湖南省郴州市桂阳县鹿峰中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

这是一份湖南省郴州市桂阳县鹿峰中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题，共18页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分：120分 时间：120分钟）
一、选择题．（共10小题，每小题3分，共30分）
1. 在中，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查直角三角形性质，根据在直角三角形中，两锐角互余即可解题．
【详解】解：在中，，，
，
故选：C．
2. 如图，在中，，，，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的知识，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义．根据勾股定理算出，即可解题．
【详解】解：，，，
，
故选：A．
3. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D. 该试卷源自 每日更新，享更低价下载。【答案】C
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选C．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义．
4. 如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的性质进行求解即可得.
【详解】∵BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DF=DE=6，
故选：D.
【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
5. 一个十边形的内角和等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据多边形的内角和计算公式（n-2）×180°进行计算即可．
【详解】解：十边形的内角和等于：（10-2）×180°=1440°．
故选C．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，关键是掌握多边形的内角和的计算公式．
6. 如图，在中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质逐项分析判断即可求解．
【详解】∵四边形是平行四边形，对角线与相交于点，
A. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，不一定成立，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7. 在平面直角坐标系中，点A（2，-3）在第（ ）象限．
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）．
【详解】解：由题意得：点A（2，-3）位于第四象限，
故选D．
【点睛】本题主要考查了根据点的坐标判断点所在的象限，熟知每个象限点的坐标特征是解题的关键．
8. 如图，在中，D、E分别是边、中点，，则的长为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．根据三角形中位线定理计算即可解题．
【详解】解： D、E分别是边、的中点，
,
，
．
故选：A．
9. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB=30°，则∠AOB的大小为（ ）
A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】根据矩形的性质，即可求解．
【详解】解：∵矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴OB=OC，
∴∠OBC=∠ACB=30°，
∴∠AOB=∠OBC+∠ACB=30°+30°=60°．
故选B
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
10. 如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A. BA＝BCB. AC、BD互相平分C. AC＝BDD. AB∥CD
【答案】B
【解析】
【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形．已知对角线AC、BD互相垂直，
则需添加条件：AC、BD互相平分
故选：B
二、填空题．（共8小题，每小题3分，共24分）
11. 点A（1，-2）关于x轴对称的点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据平面直角坐标系中关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系可得答案．
【详解】根据轴对称的性质，得点关于x轴对称的点的坐标是．
【点睛】关于x轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数．
12. 如果一个多边形每一个外角都是，那么这个多边形的边数为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和是是解题关键．根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：，
这个多边形的边数为，
故答案为：．
13. 已知菱形的对角线分别为与，则菱形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查菱形的性质，因为菱形的对角线互相垂直，根据互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，即可解题．
【详解】解：菱形的对角线分别为与，
菱形的面积为：（），
故答案为：．
14. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需要加条件_____．
【答案】AB＝AC
【解析】
【分析】根据斜边和一条直角边对应相等两个直角三角形全等即可解答．
【详解】解：还需添加条件AB＝AC，
∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）．
故答案为：AB＝AC．
【点睛】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．
15. 如图，在正方形的内部作等边三角形，则的度数是_________．

【答案】
【解析】
【分析】根据正方形的性质求出，，根据等边三角形性质求出的度数和，根据三角形的内角和定理求出即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
，
．
故答案：．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，等边三角形的性质、正方形的性质的知识点的应用，关键是求出的度数和证出．
16. 如图，四边形中，，，则__________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形证明是平行四边形，据此得到，则由平行线的性质即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
17. 如图，在中，是斜边上的中线，若，则的度数为________．
【答案】##度
【解析】
【分析】本题考查了对三角形外角性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形性质等知识点的理解和运用，根据直角三角形斜边上中线定理得出，求出，再根据三角形的外角性质求解，即可解题．
【详解】解：在中，是斜边上的中线，
，
，
，
，
．
故答案为：．
18. 如图，在正方形中，，延长到点E，使，连接，动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点A运动．设点P的运动时间为t秒，当和全等时，t的值为___________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质，三角形全等的判定与性质，关键是要考虑到点P的两种情况，牢记三角形全等的性质是解本题的关键．根据由点P的运动情况可知，和全等分以下两种情况：①当点P在上运动时，②当点P在上运动时，利用三角形全等的性质建立关于等式求解，即可解题．
【详解】解：由点P的运动情况可知，和全等分以下两种情况：
①当点P在上运动时，
四边形为正方形，，
，，
，
要和全等，
即，
，
，解得；
②当点P在上运动时，
要和全等，
即，
，
，解得；
综上所述，t的值为或．
故答案为：或．
三、解答题（19～20题每题6分，21～22题每题8分，23～24题每题9分，25～26题10分，共66分）
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）画出关于y轴对称的；
（2）写出点，，的坐标．
【答案】（1）见解析 （2），，
【解析】
【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，坐标与图形，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点，，的位置，然后顺次连接即可；
（2）根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；
【小问1详解】
解：即为所求，
【小问2详解】
解：由图知，，，．
20. 列式计算：求图中x的值．
【答案】100
【解析】
【分析】本题考查了四边形的内角和定理，根据题意，列式计算即可．
【详解】根据题意，列式，
解得，
故图中x的值为100．
21. 如图，已知，，，垂足分别为E、F，．求证：．
【答案】详见解析
【解析】
【分析】先证明，然后根据证明即可.
