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2023-2024学年河南省洛阳第二外国语学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年河南省洛阳第二外国语学校七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在− 2，−1，0，π中最大的数是( )
A. − 2B. −1C. 0D. π
2.平方根等于它本身的数是( )
A. −1B. 0C. 1D. ±1
3.点P(2,−4)到x轴的距离是( )
A. 2B. −4C. −2D. 4
4.如图所示，在下列四组条件中，能判定AB//CD的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠ABD=∠BDC
C. ∠3=∠4
D. ∠BAD+∠ABC=180°
5.下列说法错误的是( )
A. 相反数等于本身的数是0B. 倒数等于本身的数是0及±1
C. 绝对值等于本身的数是非负数D. 平方根等于本身的数是0
6.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOE=113°，则∠BOC的度数为( )
A. 46°B. 56°C. 67°D. 77°
7.若a，b为实数，且|a+2|+ b−12=0，则(ab)2024的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. ±1
8.已知点P(m+2,m−1)在坐标轴上，则m的值为( )
A. 0B. 1C. −2D. 1或−2
9.如图，已知GF⊥AB，∠1=∠2，∠B=∠AGH，则下列结论：①GH//BC；②∠D=∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
10.在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(2,2)→(2,3)→(3,3)→(4,4)→……，按此规律，记(0,0)为第1个点，则第15个点的坐标为( )
A. (9,9)
B. (8,9)
C. (9,10)
D. (10,10)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.下列各数：3.14159，−38，0.131131113⋯(每相邻两个3之间依次多一个1)，−π，17， 8， 0.9中，无理数有______个.
12. 81的算术平方根是______．
13.若点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，且点A在第二象限，则点A的坐标为______．
14.已知点A(4,3)，AB//y轴，且AB=3，则B点的坐标为______．
15.如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF=75°，则∠GMN= ______°.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算： 25+|1− 2|+3−8−(−1)2024；
(2)解方程：(2x−1)2−49=0．
17.(本小题9分)
如图是某校的平面示意图，网格中小正方形的边长为1，且已知E楼、A楼的坐标分别为(−2,2)，(2,3).完成以下问题：
(1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系；
(2)写出图中校门、B楼、C楼、D楼的坐标；
(3)在图中用点M表示实验楼(0,−3)的位置．
18.(本小题9分)
通过对证明概念的学习，我们知道证明过程要做到步步有据，请同学们认真读题、观察图形，补全下面证明过程中的关键步骤和推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：∠A=∠F．
证明：∵∠1=∠2(已知)，
∠2=∠DGF(______)，
∴∠1=∠DGF(等量代换)，
∴BD//CE(______)，
∴∠3+∠ ______=180°(______)，
又∵∠3=∠4(已知)，
∴∠4+∠C=180°(______)，
∴ ______// ______(______)，
∴∠A=∠F(______).
19.(本小题8分)
已知：3a+1的立方根是−2，2b−1的算术平方根是3，c是 43的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求2a−b+92c的平方根．
20.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为(−3,−1)，点N的坐标为(3,−2)．
(1)将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B，点B的坐标为______；
(2)在(1)的条件下，若点C的坐标为(4,0)，连接AC，BC，求△ABC的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(本小题8分)
如图，AB//CD，AB//EF，AF平分∠BAE，∠DAE=10°，∠ADC=120°.求∠AFE的度数．
22.(本小题10分)
观察下列等式：2−23=2×23，13−14=13×14，32−35=32×35，…，我们称使等式x−y=xy成立的一对有理数x，y为“对等数对”，记为(x,y)，例如数对(2,23)，(13,14)，(32,35)都是“对等数对”.请解答下列问题：
(1)数对(6,54)是“对等数对”吗？并说明理由；
(2)若(a,b)是“对等数对”，且a−b=3，求(−2)ab的值；
(3)若(2,m2+2m)是“对等数对”，求10−3m2−6m的值．
23.(本小题11分)
如图1，AB//CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．
(1)求证：∠EPG=∠AEP+∠PGC；
(2)连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE=110°，∠PGC=12∠EFC，求∠AEP的度数；
