于点，连接，设，则，由角平分线的性质可得，求出，证明得到，则，勾股定理得到，解得．
【详解】作于点，连接，
设，则，
根据角平分线的性质，可知，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，由勾股定理可得．
∴ ．
解得，
故选：B
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质、垂线的尺规作图等等，灵活运用所学知识是解题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
11. 若是关于的方程的一个解，则代数式的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了一元二次方程的解和代数式的值，根据
【详解】解：∵是关于的方程的一个解，
∴，
∴，
∴
故答案为：
12. 在对某样本进行方差计算时，计算的公式是：，该样本的样本容量是________.
【答案】10
【解析】
【分析】根据方差的计算公式求出样本容量．
【详解】解：∵公式，
∴它的样本容量是10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了方差公式中各字母的意义，一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差．
13. 如图，在中，平分，交于点，平分，交于点，，，则长为_______．
【答案】11
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的定义，等角对等边；熟练掌握平行四边形的性质，得出，是解题的关键．根据平行四边形的对边平行且相等可得，；根据两直线平行，内错角相等可得；根据角的平分线可得；推得，根据等角对等边可得，，即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
则，
∴，
同理可证：，
∵，
∴，
∴．
故答案为：11．
14. 在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，则关于x，y的方程组的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组之间的关系，先求出点A的坐标，再根据两直线的交点的横纵坐标即为两直线联立所得的方程组的解进行求解即可．
【详解】解：在中，当时，，
∴，
∵在同一平面直角坐标系中，直线与相交于点，
∴关于x，y的方程组的解为，
故答案为：．
15. 在中，，点在内，且，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的面积为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，中位线定理，矩形的判定，垂直平分线的性质及判定等知识点，灵活运用中位线的定理去判定矩形是解题的关键．
连接并延长交于点，根据垂直平分线的判定得到，，根据勾股定理求出，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得到的长，即可求出的长，利用中位线定理去判定出四边形为矩形，再利用面积公式运算求解即可．
【详解】连接并延长交于点，如图所示：
∵，，
∴是线段的垂直平分线，
∴，，
∵在中，，，
∴，
∴在中，，
∴，
∵和分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴同理可证：，，，，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
故答案为：．
16. 如图，直线与轴、轴分别交于点、，且．为线段上一点，轴于点，的平分线交轴于点．线段上有一动点，在轴上有一动点，连接、、，则周长的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】先求出直线解析式为，再求出点，再求出，作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，与x轴交于点Q，与X相交于点P，连接，设与交于点H，则，点的坐标为，证明，证明点在直线上，得到，此时的周长有最小值，即为的长，再求出即可．
【详解】解：∵在直线上，
∴
∴，
∴
∵轴于点，
∴且轴，
∴，
∵的平分线交轴于点．
∴，
作点D关于x轴的对称点，关于的对称点，连接，与x轴交于点Q，与相交于点P，连接，设与交于点H，则，
∴点的坐标为，
∵点D关于x轴的对称点，关于的对称点，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上，
∴，
此时的周长有最小值，即为的长，
∵，
∴是等边三角形，
∴的横坐标为，
当的纵坐标为，
∴，
∴，
∴周长的最小值为，
故答案为：
【点睛】此题考查了轴对称的性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质、一次函数的图象和性质等知识，数形结合和准确添加辅助线是解题的关键．
三、解答题（共86分）
17. 解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程：
（1）先把常数项移到方程右边，然后利用直接开平方的方法解方程即可；
（2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，进而解方程即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
18. 如图，四边形是平行四边形，点，分别为线段，的中点．若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，由四边形是平行四边形得到，由中点的定义得到，即可证明四边形是平行四边形，根据平行四边形对角相等即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点，分别为线段，的中点．
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴
19. 一次函数的图象经过点．
（1）在平面直角坐标系内画出该函数的图象，并求出的值；
（2）根据函数图像，直接写出当时，的取值范围．
【答案】（1）图象见解析；
（2）
【解析】
【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
（1）求出一次函数图象与坐标轴的交点，作直线即可得到图象，把代入一次函数解析式，即可得到a的值；
（2）根据函数图象在x轴下方的图象对应的自变量范围即可得到答案．
【小问1详解】
解：当时，；
当时，，解得，
∴一次函数图象经过点，
过点作直线，即为一次函数的图象，如图，
∵一次函数的图象经过点．
∴，
解得：；
【小问2详解】
根据函数图象可知，当时，的取值范围是．
20. 已知关于的一元二次方程．
（1）求证：不论取何值，该方程都有两个实数根．
（2）若方程的一个根为3，求的值和方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析
（2），方程的另一个根为1
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系：
（1）利用判别式求解即可；
（2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，解方程组即可得到答案．
【小问1详解】
证明：由题意得，
，
∴不论取何值，该方程都有两个实数根．
小问2详解】
解：设方程的另一个根为m，
