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2024年广东省 江门市新会区中考一模数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份2024年广东省 江门市新会区中考一模数学试题（原卷版+解析版），文件包含2024年广东省江门市新会区中考一模数学试题原卷版docx、2024年广东省江门市新会区中考一模数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
（说明：本试题共五大题，满分120分，测试时间120分钟，请在答题卡作答，在试题卷作答无效！）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）：
1. 计算（－1）－2等于（ ）
A. 1B. 3C. －1D. －3
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的减法法则计算．
【详解】（－1）－2＝（－1）＋（－2）＝－3，
故选D．
【点睛】本题考查有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，进行计算即可．
2. 2023年新会区完成地区生产总值（GDP）1011.25亿元，成为江门市首个千亿GDP强区。1011.25亿元用科学记数法表示为（ ）.
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：1011.25亿，
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方，合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D．
4. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 三棱柱B. 圆锥C. 四棱柱D. 圆柱
【答案】A
【解析】
【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．
【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱，
故选：A．
【点睛】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．
5. 关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是( )
A. 0B. ﹣1C. ﹣2D. ﹣3
【答案】B
【解析】
【详解】∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，
解得a＞﹣1且a≠0，
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练运用判别式的公式是解题的关键．
6. 2024年体育中考男生引体向上15个就能得到100分。为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力训练，现葵城中学七（1）班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，10，6，9，6则这组数据的中位数是（ ）.
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中位数的定义，根据把统计数据分别为7，12，10，6，9，6进行排序（小到大）得出6，6，7，9，10，12，取中间两个数的平均数，即为中位数，据此即可作答．
【详解】解：依题意，
把统计数据分别为7，12，10，6，9，6进行排序（小到大）得出6，6，7，9，10，12，
∵数据有6个，为偶数个，
∴取中间两个数的平均数：，
∴中位数为，
故选：C．
7. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
8. 3月14日是国际数学节，为了迎接这样的活动，两位同学同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可．本题考查了列树状图求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
【详解】解：画树形图得：
由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，
∴
∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为
故选：C
9. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得，，进而问题可求解．
【详解】解：∵点在直线上，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．
10. 点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A、B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE等于（ ）
A. 75°B. 60°C. 30°D. 45°
【答案】D
【解析】
【分析】过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，又四边形ABCD为正方形，可得出∠A为直角，进而得到一对角相等，由旋转可得∠DPE为直角，根据平角的定义得到一对角互余，在直角三角形ADP中，根据两锐角互余得到一对角互余，根据等角的余角相等可得出一对角相等，再由PD=PE，利用AAS可得出三角形ADP与三角形PEF全等，根据确定三角形的对应边相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．
【详解】过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPF=90°，
∴∠ADP=∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP=EF，AD=PF，
又∵AD=AB，
∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，
∴AP=BF，
∴BF=EF，又∠F=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，
则∠CBE=45°．
故选D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）：
11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得：；
故答案：为．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
12. 分解因式：______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13. 方程的解为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解．
【详解】解：
，
∴，
经检验：是原方程的解．
故答案为：x=3．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
14. 如图，是的切线，是切点．若，则______________．
【答案】130°
【解析】
【分析】由题意易得，然后根据四边形内角和可求解．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∴由四边形内角和可得：，
∵，
∴；
故答案130°．
【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由题意易得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键．
16. 如图，直线与双曲线在第一象限内的交点，与轴、轴的交点分别为、，过作轴，为垂足，若与的面积相等，则的值是______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数与一次函数交点问题．由直线解析式求得点，点，根据得出，由与的面积相等，得出，继而得出，代入反比例数解析式即可求解．
【详解】解：∵，
∴当时，，
当时，，解得，
∴点，点，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵与的面积相等，
∴与的相似比为，即，
∴，，
∴点，
∵双曲线经过点，
∴，即，
解得(舍去)．
故答案为．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17 解方程组
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，先，得出，再代入，算出，即可作答．
【详解】解：，
，得，解得，
把代入，得出，解得，
∴方程组的解集为．
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式以及平方差公式运算，先分别根据完全平方公式以及平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答．
【详解】解：
．
19. 《孙子算经》中有过样一道题，原文如下： “今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？” 大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题.
【答案】城中有75户人家.
【解析】
【详解】【分析】设城中有x户人家，根据今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，可得方程x+x=100，解方程即可得.