(3)如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：− 2<−1<0<π，
∴最大的数是π．
故选：D．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，由此即可得到答案．
本题考查实数大小比较，算术平方根，关键是掌握实数的大小比较方法．
2.【答案】B
【解析】解：平方根等于它本身的数是0．
故选：B．
根据平方根的性质计算．
本题考查了平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
3.【答案】D
【解析】解：∵|−4|=4，
∴P点到x轴的距离是4，
故选：D．
求得P的纵坐标绝对值即可求得P点到x轴的距离．
此题主要考查点的坐标；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．
4.【答案】B
【解析】解：A、∵∠1=∠2，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)，故此选项错误；
B、∵∠ABD=∠BDC，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，故此选项正确；
C、∵∠3=∠4，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)，故此选项错误；
D、∵∠BAD+∠ABC=180°，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)，故此选项错误．
故选：B．
根据内错角相等两直线平行分别得出即可．
此题主要考查了平行线的判定，根据内错角相等两直线平行得出是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵0的相反数是它本身，
∴选项A正确，不符合题意；
∵±1的倒数是它本身，0没有倒数，
∴选项B错误，符合题意；
∵0和正数的绝对值是它本身，即非负数的绝对值是它本身，
∴选项C正确，不符合题意；
∵0的平方根仍是0，
∴选项D正确，不符合题意，
故选：B．
根据0的相反数是它本身可对选项A进行判断；根据±1的倒数是它本身，0没有倒数可对选项B进行判断；根据0和正数的绝对值是它本身可对选项C进行判断；根据0的平方根仍是0可对选项D进行判断．
此题主要考查了相反数，倒数、绝对值，平方根，熟练掌握相反数，倒数、绝对值，平方根的性质是解决问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠AOE=113°，
∴∠BOE=180°−∠AOE=180°−113°=67°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠BOE=134°，
∴∠BOC=180°−∠BOD=180°−134°=46°，
故选：A．
先求出∠BOE的度数，根据角平分线的定义即可得出∠BOD的度数，从而求出∠BOC的度数．
本题考查了邻补角，角平分线的定义，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题可知，|a+2|+ b−12=0，
则a+2=0，b−12=0，
即a=−2.b=12，
所以(ab)2024=(−1)2024=1．
故选：B．
根据绝对值与算术平方根的和为零，可得绝对值与算术平方根同时为零，可得a、b的值，即可得到答案
本题考查了非负数的性质，利用绝对值与算术平方根的和为零得出绝对值与算术平方根同时为零是解题关键，注意负数的奇数次幂是负数．
8.【答案】D
【解析】解：当P(m+2,m−1)在x轴上时，
m−1=0，
∴m=1．
当P(m+2,m−1)在y轴上时，
m+2=0．
∴m=−2．
故选：D．
分两种情况进行讨论，当点在x轴上时，m−1=0；当点在y轴上时，m+2=0，求出m的值即可．
本题考查了坐标轴上点的坐标特点，x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标是0，是突破本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠B=∠AGH，
∴GH//BC，故①正确；
∴∠1=∠HGF，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠HGF，
∴DE//GF，
∴∠D=∠DMF，
根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故②错误；
∵DE//GF，
∴∠F=∠AHE，
∵∠D=∠1=∠2，
∴∠2不一定等于∠AHE，故③错误；
∵GF⊥AB，GF//HE，
∴HE⊥AB，故④正确；
即正确的个数是2，
故选：C．
根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然．
10.【答案】A
【解析】解：由题知，
第1个点的坐标为(0,0)；
第2个点的坐标为(0,1)；
第3个点的坐标为(1,1)；
第4个点的坐标为(2,2)；
第5个点的坐标为(2,3)；
第6个点的坐标为(3,3)；
第7个点的坐标为(4,4)；
第8个点的坐标为(4,5)；
第9个点的坐标为(5,5)；
第10个点的坐标为(6,6)；
…，
由此可见，点的横坐标依次为0，0，1，2，2，3，4，4，5，…；点纵坐标依次为0，1，1，2，3，3，4，5，5，…，
所以第3n个点的横坐标可表示为：2n−1，纵坐标可表示为：2n−1．
当3n=15，即n=5时，
2n−1=2×5−1=9，
所以点15个点的坐标为(9,9)．
故选：A．
根据所给点的运动方式，发现点的坐标变化规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据所给运动方式发现第3n个点的坐标为(2n−1,2n−1)是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：−38=−2，
在3.14159，−38，0.131131113⋯(每相邻两个3之间依次多一个1)，−π，17， 8， 0.9中，无理数有0.131131113⋯(每相邻两个3之间依次多一个1)，−π， 8， 0.9，共4个，
