2023-2024学年河南省洛阳第二外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省洛阳第二外国语学校八年级（下）期中数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中，属于最简二次根式的是( )
A. 3B. 4C. 12D. 8
2.下列运算正确的是( )
A. (−5)2=−5B. 8+ 2= 10
C. 3 3+4 3=7 6D. 15÷ 3= 5
3.使得式子x 4−x有意义的x的取值范围是( )
A. x≥4B. x>4C. x≤4D. x<4
4.已知△ABC的∠A、∠B和∠C的对边分别是a，b和c，下面给出了五组条件：①∠A：∠B：∠C=1：2：3；②a：b：c=3：4：5；③2∠A=∠B+∠C；④a2−c2=b2；⑤a=1，b=2，c= 3.其中能独立判定△ABC是直角三角形的条件有个．( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
5.如图，在△ABD中，∠D=90°.C是BD上一点，已知CB=7，AB=15，AD=9，则DC的长是( )
A. 5
B. 9
C. 6
D. 15
6.如图，E是平行四边形ABCD边BC上一点，且AB=BE，连结AE，并延长AE与DC的延长线交于点F，∠F=70°，则∠D的度数是
( )
A. 30°B. 40°C. 50°D. 70°
7.如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，点E是AB上方一点，且AE=BE，连接DE，若CD=3，AE=7，则DE的长为( )
A. 2 5
B. 2 10
C. 4
D. 4 2
8.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=120°，连接BD，作AE/​/BD交CD的延长线于点E，过点E作EF⊥BC交BC的延长线于点F，若CF=2，则AB的长是( )
A. 4
B. 2
C. 2 3
D. 2 2
9.如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为(8,6)，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AO于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于12MN长为半径画弧两弧交于点Q，作射线AQ交y轴于点D，则点D的坐标为( )
A. (0,1)B. (0,83)C. (0,53)D. (0,2)
10.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S△AEF= 3.其中正确的个数是( )
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则AB边的长是______．
12.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个条件使▱ABCD成为矩形，这个条件可以是______．
13.如图，在△ABC中，AB=CB=13，BD⊥AC于点D，且BD=12，AE⊥BC于点E，连接DE，则DE的长为______．
14.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿着直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为______cm．
15.如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH.若AB=8，AD=6，EF=5，则GH的最小值是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：
(1) 27÷ 3− 23× 12+ 18；
(2)( 5+ 2)( 5− 2)−( 3+2)2．
17.(本小题8分)
已知x= 3+1，y= 3−1，求下列各式的值：
(1)x2+2xy+y2；
(2)x2−y2．
18.(本小题9分)
如图，方格中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，求：
(1)请判断三角形ABC是否是直角三角形，并说明理由；
(2)△ABC的面积；
(3)点A到BC边的距离．
19.(本小题9分)
如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
20.(本小题9分)
如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建在距A多远处？
21.(本小题10分)
如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，点E是AD边的中点．点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD、AN．
(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；
(2)填空：①当AM的值为________时，四边形AMDN是矩形；
②当AM的值为________时，四边形AMDN是菱形．
22.(本小题11分)
如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=8cm，动点P从点A开始以2cm/s的速度向点C运动，动点F从点B开始以1cm/s的速度向点A运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为t(s)．
(1)过点P作PD//AB交BC于点D，连接DF，求证：四边形AFDP是平行四边形．
(2)当t为何值时，△PAF是等边三角形？
(3)当t为何值时，△PAF是直角三角形？请直接写出答案．
23.(本小题11分)
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CE=BF，连接DE，过点E作EG⊥DE，且使EG=DE，连接FG，FC．
(1)请判断：FG与CE的数量关系是______，位置关系是______；
(2)如图②，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；
(3)如图③，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，若AB=3，CE=1，则AG= ______．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、 3属于最简二次根式，故本选项符合题意；