【详解】设城中有x户人家，由题意得
x+x=100，
解得x=75，
答：城中有75户人家.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出等量关系列方程进行求解是关键.
20. 如图，在中，，，平分交于点D．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握等边对等角是解题的关键．
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，由角平分线定理可得，进而得到，即；最后根据等角对等边即可证明结论．
【详解】证明：，，
，
平分，
，
，
．
21. 小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求小聪成绩的方差．
（3）现求得小明成绩方差为（单位：平方分）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
【答案】（1）平均数，小聪：8分；小明：8分；（2）平方分；（3）见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）反映一组数据的平均水平，用平均数描述；利用平均数公式求解；
（2）利用方差公式求解；
（3）从平均数、方差 、平均数和方差综合三个方面进行分析来看．
【详解】解：（1）平均数：
（分）
（分）；
（2）（平方分）
（3）答案不唯一，如：
①从平均数看，，∴两人的平均水平一样．
②从方差来看，，∴小聪的成绩比较稳定，小明的成绩波动较大．
③从平均数和方差来看，，，∴两人的平均水平一样，但小聪的成绩更稳定．
【点睛】本题考查平均数和方差．平均数反映一组数据的平均水平．一组数据的方差越小，表明这组数据的波动越小，即这组数据越稳定．
22. 定义：如图，在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝＝ ．请解答下列问题：
已知：在△ABC中，∠C＝30°．
（1）若∠A＝45°，求thi A的值；
（2）若thi A＝，则∠A＝ °；
（3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系．
【答案】（1）thiA＝；
（2）60或120；
（3）thiA＝2sinA
【解析】
【分析】（1） 根据已知找到BC和AB的关系，依据定义计算出答案即可；
（2） 过点B向AC所在直线作垂线，根据thi A＝=，利用正弦首先表示出垂线段的长度，再根据正弦分两种情况：当∠A为锐角或钝角时，可得∠A=60°或120°．
（3） 根据题意，由thiA＝， sinA＝， sinC＝＝易得BC＝2BH，进而可得答案．
【详解】（1）如图，作BH⊥AC，垂足为H．
在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
在Rt△BHA中，sinA＝＝ ，即AB＝BH．
∴thiA＝＝．
（2）如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵thi A＝，
∴thi A＝＝=，
∴设AB=x，则BC=，
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD=，
在Rt△ABD中，sinA=，
∴∠A=60°；
如下图所示时，则∠BAC=120°，
故答案为：60或120．
（3）在Rt△ABC中，thiA＝．
在Rt△BHA中，sinA＝．
在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
∴thiA＝2sinA．
23. 如图，是的外接圆，AB长为4，，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点，求：
（1）边BC的长；．
（2）的半径．
【答案】（1）4；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理证明点C在AB垂直平分线上，即可解题；
（2）连结BO，先证明是等边三角形，再结合已知可证，继而根据余弦的定义解题．
【详解】证明：（1）∵E为中点，OE为半径
∴OE垂直平分AB
∴C在AB垂直平分线上
∴
（2）连结BO
∵
∴是等边三角形
∴
∵，又∵
∴
∴
又∵
∴．
【点睛】本题考查垂径定理、等边三角形的判定与性质、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24. 在中，，，点为直线上一动点点不与、重合，以为边在的右侧作正方形，连接．
（1）观察猜想：如图1，当点在线段上时，
①与的位置关系是：___________；
②、、之间的数量关系为：___________(将结论直接写在横线上)
（2）数学思考：如图，当点在线段的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
【答案】（1）①，②
（2）成立；不成立，见解析
【解析】
【分析】（1）①证明，得出，即可得证；②由①可得，则；
（2）证明，进而证明，则，由，，得出．
【小问1详解】
①正方形中，，
，
，
在与中，
，
，
，
，即；
故答案为：；
②，
，
，
；
故答案为：；
【小问2详解】
成立；不成立，．
正方形中，，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
．
，
，
．
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）；（3）存在4个这样的点F，分别是，，，．
【解析】
【分析】（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；
（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp-yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．
【详解】解：（1）令，解得或，
∴；
将C点的横坐标代入，得，
∴，
∴直线AC的函数解析式是
（2）设P点的横坐标为x
则P、E的坐标分别为：，
∵P点在E点的上方，
，
∴当时，PE的最大值
（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+，0），F4（4-，0），
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点G，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；
②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于GF∥AC，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；
④如图，同③可求出F的坐标为（4-，0）．
所以，符合条件的F点共有4个．
【点睛】本题是二次函数和一次函数以及平行四边形的判定的综合应用，重点考查了数形结合以及分类讨论的思想方法．
（说明：本试题共五大题，满分120分，测试时间120分钟，请在答题卡作答，在试题卷作答无效！）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）：
1. 计算（－1）－2等于（ ）
A. 1B. 3C. －1D. －3
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的减法法则计算．
【详解】（－1）－2＝（－1）＋（－2）＝－3，
故选D．
【点睛】本题考查有理数的减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，进行计算即可．
2. 2023年新会区完成地区生产总值（GDP）1011.25亿元，成为江门市首个千亿GDP强区。1011.25亿元用科学记数法表示为（ ）.