故答案为：4．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，π3等；②开方开不尽的数，如 2，35等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…(两个1之间依次增加1个0)，0.2121121112…(两个2之间依次增加1个1)等．
12.【答案】3
【解析】解：∵ 81=9，
∴ 81的算术平方根是3．
故答案为：3．
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a，由此即可得到答案．
本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
13.【答案】(−4,3)
【解析】解：∵点A在第二象限，且A点到x轴的距离为3，
∴点A的纵坐标为3，
∵点A到y轴的距离为4，
∴点A的横坐标是−4，
∴点A的坐标为(−4,3)．
故答案为：(−4,3)．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可．
本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度．
14.【答案】(4,0)或(4,6)
【解析】【分析】
本题涉及到的知识点为：平行于y轴的直线上的点的横坐标相等；一条直线上到一个定点为定长的点有2个．
由AB//y轴和点A的坐标可得点B的横坐标与点A的横坐标相同，根据AB的距离可得点B的纵坐标可能的情况
【解答】
解：∵A(4,3)，AB//y轴，
∴点B的横坐标为4，
∵AB=3，
∴点B的纵坐标为3+3=6或3−3=0，
∴B点的坐标为(4,0)或(4,6)．
故答案为(4,0)或(4,6)．
15.【答案】60
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠CFE=180°−∠DEF=105°，∠EFB=75°，
∵纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，
∴∠EFH=∠CFE=105°，
∴∠BFH=∠EFH−∠EFB=30°，
∴∠FMH=90°−∠BFH=60°，
∴∠GMN=180°−2∠FMH=60°，
故答案为：60．
由AD//BC，得∠CFE=180°−∠DEF=105°，∠EFB=75°，而纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，知∠EFH=∠CFE=105°，故∠BFH=∠EFH−∠EFB=30°，从而∠FMH=90°−∠BFH=60°，即得∠GMN=180°−2∠FMH=60°．
本题考查平行线的性质，涉及矩形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质．
16.【答案】解：(1)原式=5+ 2−1−2−1，
=1+ 2；
(2)(2x−1)2−49=0，
(2x−1)2=49，
2x−1=±7，
2x−1=7或2x−1=−7，
∴x=4或x=−3．
【解析】(1)利用算术平方根，立方根的性质化简，化简绝对值，再利用实数的加减运算法则计算得出答案；
(2)方程变形后，利用平方根求解即可；
本题考查了实数的运算和利用平方根的定义解方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)根据题意在图上建立平面直角坐标系，如图所示：
(2)校门坐标为(1,0)，B楼坐标为(1,−2)，C楼(−5,−3)，D楼坐标为(−3,0)；
(3)如下图所示：
【解析】(1)根据已知点E和点A的坐标，找出坐标原点，建立平面直角坐标系即可；
(2)根据(1)中建立的坐标系，写出各点的坐标即可；
(3)在(1)建立的坐标系中，标出点M(0,−3)即可．
本题主要考查了利用坐标确定位置，解题关键是根据已知点的坐标，找出坐标原点，建立平面直角坐标系．
18.【答案】对顶角相等 同位角相等，两直线平行 C 两直线平行，同旁内角互补 等量代换 AC DF 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】解：∵∠1=∠2(已知)，
∠2=∠DGF (对顶角相等)，
∴∠1=∠DGF( 等量代换 )，
∴BD//CE (同位角相等，两直线平行)，
∴∠3+∠C=180° (两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠3=∠4(已知)，
∴∠4+∠C=180°，
∴AC//DF(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠A=∠F (两直线平行，内错角相等)；
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
先证明BD//CE，得出同旁内角互补∠3+∠C=180°，再由已知得出∠4+∠C=180°，证出 AC//DF，即可得出结论．
本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意两者的区别．
19.【答案】解：(1)∵3a+1的立方根是−2，
∴3a+1=−8，
解得，a=−3，
∵2b−1的算术平方根是3，
∴2b−1=9，
解得，b=5，
∵ 36< 43< 49，
∴6< 43<7，
∴ 43的整数部分为6，
即，c=6，
因此，a=−3，b=5，c=6，
(2)当a=−3，b=5，c=6时，
2a−b+92c=−6−5+92×6=16，
2a−b+92c的平方根为± 16=±4．
【解析】本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估算是正确解答的前提．
(1)根据立方根、算术平方根、无理数的估算即可求出a、b、c的值；
(2)求出代数式2a−b+92c的值，再求这个数的平方根．
20.【答案】(6,3)
【解析】解：(1)如图，线段AB即为所求，B(6,3)．
故答案为：(6,3)．
(2)△ABC的面积=4×6−12×4×4−12×2×3−12×1×6=10．
(3)设P(0,m)，则有12×|m−4|×6=3，
∴m=3或5，
∴P(0,3)或(0,5)．
(1)作出图形，根据点的位置写出坐标即可；