由根与系数的关系可得，
解得，
∴，方程的另一个根为1．
21. 如图，平行四边形的对角线，相交于点，．
（1）求证：四边形是矩形
（2）过点作，交点．若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】此题考查了矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
（1）利用平行线的性质得到，又由得到，则，即可得到结论；
（2）由四边形是矩形得到，由勾股定理得到，则，证明，则，则，即可得到,则．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴
又∵
∴
∴
∴四边形是矩形
【小问2详解】
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴,
∴．
22. 福建某企业生产甲、乙两款武夷山大红袍，为了解两款茶叶的质量，分别请消费者和专业机构进行测评．随机抽取25名消费者对两款大红袍评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
A．甲款大红袍分数（百分制）的频数分布表如下表：
其中甲款大红袍分数在这一组的是：86，86，86，86，86，88，88，89，89，89
B．甲、乙两款大红袍分数的平均数、众数、中位数如表所示：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全甲款大红袍分数的频数分布直方图；
（2）表格中的值为 ，的值为 ；
（3）专业机构对两款大红袍进行综合评分如下：甲款大红袍92分，乙款大红袍89分．若将这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩，那么哪款大红袍的最终成绩更高？请通过计算说明理由．
【答案】（1）见解析 （2），；
（3）甲款大红袍的最终成绩更高，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查频数分布直方图，频数分布表，中位数，众数，同时还要掌握加权平均数的计算方法，解题的关键是有较强的识图能力和计算能力．
（1）求出甲款红茶分数在这一组的频数，即可补全频数分布直方图；
（2）分别根据众数和中位数定义即可求出答案；
（3）根据加权平均数公式分别求得两款红茶的得分，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵甲款红茶分数在的频数为，
分数在这一组的频数为，
补全频数分布直方图：
【小问2详解】
解：根据所给数据可得众数为，中位数为从小到大排列的第个数据为，
故答案为：，；
【小问3详解】
解：甲款大红袍的最终成绩更高，理由如下：
以这名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩为：
甲的成绩：（分），
乙的成绩：（分），
∵，
可以认定甲款红茶最终成绩更高．
23. 某蜂巢物流决定在新社区安装物流箱，现有型和型两种物流箱可供选择，若安装2个型物流箱和3个型物流箱共11.8万元，且型物流箱单价比型物流箱单价高0.6万元．
（1）求型物流箱和型物流箱的单价；
（2）该社区需安装物流箱共30个，设安装型物流箱个，安装全部物流箱总费用为元，求关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（3）为了更多地推广型物流箱，蜂巢物流决定将每个型物流箱降价元，型物流箱价格不变，在（2）的条件下，若总费用不低于万元，求的取值范围．
【答案】（1）型物流箱的单价为元，则型物流箱的单价为元；
（2），
（3）
【解析】
【分析】此题考查了一元一次方程、一次函数的实际应用，读懂题意，正确列出方程和解析式是解题的关键．
（1）设型物流箱的单价为x元，则型物流箱的单价为元，根据共11.8万元列出方程，解方程即可得到答案；
（2）根据题意列出函数解析式即可；
（3）求出函数关系式，再分两种情况讨论解答即可．
【小问1详解】
解：设型物流箱的单价为x元，则型物流箱的单价为元，
则，
解得，，
则，
答：型物流箱的单价为元，则型物流箱的单价为元；
【小问2详解】
由题意可得，，
其中，
【小问3详解】
当时，则，一次函数随着x增大而增大，
∵，
∴当时，，
解得，
∴此时，
当时，则，一次函数随着x增大而减小，
∵，
∴当时，，
解得，
∴此时m不存在，，
综上可知，的取值范围是
24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点．
（1）求直线的解析式和线段、的长度；
（2）在线段上有一动点（点不与点、重合），过点作轴于点，直线于点，以、为邻边作．
①求的周长；
②当为菱形时，求点的坐标．
【答案】（1），，；
（2）①6；②
【解析】
【分析】（1）利用点A坐标求出直线的解析式为，再求出点B和点C的坐标，进一步用勾股定理求解即可；
（2）①连接，利用得到，由得到，即可得到的周长；②求出点P的坐标为，则，连接相交于点Q，证明C、P、F三点共线，求出直线的解析式为，设点F的坐标为，根据平移规律可知，点E的坐标为，即，把点E的坐标代入得到，，解得，即可求出点F的坐标．
【小问1详解】
∵直线与轴交于点，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
在中，当时，，
当时，，解得，
∴点B的坐标是，点C的坐标是，
∴，；
【小问2详解】
①连接，
，
∵轴于点，直线于点，
∴，
∵，
∴，
∴的周长；
②∵为菱形，
∴，
∵轴于点，直线于点，
∴点P在的角平分线上，
∵，
∴P为的中点，，
∴点P的坐标为，
∵轴，
∴，
连接相交于点Q，
则点Q是的中点，且，
∵平分，，
∴，
∴，
∴平分，
∵为菱形， 平分
∴C、P、F三点共线，
设直线的解析式为，
∴
解得
∴直线的解析式为，
设点F的坐标为，
∵，，
∴根据平移规律可知，点E的坐标为，即，
把点E的坐标代入得到，，
解得，
∴点F的坐标为
【点睛】此题考查了一次函数的图象和性质、菱形的性质、平行四边形的性质、平移的性质、勾股定理等知识，数形结合是解题的关键．
25. 如图1，四边形是平行四边形，点是对角线上一点，点是外一点，连接、和，且，，．
（1）【初步探究】求证：四边形是菱形；
（2）【拓展延伸】如图2，连接交于点，延长交于点，求证：；
（3）【实践应用】我校生态社在校内的蔬菜种植活动硕果累累，备受关注．如图3所示的一块正方形种植区被、、分割种植着不同植物，经测量得，．现学校决定延长交于点，以为边长，在该种植区的左边再开辟一块小正方形新区域种植更多蔬菜，求新区域的面积．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
（3）
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质得，结合，即可证明全等三角形；
（2）在上取一点T，连接，使，证明，即可得到结论；
（3）过点P作，先求出，再利用，，即可求解
【小问1详解】
证明：∵四边形平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
在上取一点T，连接，使，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
过点P作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
答：新区域的面积为
甲组
4
5
6
6
7
8
乙组
2
5
6
6
7
10
…
0
1
2
…
…
2
…
分数
频数
2
1
4
4
品种
平均数
众数
中位数
甲
86
乙
87
90
86