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．，运用科学记数法进行解答，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：1011.25亿，
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了同底数幂相乘、积的乘方，合并同类项，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、不是同类项，不能合并，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是错误的；
D、，故该选项是正确的；
故选：D．
4. 如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）
A. 三棱柱B. 圆锥C. 四棱柱D. 圆柱
【答案】A
【解析】
【分析】通过展开图的面数，展开图的各个面的形状进行判断即可．
【详解】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，因此该几何体是三棱柱，
故选：A．
【点睛】本题考查棱柱的展开与折叠，掌握棱柱展开图的特征是正确判断的关键．
5. 关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2＝0有两个不相等的实数根，则a的值可以是( )
A. 0B. ﹣1C. ﹣2D. ﹣3
【答案】B
【解析】
【详解】∵关于x的一元二次方程ax2+3x﹣2=0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且a≠0，即32﹣4a×（﹣2）＞0且a≠0，
解得a＞﹣1且a≠0，
故选B．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练运用判别式的公式是解题的关键．
6. 2024年体育中考男生引体向上15个就能得到100分。为了力争优秀成绩，七年级的学生就已经开始努力训练，现葵城中学七（1）班的6位同学在一节体育课上进行引体向上训练时，统计数据分别为7，12，10，6，9，6则这组数据的中位数是（ ）.
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了中位数的定义，根据把统计数据分别为7，12，10，6，9，6进行排序（小到大）得出6，6，7，9，10，12，取中间两个数的平均数，即为中位数，据此即可作答．
【详解】解：依题意，
把统计数据分别为7，12，10，6，9，6进行排序（小到大）得出6，6，7，9，10，12，
∵数据有6个，为偶数个，
∴取中间两个数的平均数：，
∴中位数为，
故选：C．
7. 下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
8. 3月14日是国际数学节，为了迎接这样的活动，两位同学同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】画树状图，共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，再由概率公式求解即可．本题考查了列树状图求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．
【详解】解：画树形图得：
由树形图可知共4种等可能的结果，一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的有2种结果，
∴
∴一枚硬币正面向上，一枚硬币反面向上的概率为
故选：C
9. 如图，点在直线上，．若，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意易得，，进而问题可求解．
【详解】解：∵点在直线上，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
故选A．
【点睛】本题主要考查垂直的定义及邻补角的定义，熟练掌握垂直的定义及邻补角的定义是解题的关键．
10. 点P是正方形ABCD边AB上一点(不与A、B重合),连接PD并将线段PD绕点P顺时针旋转90°,得线段PE,连接BE,则∠CBE等于（ ）
A. 75°B. 60°C. 30°D. 45°
【答案】D
【解析】
【分析】过E作AB的延长线AF的垂线，垂足为F，可得出∠F为直角，又四边形ABCD为正方形，可得出∠A为直角，进而得到一对角相等，由旋转可得∠DPE为直角，根据平角的定义得到一对角互余，在直角三角形ADP中，根据两锐角互余得到一对角互余，根据等角的余角相等可得出一对角相等，再由PD=PE，利用AAS可得出三角形ADP与三角形PEF全等，根据确定三角形的对应边相等可得出AD=PF，AP=EF，再由正方形的边长相等得到AD=AB，由AP+PB=PB+BF，得到AP=BF，等量代换可得出EF=BF，即三角形BEF为等腰直角三角形，可得出∠EBF为45°，再由∠CBF为直角，即可求出∠CBE的度数．
【详解】过点E作EF⊥AF，交AB的延长线于点F，则∠F=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°，
由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，
∴∠APD+∠EPF=90°，
∴∠ADP=∠EPF，
在△APD和△FEP中，
∵，
∴△APD≌△FEP（AAS），
∴AP=EF，AD=PF，
又∵AD=AB，
∴PF=AB，即AP+PB=PB+BF，
∴AP=BF，
∴BF=EF，又∠F=90°，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴∠EBF=45°，又∠CBF=90°，
则∠CBE=45°．
故选D．
【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，以及等腰直角三角形的判定与性质，其中作出相应的辅助线是解本题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）：