(2)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
(3)设P(0,m)，构建方程求解．
本题考查作图−平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
21.【答案】解：∵AB//CD，∠ADC=120°，
∴∠DAB=180°−∠ADC=60°，
∵∠DAE=10°，
∴∠EAB=∠DAB−∠DAE=50°，
∵AF平分∠BAE，
∴∠FAB=12∠EAB=25°，
∵AB//EF，
∴∠AFE=∠FAB=25°，
∴∠AFE的度数为25°．
【解析】先利用平行线的性质求出∠DAB=60°，再利用角的和差关系求出∠EAB=50°，从而利用角平分线的定义可得∠FAB=25°，然后再利用平行线的性质，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)数对(6,54)不是“对等数对”．
理由：因为6−54=194，6×54=152，而194≠152，
所以(6,54)不是“对等数对”．
(2)因为(a,b)是“对等数对”，所以a−b=ab．
又因为a−b=3，所以ab=3，
所以(−2)ab=(−2)3=−8，
所以(−2)ab的值为−8．
(3)因为(2,m2+2m)是“对等数对”，
所以2−(m2+2m)=2(m2+2m)，
化简，得3m2+6m=2，
所以10−3m2−6m=10−(3m2+6m)=10−2=8．
【解析】(1)根据“对等数对”的定义即可得到结论；
(2)根据“对等数对”的定义得ab=3，从而可得到结论；
(3)根据“对等数对”的定义列等式，得出3m2+6m=2，代入代数式即可得到结论．
本题考查了有理数的乘法，有理数的乘方，解一元一次方程，求代数式的值，能够看懂定义并会运用定义解决问题是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图1，过点P作PM//AB，
∵AB//CD，
∴PM//AB//CD
∴∠AEP=∠EPM，∠PGC=∠GPM
∴∠EPG=∠EPM+∠GPM=∠AEP+∠PGC；
(2)∵EG平分∠PEF，
∴∠PEG=∠FEG，
设∠AEP=α，∠PGC=β，则∠PGE=110°−α，∠EFG=2β，
∵AE//CG，∠AEP+∠PGE=110°，
∴∠PEG+∠PGC=180°−110°=70°，即∠PEG=70°−β，
∵∠CGE=180°−∠EGF，
∴∠FEG=180°−∠EGF−∠EFG=β+(110°−α)−2β=110°−α−β，
∴70°−β=110°−α−β，
解得α=40°，
∴∠AEP=40°；
(3)∠EPG+2∠EHG=180°．
【解析】【分析】
本题考查的是平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义的综合运用．
(1)过点P作PM//AB，利用平行线的性质及平行公理，即可得结论；
(2)设∠AEP=α，∠PGC=β，则∠PGE=110°−α，∠EFG=2β，进而得出∠PEG=70°−β，∠FEG=110°−α−β，依据∠PEG=∠FEG即可得到α=40°，即∠AEP=40°；
(3)根据角平分线的定义，可设∠BEF=∠PEF=α，∠CGO=∠PGO=β，得到∠AEP=180°−2α，过点H作HK//CD，则∠GHK=∠CGO=β，利用平行公理的推论得到AB//HK，推出∠EHG=∠EHK−∠GHK=α−β，再结合(1)的结论可得答案．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)∵EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，
∴可设∠BEF=∠PEF=α，∠CGO=∠PGO=β，
∴∠AEP=180°−2α，
过点H作HK//CD，则∠GHK=∠CGO=β，
∵AB//CD，
∴AB//HK，
∴∠KHE=∠BEF=α，
∴∠EHG=∠EHK−∠GHK=α−β，
由(1)得∠EPG=∠AEP+∠PGC，
∴∠EPG=180°−2α+2β=180°−2(α−β)=180°−2∠EHG，
∴∠EPG+2∠EHG=180°．
1.在− 2，−1，0，π中最大的数是( )
A. − 2B. −1C. 0D. π
2.平方根等于它本身的数是( )
A. −1B. 0C. 1D. ±1
3.点P(2,−4)到x轴的距离是( )
A. 2B. −4C. −2D. 4
4.如图所示，在下列四组条件中，能判定AB//CD的是( )
A. ∠1=∠2
B. ∠ABD=∠BDC
C. ∠3=∠4
D. ∠BAD+∠ABC=180°
5.下列说法错误的是( )
A. 相反数等于本身的数是0B. 倒数等于本身的数是0及±1
C. 绝对值等于本身的数是非负数D. 平方根等于本身的数是0
6.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠BOD，若∠AOE=113°，则∠BOC的度数为( )
A. 46°B. 56°C. 67°D. 77°
7.若a，b为实数，且|a+2|+ b−12=0，则(ab)2024的值为( )
A. 0B. 1C. −1D. ±1
8.已知点P(m+2,m−1)在坐标轴上，则m的值为( )
A. 0B. 1C. −2D. 1或−2
9.如图，已知GF⊥AB，∠1=∠2，∠B=∠AGH，则下列结论：①GH//BC；②∠D=∠F；③HE平分∠AHG；④HE⊥AB，其中正确的有( )
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
10.在平面直角坐标系中，一个动点按如图所示的方向移动，即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(2,2)→(2,3)→(3,3)→(4,4)→……，按此规律，记(0,0)为第1个点，则第15个点的坐标为( )
A. (9,9)
B. (8,9)
C. (9,10)
D. (10,10)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.下列各数：3.14159，−38，0.131131113⋯(每相邻两个3之间依次多一个1)，−π，17， 8， 0.9中，无理数有______个.