B、 4=2不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
C、 12= 22不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、 8=2 2不属于最简二次根式，故本选项不符合题意．
故选：A．
根据最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
本题考查最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A． (−5)2=5，所以A选项不符合题意；
B. 8+ 2=2 2+ 2=3 2，所以B选项不符合题意；
C.3 3+4 3=7 3，所以C选项不符合题意；
D. 15÷ 3= 153= 5，所以D选项符合题意．
故选：D．
根据二次根式的性质对A选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项和C选项进行判断；根据二次根式的除法法则对D选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
3.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件及分式有意义的条件分析得出答案．
【解答】
解：使得式子x 4−x有意义，则：4−x>0，解得：x<4，
即x的取值范围是：x<4．
故选D．
4.【答案】C
【解析】解：①∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠C=90°，是直角三角形；
②a：b：c=3：4：5，∴(3x)2+(4x)2=(5x)2，是直角三角形；
③∠A=∠B+∠C是直角三角形，而2∠A=∠B+∠C不是直角三角形，错误；
④a2−c2=b2；是直角三角形；
⑤a=1，b=2，c= 3．12+( 3)2=22，是直角三角形，
故选：C．
根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．
本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠D=90°，AB=15，AD=9，
∴BD= AB2−AD2=12，
∴DC=BD−CB=12−7=5；
故选：A．
利用勾股定理求出BD的长，用BD−CB求出DC的长即可．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
6.【答案】B
【解析】【分析】
利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠1=∠3，进而得出其度数，利用平行四边形对角相等得出即可．
此题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质等知识，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．
【解答】
解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/DC，∠B=∠D，
∴∠1=∠F=70°．
∵AB=BE，
∴∠1=∠3=70°，
∴∠B=40°，
∴∠D=40°．
故选B．
7.【答案】B
【解析】解：在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，
∴CD=AD=BD=12AB=3，
∵AE=BE=7，
∴ED⊥AD，
在Rt△ADE中，DE= AE2−AD2= 72−32=2 10，
故选：B．
先利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD=AD=BD=3，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得ED⊥AD，从而在Rt△ADE中，利用勾股定理进行计算即可解答．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及等腰三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∵AE/​/BD，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AB=DE，
∴CE=2AB，
∵∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ECF=60°，
∵EF⊥BC，
∴∠CEF=30°，
∴CE=2CF=4，
∴AB=2．
故选：B．
易证四边形ABDE是平行四边形，得出AB=DE，证出CE=2AB，求出∠CEF=30°，得出CE=2CF=4，即可得出AB的长．
本题考查了平行四边形的性质与判定、直角三角形的性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，证明△ADO≌△ADE是本题的关键．
过点D作DE⊥AC于点E，由勾股定理可求AC=10，由“AAS”可证△ADO≌△ADE，可证AE=AO=8，OD=DE，可得CE=2，由勾股定理可求OD的长，即可求点D坐标．
【解答】
解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，
∵四边形OABC为矩形，点B的坐标为(8,6)，
∴OA=8，OC=6
∴AC= OC2+AO2=10
由题意可得AD平分∠OAC
∴∠DAE=∠DAO，AD=AD，∠AOD=∠AED=90°
∴△ADO≌△ADE(AAS)
∴AE=AO=8，OD=DE
∴CE=2，
∵CD2=DE2+CE2，
∴(6−OD)2=4+OD2，
∴OD=83
∴点D(0,83)
故选：B．
10.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠C=∠D=90°，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE=AF，∠AEF=60°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
AB=ADAE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，
∴BE=DF，
∵BC=DC，
∴BC−BE=CD−DF，
∴CE=CF，
∴①说法正确；
∵CE=CF，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴∠CEF=45°，
∵∠AEF=60°，
∴∠AEB=75°，
∴②说法正确；
如图，连接AC，交EF于G点，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACB=∠ACD，
∵CE=CF，