11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件可直接进行求解．
【详解】解：由题意得：
，
解得：；
故答案：为．
【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件．
12. 分解因式：______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．
【详解】解：；
故答案为．
【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13. 方程的解为______________．
【答案】
【解析】
【分析】根据分式方程的解法可直接进行求解．
【详解】解：
，
∴，
经检验：是原方程的解．
故答案为：x=3．
【点睛】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
14. 如图，是的切线，是切点．若，则______________．
【答案】130°
【解析】
【分析】由题意易得，然后根据四边形内角和可求解．
【详解】解：∵是的切线，
∴，
∴由四边形内角和可得：，
∵，
∴；
故答案130°．
【点睛】本题主要考查切线的性质及四边形内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
15. 如图，在矩形中，点分别在上，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是______________（写出一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】由题意易得四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理可进行求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
若要添加一个条件使其为菱形，则可添加或AE=CE或CE=CF或AF=CF，理由：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故答案为（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定，熟练掌握菱形的判定定理、矩形的性质及平行四边形的判定是解题的关键．
16. 如图，直线与双曲线在第一象限内的交点，与轴、轴的交点分别为、，过作轴，为垂足，若与的面积相等，则的值是______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质，反比例函数与一次函数交点问题．由直线解析式求得点，点，根据得出，由与的面积相等，得出，继而得出，代入反比例数解析式即可求解．
【详解】解：∵，
∴当时，，
当时，，解得，
∴点，点，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵与的面积相等，
∴与的相似比为，即，
∴，，
∴点，
∵双曲线经过点，
∴，即，
解得(舍去)．
故答案为．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17 解方程组
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，先，得出，再代入，算出，即可作答．
【详解】解：，
，得，解得，
把代入，得出，解得，
∴方程组的解集为．
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式以及平方差公式运算，先分别根据完全平方公式以及平方差公式进行展开，再合并同类项，即可作答．
【详解】解：
．
19. 《孙子算经》中有过样一道题，原文如下： “今有百鹿入城，家取一鹿不尽，又三家共一鹿适尽，问城中家几何？” 大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问城中有多少户人家？请解答上述问题.
【答案】城中有75户人家.
【解析】
【详解】【分析】设城中有x户人家，根据今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，可得方程x+x=100，解方程即可得.
【详解】设城中有x户人家，由题意得
x+x=100，
解得x=75，
答：城中有75户人家.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出等量关系列方程进行求解是关键.
20. 如图，在中，，，平分交于点D．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题主要考查等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握等边对等角是解题的关键．
根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可得，由角平分线定理可得，进而得到，即；最后根据等角对等边即可证明结论．
【详解】证明：，，
，
平分，
，
，
．
21. 小聪、小明准备代表班级参加学校“党史知识”竞赛，班主任对这两名同学测试了6次，获得如下测试成绩折线统计图．根据图中信息，解答下列问题：
（1）要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量．
（2）求小聪成绩的方差．
（3）现求得小明成绩方差为（单位：平方分）．根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由．
【答案】（1）平均数，小聪：8分；小明：8分；（2）平方分；（3）见解析（答案不唯一）
【解析】
【分析】（1）反映一组数据的平均水平，用平均数描述；利用平均数公式求解；
（2）利用方差公式求解；
（3）从平均数、方差 、平均数和方差综合三个方面进行分析来看．