12. 81的算术平方根是______．
13.若点A到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，且点A在第二象限，则点A的坐标为______．
14.已知点A(4,3)，AB//y轴，且AB=3，则B点的坐标为______．
15.如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF=75°，则∠GMN= ______°.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算： 25+|1− 2|+3−8−(−1)2024；
(2)解方程：(2x−1)2−49=0．
17.(本小题9分)
如图是某校的平面示意图，网格中小正方形的边长为1，且已知E楼、A楼的坐标分别为(−2,2)，(2,3).完成以下问题：
(1)请根据题意在图上建立平面直角坐标系；
(2)写出图中校门、B楼、C楼、D楼的坐标；
(3)在图中用点M表示实验楼(0,−3)的位置．
18.(本小题9分)
通过对证明概念的学习，我们知道证明过程要做到步步有据，请同学们认真读题、观察图形，补全下面证明过程中的关键步骤和推理依据．
已知：如图，点E在直线DF上，点B在直线AC上，∠1=∠2，∠3=∠4．
求证：∠A=∠F．
证明：∵∠1=∠2(已知)，
∠2=∠DGF(______)，
∴∠1=∠DGF(等量代换)，
∴BD//CE(______)，
∴∠3+∠ ______=180°(______)，
又∵∠3=∠4(已知)，
∴∠4+∠C=180°(______)，
∴ ______// ______(______)，
∴∠A=∠F(______).
19.(本小题8分)
已知：3a+1的立方根是−2，2b−1的算术平方根是3，c是 43的整数部分．
(1)求a，b，c的值；
(2)求2a−b+92c的平方根．
20.(本小题10分)
在平面直角坐标系中，点A的坐标为(0,4)，线段MN的位置如图所示，其中点M的坐标为(−3,−1)，点N的坐标为(3,−2)．
(1)将线段MN平移得到线段AB，其中点M的对应点为A，点N的对应点为B，点B的坐标为______；
(2)在(1)的条件下，若点C的坐标为(4,0)，连接AC，BC，求△ABC的面积；
(3)在y轴上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为3，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21.(本小题8分)
如图，AB//CD，AB//EF，AF平分∠BAE，∠DAE=10°，∠ADC=120°.求∠AFE的度数．
22.(本小题10分)
观察下列等式：2−23=2×23，13−14=13×14，32−35=32×35，…，我们称使等式x−y=xy成立的一对有理数x，y为“对等数对”，记为(x,y)，例如数对(2,23)，(13,14)，(32,35)都是“对等数对”.请解答下列问题：
(1)数对(6,54)是“对等数对”吗？并说明理由；
(2)若(a,b)是“对等数对”，且a−b=3，求(−2)ab的值；
(3)若(2,m2+2m)是“对等数对”，求10−3m2−6m的值．
23.(本小题11分)
如图1，AB//CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG．
(1)求证：∠EPG=∠AEP+∠PGC；
(2)连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE=110°，∠PGC=12∠EFC，求∠AEP的度数；
(3)如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为______．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：− 2<−1<0<π，
∴最大的数是π．
故选：D．
正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，由此即可得到答案．
本题考查实数大小比较，算术平方根，关键是掌握实数的大小比较方法．
2.【答案】B
【解析】解：平方根等于它本身的数是0．
故选：B．
根据平方根的性质计算．
本题考查了平方根：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根．
3.【答案】D
【解析】解：∵|−4|=4，
∴P点到x轴的距离是4，
故选：D．
求得P的纵坐标绝对值即可求得P点到x轴的距离．
此题主要考查点的坐标；用到的知识点为：点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值．
4.【答案】B
【解析】解：A、∵∠1=∠2，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)，故此选项错误；
B、∵∠ABD=∠BDC，
∴AB//CD(内错角相等，两直线平行)，故此选项正确；