∴AC⊥EF，且AC平分EF，
∵∠CAF≠∠DAF，
∴DF≠FG，
∴BE+DF≠EF，
∴③说法错误；
∵△AEF是等边三角形，EF=2，
∴AG= 3，
∴S△AEF=12×2× 3= 3，
④说法正确，
∴正确的有①②④．
故选：C．
根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．
本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．
11.【答案】10
【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴由勾股定理，得
AB= AC2+BC2= 62+82=10．
故答案是：10．
根据勾股定理得到AB= AC2+BC2．
本题考查了勾股定理的知识，属于基础题目，像这类直接考查定义的题目，解答的关键是熟练掌握勾股定理的定义及其在直角三角形中的表示形式．
12.【答案】AC=BD(答案不唯一)
【解析】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴当AC=BD时，四边形ABCD为矩形．
故答案为：AC=BD(答案不唯一)．
依据矩形的判定定理进行解答即可．
本题主要考查了矩形的判定与平行四边形的性质，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
13.【答案】5
【解析】解：∵AB=CB=13，BD⊥AC于点D且BD=12，
∴AD=CD= AB2−BD2= 132−122=5，
∵AE⊥BC，
∴DE=12AC=CD=5．
故答案为：5．
根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论．
本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
14.【答案】3
【解析】解：由勾股定理得，AB=10．
由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．
∴BE=AB−AE=10−6=4，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2+BE2=BD2
即CD2+42=(8−CD)2，
解得：CD=3cm．
由折叠的性质知CD=DE，AC=AE.根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理求DE．
本题利用了：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．
15.【答案】7.5
【解析】解：连接AC、AP、CP，如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=6，∠BAD=∠B=∠C=90°，
∴AC= AB2+BC2= 82+62=10，
∵P是线段EF的中点，
∴AP=12EF=2.5，
∵PG⊥BC，PH⊥CD，
∴∠PGC=∠PHC=90°，
∴四边形PGCH是矩形，
∴GH=CP，
当A、P、C三点共线时，CP最小=AC−AP=10−2.5=7.5，
∴GH的最小值是7.5，
故答案为：7.5．
连接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC=10，再由直角三角形斜边上的中线性质得AP=2.5，然后证四边形PGCH是矩形，得GH=CP，当A、P、C三点共线时，CP最小=AC−AP=10−2.5=7.5，即可求解．
本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出CP的最小值是解题的关键．
16.【答案】解：(1)原式= 9− 8+3 2
=3−2 2+3 2
=3+ 2；
(2)原式=5−2−(3+4 3+4)
=5−2−3−4 3−4
=−4 3−4．
【解析】(1)先计算二次根式的除法和乘法，再合并同类二次根式即可；
(2)先利用平方差和完全平方公式展开，再计算减法即可；
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：(1)当x= 3+1，y= 3−1时，
原式=(x+y)2=( 3+1+ 3−1)2=12；
(2)当x= 3+1，y= 3−1时，
原式=(x+y)(x−y)=( 3+1+ 3−1)( 3+1− 3+1)=4 3．
【解析】本题考查了二次根式的化简求值：一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
(1)利用完全平方公式得到x2+2xy+y2=(x+y)2，然后将x，y的值代入计算；
(2)利用平方差公式得到x2−y2=(x+y)(x−y)，然后将x，y的值代入计算．
18.【答案】解：(1)△ABC是直角三角形，理由如下：
由题意得，AB= 12+22= 5，AC= 42+22=2 5，BC= 32+42=5，
∴AB2+AC2=( 5)2+(2 5)2=5+20=25=BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°；
(2)由(1)可知S△ABC=12AB⋅AC=12× 5×2 5=5；
(3)设点A到BC边的距离为h，
∵S△ABC=12BC⋅h=12AC⋅AB，
∴h=AC⋅ABBC=2，
∴点A到BC边的距离为2．
【解析】(1)利用勾股定理求出AB= 5，AC=2 5，BC=5，则AB2+AC2=BC2，由勾股定理的逆定理即可得到△ABC是直角三角形，且∠BAC=90°；
(2)直接根据三角形面积计算公式求解即可；
(3)利用等面积法求解即可．
本题主要考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
19.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，AB=CD，
∵E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，
∴EF//AB，EF=12AB，GH/​/CD，GH=12CD，
∴EF/​/GH，EF=GH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
【解析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理、平行四边形的判定定理是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到AB/​/CD，AB=CD，根据三角形中位线定理得到EF/​/AB，EF=12AB，GH/​/CD，GH=12CD，根据平行四边形的判定定理证明．