【详解】证明：∵
∴
即
∵，
∴
在和中
∴（）
【点睛】本题主要考查了利用证明两个直角三角形全等.熟练掌握全等三角形的证明方法是解题的关键.
22. 如图，是一段笔直的公路，由于某些原因限制，公路上的段行人可直接到达，段行人无法直接到达，王莹想测量这段公路的总长度，于是她在公路一侧的地面上取点D，经测量得知，于点C，米，米，米，请你求出这段公路的总长度．
【答案】150米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，在中，利用勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：∵，米，米，
∴米，
又米，
∴米，
∴这段公路的总长度为150米．
23. 如图，已知在中，，，，P为边上一动点，于点M，于点N．
求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定，以及勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理得到为直角三角形，且，再根据于点M，于点N，得到，即可证明四边形是矩形．
【详解】证明：在中，，，，
又，即，
为直角三角形，且，
于点M，于点N，
，
四边形是矩形．
24. 如图，AC是▱ABCD的一条对角线，过AC中点O的直线分别交AD，BC于点E，F．
（1）求证：△AOE≌△COF；
（2）当EF与AC满足什么条件时，四边形AFCE是菱形？并说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，利用对顶角相等∠AOE=∠COF，O是AC的中点，OA=OC，所以由ASA即可得出结论；
（2）此题应用菱形的判定，先说明四边形AFCE已经是平行四边形，再应用对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可．由△AOE≌△COF，得出对应边相等AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，再由对角线EF⊥AC，即可得出四边形AFCE是菱形．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵O是CA的中点，
∴OA=OC，
又∵∠AOE=∠COF（对顶角相等），
∴△AOE≌△COF（ASA）；
（2）∵△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
当EF⊥AC时四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形），
∴EF⊥AC时，四边形AFCE是菱形．
【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．
25. 如图，四边形ABCD中，∠B=∠C，P是线段BC上一点，PA=PD，且∠APD=90°．
（1）如图1，若∠B=∠C=90°，求证：AB+CD=BC；
（2）如图1，若∠B=∠C=90°，问AB2、CD2、AD2之间有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并给予证明；
（3）如图2，若∠B=∠C=45°，且PB=PC，问AB2、CD2、AD2之间有怎样的数量关系，请直接写出你的猜想即可，不需要证明．
【答案】（1）见解析 （2）猜想：AB2+CD2=AD2．证明见解析
（3）结论：AB2+CD2=AD2．证明见解析
【解析】
【分析】（1）证明△ABP≌△PCD（AAS），推出AB=PC，PB=CD，可得结论；
（2）猜想：AB2+CD2=AD2．利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理，可得结论；
（3）结论：AB2+CD2=AD2．如图2中，过点A作AN⊥BC由点N，过点D作DM⊥BC由点M．利用（2）中结论以及等腰直角三角形的性质解决问题即可．
【小问1详解】
证明：如图1中，
∵∠B=∠C=∠APD=90°，
∴∠APB+∠PAB=90°，∠APB+∠DPC=90°，
∴∠BAP=∠DPC，
在△ABP和△PCD中，
，
∴△ABP≌△PCD（AAS），
∴AB=PC，PB=CD，
∴AB+CD=PC+PB=BC；
【小问2详解】
猜想：AB2+CD2=AD2．
理由：在Rt△APD中，∵PA=PD，∠APD=90°，
∴AD2=PA2+PD2，
∴PD2=AD2，
在Rt△DCP中，PD2=PC2+CD2，
∵AB=CP，
∴AB2+CD2=AD2；
【小问3详解】
结论：AB2+CD2=AD2．
理由：如图2中，过点A作AN⊥BC由点N，过点D作DM⊥BC由点M．
∵∠B=∠C=45°，∠ANB=∠DMC=90°，
∴△ABN，△DMC都是等腰直角三角形，
∴AB2=2AN2，CD2=2DM2，
由（2）可知，AN2+DM2=AD2，
∴2AN2+2DM2=AD2，
∴AB2+CD2=AD2．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是灵活应用所学知识解决问题．
26. 如图，在边长为的正方形中，点，分别为，边上的点，将正方形沿翻折，点的对应点为，点恰好落在边的点处．
（1）【问题解决】
如图①，连接，则与折痕的位置关系是______，与的数量关系是______；
（2）【问题探究】
如图②，连接，在翻折过程中，平分，试探究的面积是否为定值，若为定值，请求出的面积；若不是定值，请说明理由；
（3）【拓展延伸】若，求出的最小值．
【答案】（1），
（2）的面积为定值，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）过F作于M，由翻折的性质得出垂直平分，利用证明，即可得出结论；
（2）作于N，证明，得出，即可得出结论；
（3）作点C关于对称点Q，连接，，，利用证明，得出，则，当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长，然后在中利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：，
理由：过F作于M，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：的面积为定值，
理由：作于N，
∵平分，
∴，
又，，
∴，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：作点C关于的对称点Q，连接，，，
则垂直平分，
∴，
∵折叠，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴，
当B、G、Q三点共线时，的值最小，最小值为的长，
当时，，，
∴，
即的最小值为．
【点睛】本题考查了翻折的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，轴对称最短路径问题等，将转化为的长是解决第（3）的关键．