C、∵∠3=∠4，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)，故此选项错误；
D、∵∠BAD+∠ABC=180°，
∴AD//BC(内错角相等，两直线平行)，故此选项错误．
故选：B．
根据内错角相等两直线平行分别得出即可．
此题主要考查了平行线的判定，根据内错角相等两直线平行得出是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：∵0的相反数是它本身，
∴选项A正确，不符合题意；
∵±1的倒数是它本身，0没有倒数，
∴选项B错误，符合题意；
∵0和正数的绝对值是它本身，即非负数的绝对值是它本身，
∴选项C正确，不符合题意；
∵0的平方根仍是0，
∴选项D正确，不符合题意，
故选：B．
根据0的相反数是它本身可对选项A进行判断；根据±1的倒数是它本身，0没有倒数可对选项B进行判断；根据0和正数的绝对值是它本身可对选项C进行判断；根据0的平方根仍是0可对选项D进行判断．
此题主要考查了相反数，倒数、绝对值，平方根，熟练掌握相反数，倒数、绝对值，平方根的性质是解决问题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵∠AOE=113°，
∴∠BOE=180°−∠AOE=180°−113°=67°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠BOD=2∠BOE=134°，
∴∠BOC=180°−∠BOD=180°−134°=46°，
故选：A．
先求出∠BOE的度数，根据角平分线的定义即可得出∠BOD的度数，从而求出∠BOC的度数．
本题考查了邻补角，角平分线的定义，根据图形得出角之间的数量关系是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：由题可知，|a+2|+ b−12=0，
则a+2=0，b−12=0，
即a=−2.b=12，
所以(ab)2024=(−1)2024=1．
故选：B．
根据绝对值与算术平方根的和为零，可得绝对值与算术平方根同时为零，可得a、b的值，即可得到答案
本题考查了非负数的性质，利用绝对值与算术平方根的和为零得出绝对值与算术平方根同时为零是解题关键，注意负数的奇数次幂是负数．
8.【答案】D
【解析】解：当P(m+2,m−1)在x轴上时，
m−1=0，
∴m=1．
当P(m+2,m−1)在y轴上时，
m+2=0．
∴m=−2．
故选：D．
分两种情况进行讨论，当点在x轴上时，m−1=0；当点在y轴上时，m+2=0，求出m的值即可．
本题考查了坐标轴上点的坐标特点，x轴上点的纵坐标是0，y轴上点的横坐标是0，是突破本题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：∵∠B=∠AGH，
∴GH//BC，故①正确；
∴∠1=∠HGF，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠HGF，
∴DE//GF，
∴∠D=∠DMF，
根据已知条件不能推出∠F也等于∠DMF，故②错误；
∵DE//GF，
∴∠F=∠AHE，
∵∠D=∠1=∠2，
∴∠2不一定等于∠AHE，故③错误；
∵GF⊥AB，GF//HE，
∴HE⊥AB，故④正确；
即正确的个数是2，
故选：C．
根据平行线的性质和判定逐个判断即可．
本题考查了平行线的性质和判定，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键，注意：平行线的判定定理有：①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行，反之亦然．
10.【答案】A
【解析】解：由题知，
第1个点的坐标为(0,0)；
第2个点的坐标为(0,1)；
第3个点的坐标为(1,1)；
第4个点的坐标为(2,2)；
第5个点的坐标为(2,3)；
第6个点的坐标为(3,3)；
第7个点的坐标为(4,4)；
第8个点的坐标为(4,5)；
第9个点的坐标为(5,5)；
第10个点的坐标为(6,6)；
…，
由此可见，点的横坐标依次为0，0，1，2，2，3，4，4，5，…；点纵坐标依次为0，1，1，2，3，3，4，5，5，…，
所以第3n个点的横坐标可表示为：2n−1，纵坐标可表示为：2n−1．
当3n=15，即n=5时，
2n−1=2×5−1=9，
所以点15个点的坐标为(9,9)．
故选：A．
根据所给点的运动方式，发现点的坐标变化规律即可解决问题．
本题考查点的坐标变化规律，能根据所给运动方式发现第3n个点的坐标为(2n−1,2n−1)是解题的关键．
11.【答案】4
【解析】解：−38=−2，
在3.14159，−38，0.131131113⋯(每相邻两个3之间依次多一个1)，−π，17， 8， 0.9中，无理数有0.131131113⋯(每相邻两个3之间依次多一个1)，−π， 8， 0.9，共4个，
故答案为：4．
根据无理数的定义解答即可．
本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①π类，如2π，π3等；②开方开不尽的数，如 2，35等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如0.1010010001…(两个1之间依次增加1个0)，0.2121121112…(两个2之间依次增加1个1)等．