20.【答案】解：设AE=xkm，则BE=(25−x)km，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2=102+x2，
在Rt△BCE中，CE2=BC2+BE2=152+(25−x)2，
由题意可知：DE=CE，
所以：102+x2=152+(25−x)2，
解得：x=15km．
所以，E应建在距A点15km处．
【解析】【分析】
本题考查勾股定理的实际运用，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
根据题意设AE=xkm，再由勾股定理列出方程求解即可．
21.【答案】解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴ND/​/AM，
∴∠NDE=∠MAE，
又∵点E是AD边的中点，
∴DE=AE，
在△NDE与△MAE中
∠NDE=∠MAE∠DNE=∠AMEDE=AE,
∴△NDE≌△MAE(AAS)，
∴ND=MA，
∴四边形AMDN是平行四边形；
(2)①1；
②2．
【解析】【分析】
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、矩形的判定、以及等边三角形的判定和性质，解题的关键是掌握特殊图形的判定及性质．
(1)利用菱形的性质和已知条件可证明四边形AMDN的对边平行且相等即可；
(2)①有(1)可知四边形AMDN是平行四边形，利用有一个角为直角的平行四边形为矩形即∠DMA=90°，所以AM=12AD=1时即可；
②当平行四边形AMND的邻边AM=DM时，四边形为菱形，利用已知条件再证明三角形AMD是等边三角形即可．
【解答】
解：(1)见答案；
(2)①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：
∵平行四边形AMDN是矩形，
∴∠AMD=90°，
∵∠DAM=60°，
∴∠ADM=30°，
又∵菱形ABCD，
∴AD=AB=2，
∴AM=12AD=1．
故答案为1；
②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：
∵平行四边形AMDN是菱形，
∴DM=AM，
又∵∠DAB=60°，
∴△AMD是等边三角形，
∴AM=AD=2．
故答案为2．
22.【答案】(1)证明：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=8cm，
∴AC=2AB=16cm，
由题意得，BF=tcm，AP=2tcm，
∴AF=(8−t)cm，PC=(16−2t)，
∵PD/​/AB，
∴∠PDC=∠ABC=90°，
∴PD=12PC=(8−t)cm，
∴PD//AF，PD=AF，
∴四边形AFDP是平行四边形；
(2)解：∵∠ABC=90°，∠C=30°，
∴∠A=60°
∴当AF=AP时，△PAF是等边三角形，
∴8−t=2t，
∴t=83，
∴当t=83时，△PAF是等边三角形；
(3)解：当∠APF=90°时，则∠AFP=30°，
∴AP=12AF，
∴2t=12(8−t)
∴t=85；
当∠AFP=90°时，则∠APF=30°，
∴AF=12AP，
∴8−t=2t×12
∴t=4；
∴当t=85或t=4时，△PAF是直角三角形．
【解析】(1)先求出AC，进而求出AF=(8−t)cm，PC=(16−2t)，再求出PD=12PC=(8−t)cm得到PD//AF，PD=AF，由此即可证明四边形AFDP是平行四边形；
(2)先求出∠A=60°，则当AF=AP时，△PAF是等边三角形，据此建立方程求解即；
(3)分当∠APF=90°时，当∠AFP=90°时，两种情况讨论求解即可．
本题主要考查了平行四边形的判定，等边三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，解答本题的关键是数形结合思想的使用．
23.【答案】FG=CE FG//CE 17
【解析】解：(1)∵正方形ABCD，
∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
又∵BF=CE，
∴△BCF≌△CDE(SAS)，
∴CF=DE，∠BCF=∠CDE，
又∵EG=DE，
∴CF=EG，
∵∠BCD=90°，EG⊥DE，
∴∠CDE+∠DEC=90°，∠BEG+∠DEC=90°，
′∴∠BEG=∠CDE，
∴∠BEG=∠BCF，
∴EG/​/CF，
又∵CF=EG，
∴四边形ECFG是平行四边形，
∴FG=CE，FG//CE，
故答案为：FG=CE，FG//CE；
(2)(1)中结论仍然成立．理由如下：
∵正方形ABCD，
∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
又∵BF=CE，
∴△BCF≌△CDE(SAS)，
∴CF=DE，∠BCF=∠CDE，
又∵EG=DE，
∴CF=EG，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCF=90°，
∴∠CDE+∠DCF=90°，
∴DE⊥CF，即∠CHE=90°，
∵EG⊥DE，
∴∠DEG=90°，
∴∠CHE=∠DEG=90°，
∴CF//EG，
∵CF=EG，
∴四边形ECFG是平行四边形，
∴FG=CE，FG//CE；
(3)∵正方形ABCD，
∴BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
又∵BF=CE，
∴△BCF≌△CDE(SAS)，
∴CF=DE，∠BFC=∠CED，
∵EG=DE，
∴CF=EG，
∵∠ABC=90°，
∴∠FBC=90°，
∴∠BCF+∠BFC=90°，
∵EG⊥DE，
∴∠DEG=90°，
∴∠CED+∠CEG=90°，
∴∠BCF=∠CEG，
∴CF//EG，
又∵CF=EG，
∴四边形ECFG是平行四边形，
∴FG=CE，FG//CE．
∴∠AFG=∠ABC=90°，
∵AB=3，CE=1，
∴BF=CE=1，FG=CE=1，
∴AF=AB+BF=4，
∴AG= AF2+FG2= 17；
故答案为： 17．
(1)首先证明△BCF≌△CDE，得到CF=DE，∠BCF=∠CDE，由EG=DE得到CF=EG，再根据余角性质可得到∠BEG=∠BCF，进而得到EG/​/CF，推导出四边形ECFG是平行四边形，即可求证；
(2)首先证明△BCF≌△CDE，得到CF=DE，∠BCF=∠CDE，由EG=DE得到CF=EG，由∠BCD=90°得到∠CDE+∠DCF=90°，即DE⊥CF，又由EG⊥DE，得到CF/​/EG，证明到四边形ECFG是平行四边形即可，即可求证；
(3)先证明FG=CE，FG//CE，得到∠AFG=90°，利用勾股定理进行求解即可．
本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，证明四边形ECFG是平行四边形是解题的关键．