【详解】解：（1）平均数：
（分）
（分）；
（2）（平方分）
（3）答案不唯一，如：
①从平均数看，，∴两人的平均水平一样．
②从方差来看，，∴小聪的成绩比较稳定，小明的成绩波动较大．
③从平均数和方差来看，，，∴两人的平均水平一样，但小聪的成绩更稳定．
【点睛】本题考查平均数和方差．平均数反映一组数据的平均水平．一组数据的方差越小，表明这组数据的波动越小，即这组数据越稳定．
22. 定义：如图，在△ABC中，∠C＝30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A＝＝ ．请解答下列问题：
已知：在△ABC中，∠C＝30°．
（1）若∠A＝45°，求thi A的值；
（2）若thi A＝，则∠A＝ °；
（3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系．
【答案】（1）thiA＝；
（2）60或120；
（3）thiA＝2sinA
【解析】
【分析】（1） 根据已知找到BC和AB的关系，依据定义计算出答案即可；
（2） 过点B向AC所在直线作垂线，根据thi A＝=，利用正弦首先表示出垂线段的长度，再根据正弦分两种情况：当∠A为锐角或钝角时，可得∠A=60°或120°．
（3） 根据题意，由thiA＝， sinA＝， sinC＝＝易得BC＝2BH，进而可得答案．
【详解】（1）如图，作BH⊥AC，垂足为H．
在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
在Rt△BHA中，sinA＝＝ ，即AB＝BH．
∴thiA＝＝．
（2）如图，过点B作BD⊥AC于D，
∵thi A＝，
∴thi A＝＝=，
∴设AB=x，则BC=，
∵∠C=30°，∠BDC=90°，
∴BD=，
在Rt△ABD中，sinA=，
∴∠A=60°；
如下图所示时，则∠BAC=120°，
故答案为：60或120．
（3）在Rt△ABC中，thiA＝．
在Rt△BHA中，sinA＝．
在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．
∴thiA＝2sinA．
23. 如图，是的外接圆，AB长为4，，连接CO并延长，交边AB于点D，交AB于点E，且E为弧AB的中点，求：
（1）边BC的长；．
（2）的半径．
【答案】（1）4；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据垂径定理证明点C在AB垂直平分线上，即可解题；
（2）连结BO，先证明是等边三角形，再结合已知可证，继而根据余弦的定义解题．
【详解】证明：（1）∵E为中点，OE为半径
∴OE垂直平分AB
∴C在AB垂直平分线上
∴
（2）连结BO
∵
∴是等边三角形
∴
∵，又∵
∴
∴
又∵
∴．
【点睛】本题考查垂径定理、等边三角形的判定与性质、余弦等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24. 在中，，，点为直线上一动点点不与、重合，以为边在的右侧作正方形，连接．
（1）观察猜想：如图1，当点在线段上时，
①与的位置关系是：___________；
②、、之间的数量关系为：___________(将结论直接写在横线上)
（2）数学思考：如图，当点在线段的延长线上时，上述①、②中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请你写出正确结论再给予证明．
【答案】（1）①，②
（2）成立；不成立，见解析
【解析】
【分析】（1）①证明，得出，即可得证；②由①可得，则；
（2）证明，进而证明，则，由，，得出．
【小问1详解】
①正方形中，，
，
，
在与中，
，
，
，
，即；
故答案为：；
②，
，
，
；
故答案为：；
【小问2详解】
成立；不成立，．
正方形中，，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
．
，
，
．
，，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
25. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1），，；（2）；（3）存在4个这样的点F，分别是，，，．
【解析】
【分析】（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；
（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yp-yE，列出方程后结合二次函数的性质即可得出答案；
（3）此题要分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．
【详解】解：（1）令，解得或，
∴；
将C点的横坐标代入，得，
∴，
∴直线AC的函数解析式是
（2）设P点的横坐标为x
则P、E的坐标分别为：，
∵P点在E点的上方，
，
∴当时，PE的最大值
（3）存在4个这样的点F，分别是F1（1，0），F2（-3，0），F3（4+，0），F4（4-，0），
①如图，连接C与抛物线和y轴的交点G，那么CG∥x轴，此时AF=CG=2，因此F点的坐标是（-3，0）；
②如图，AF=CG=2，A点的坐标为（-1，0），因此F点的坐标为（1，0）；
③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此G点的纵坐标为3，代入抛物线中即可得出G点的坐标为（1+，3），由于GF∥AC，因此可设直线GF的解析式为y=-x+h，将G点代入后可得出直线的解析式为y=-x+4+，因此直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+，0）；
④如图，同③可求出F的坐标为（4-，0）．
所以，符合条件的F点共有4个．
【点睛】本题是二次函数和一次函数以及平行四边形的判定的综合应用，重点考查了数形结合以及分类讨论的思想方法．
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