12.【答案】3
【解析】解：∵ 81=9，
∴ 81的算术平方根是3．
故答案为：3．
如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为 a，由此即可得到答案．
本题考查算术平方根，关键是掌握算术平方根的定义．
13.【答案】(−4,3)
【解析】解：∵点A在第二象限，且A点到x轴的距离为3，
∴点A的纵坐标为3，
∵点A到y轴的距离为4，
∴点A的横坐标是−4，
∴点A的坐标为(−4,3)．
故答案为：(−4,3)．
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答即可．
本题考查了点的坐标，解答本题的关键在于熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度．
14.【答案】(4,0)或(4,6)
【解析】【分析】
本题涉及到的知识点为：平行于y轴的直线上的点的横坐标相等；一条直线上到一个定点为定长的点有2个．
由AB//y轴和点A的坐标可得点B的横坐标与点A的横坐标相同，根据AB的距离可得点B的纵坐标可能的情况
【解答】
解：∵A(4,3)，AB//y轴，
∴点B的横坐标为4，
∵AB=3，
∴点B的纵坐标为3+3=6或3−3=0，
∴B点的坐标为(4,0)或(4,6)．
故答案为(4,0)或(4,6)．
15.【答案】60
【解析】解：∵AD//BC，
∴∠CFE=180°−∠DEF=105°，∠EFB=75°，
∵纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，
∴∠EFH=∠CFE=105°，
∴∠BFH=∠EFH−∠EFB=30°，
∴∠FMH=90°−∠BFH=60°，
∴∠GMN=180°−2∠FMH=60°，
故答案为：60．
由AD//BC，得∠CFE=180°−∠DEF=105°，∠EFB=75°，而纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，知∠EFH=∠CFE=105°，故∠BFH=∠EFH−∠EFB=30°，从而∠FMH=90°−∠BFH=60°，即得∠GMN=180°−2∠FMH=60°．
本题考查平行线的性质，涉及矩形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质．
16.【答案】解：(1)原式=5+ 2−1−2−1，
=1+ 2；
(2)(2x−1)2−49=0，
(2x−1)2=49，
2x−1=±7，
2x−1=7或2x−1=−7，
∴x=4或x=−3．
【解析】(1)利用算术平方根，立方根的性质化简，化简绝对值，再利用实数的加减运算法则计算得出答案；
(2)方程变形后，利用平方根求解即可；
本题考查了实数的运算和利用平方根的定义解方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)根据题意在图上建立平面直角坐标系，如图所示：
(2)校门坐标为(1,0)，B楼坐标为(1,−2)，C楼(−5,−3)，D楼坐标为(−3,0)；
(3)如下图所示：
【解析】(1)根据已知点E和点A的坐标，找出坐标原点，建立平面直角坐标系即可；
(2)根据(1)中建立的坐标系，写出各点的坐标即可；
(3)在(1)建立的坐标系中，标出点M(0,−3)即可．
本题主要考查了利用坐标确定位置，解题关键是根据已知点的坐标，找出坐标原点，建立平面直角坐标系．
18.【答案】对顶角相等 同位角相等，两直线平行 C 两直线平行，同旁内角互补 等量代换 AC DF 同旁内角互补，两直线平行 两直线平行，内错角相等
【解析】解：∵∠1=∠2(已知)，
∠2=∠DGF (对顶角相等)，
∴∠1=∠DGF( 等量代换 )，
∴BD//CE (同位角相等，两直线平行)，
∴∠3+∠C=180° (两直线平行，同旁内角互补)，
又∵∠3=∠4(已知)，
∴∠4+∠C=180°，
∴AC//DF(同旁内角互补，两直线平行)，
∴∠A=∠F (两直线平行，内错角相等)；
故答案为：对顶角相等；同位角相等，两直线平行；C；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；AC，DF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
先证明BD//CE，得出同旁内角互补∠3+∠C=180°，再由已知得出∠4+∠C=180°，证出 AC//DF，即可得出结论．
本题考查了平行线的判定与性质、对顶角相等的性质；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意两者的区别．
19.【答案】解：(1)∵3a+1的立方根是−2，
∴3a+1=−8，
解得，a=−3，
∵2b−1的算术平方根是3，
∴2b−1=9，
解得，b=5，
∵ 36< 43< 49，
∴6< 43<7，
∴ 43的整数部分为6，
即，c=6，
因此，a=−3，b=5，c=6，
(2)当a=−3，b=5，c=6时，
2a−b+92c=−6−5+92×6=16，
2a−b+92c的平方根为± 16=±4．
【解析】本题考查算术平方根、立方根、无理数的估算，掌握算术平方根、立方根和无理数的估算是正确解答的前提．
(1)根据立方根、算术平方根、无理数的估算即可求出a、b、c的值；
(2)求出代数式2a−b+92c的值，再求这个数的平方根．
20.【答案】(6,3)
【解析】解：(1)如图，线段AB即为所求，B(6,3)．
故答案为：(6,3)．
(2)△ABC的面积=4×6−12×4×4−12×2×3−12×1×6=10．
(3)设P(0,m)，则有12×|m−4|×6=3，
∴m=3或5，
∴P(0,3)或(0,5)．
(1)作出图形，根据点的位置写出坐标即可；
(2)把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
(3)设P(0,m)，构建方程求解．
本题考查作图−平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
21.【答案】解：∵AB//CD，∠ADC=120°，
∴∠DAB=180°−∠ADC=60°，
∵∠DAE=10°，
∴∠EAB=∠DAB−∠DAE=50°，
∵AF平分∠BAE，
∴∠FAB=12∠EAB=25°，
∵AB//EF，
∴∠AFE=∠FAB=25°，
∴∠AFE的度数为25°．
【解析】先利用平行线的性质求出∠DAB=60°，再利用角的和差关系求出∠EAB=50°，从而利用角平分线的定义可得∠FAB=25°，然后再利用平行线的性质，即可解答．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)数对(6,54)不是“对等数对”．
理由：因为6−54=194，6×54=152，而194≠152，
所以(6,54)不是“对等数对”．
(2)因为(a,b)是“对等数对”，所以a−b=ab．
又因为a−b=3，所以ab=3，
所以(−2)ab=(−2)3=−8，
所以(−2)ab的值为−8．
(3)因为(2,m2+2m)是“对等数对”，
所以2−(m2+2m)=2(m2+2m)，
化简，得3m2+6m=2，
所以10−3m2−6m=10−(3m2+6m)=10−2=8．
【解析】(1)根据“对等数对”的定义即可得到结论；
(2)根据“对等数对”的定义得ab=3，从而可得到结论；
(3)根据“对等数对”的定义列等式，得出3m2+6m=2，代入代数式即可得到结论．
本题考查了有理数的乘法，有理数的乘方，解一元一次方程，求代数式的值，能够看懂定义并会运用定义解决问题是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图1，过点P作PM//AB，
∵AB//CD，
∴PM//AB//CD
∴∠AEP=∠EPM，∠PGC=∠GPM
∴∠EPG=∠EPM+∠GPM=∠AEP+∠PGC；
(2)∵EG平分∠PEF，
∴∠PEG=∠FEG，
设∠AEP=α，∠PGC=β，则∠PGE=110°−α，∠EFG=2β，
∵AE//CG，∠AEP+∠PGE=110°，
∴∠PEG+∠PGC=180°−110°=70°，即∠PEG=70°−β，
∵∠CGE=180°−∠EGF，
∴∠FEG=180°−∠EGF−∠EFG=β+(110°−α)−2β=110°−α−β，
∴70°−β=110°−α−β，
解得α=40°，
∴∠AEP=40°；
(3)∠EPG+2∠EHG=180°．
【解析】【分析】
本题考查的是平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义的综合运用．
(1)过点P作PM//AB，利用平行线的性质及平行公理，即可得结论；
(2)设∠AEP=α，∠PGC=β，则∠PGE=110°−α，∠EFG=2β，进而得出∠PEG=70°−β，∠FEG=110°−α−β，依据∠PEG=∠FEG即可得到α=40°，即∠AEP=40°；
(3)根据角平分线的定义，可设∠BEF=∠PEF=α，∠CGO=∠PGO=β，得到∠AEP=180°−2α，过点H作HK//CD，则∠GHK=∠CGO=β，利用平行公理的推论得到AB//HK，推出∠EHG=∠EHK−∠GHK=α−β，再结合(1)的结论可得答案．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)∵EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，
∴可设∠BEF=∠PEF=α，∠CGO=∠PGO=β，
∴∠AEP=180°−2α，
过点H作HK//CD，则∠GHK=∠CGO=β，
∵AB//CD，
∴AB//HK，
∴∠KHE=∠BEF=α，
∴∠EHG=∠EHK−∠GHK=α−β，
由(1)得∠EPG=∠AEP+∠PGC，
∴∠EPG=180°−2α+2β=180°−2(α−β)=180°−2∠EHG，
∴∠EPG+2∠EHG=180°．
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