广东省阳江市江城区2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、姓名和准考证号填写在答题卡上．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”．
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列各式正确的为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根和立方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的立方根，据此求解即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
2. 下列实数、0、，中，无理数是（ ）
A. B. 0C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据无理数的定义求解即可．
【详解】解：、0、是有理数，
是无理数，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．
3. 点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先确定点的横纵坐标的正负号，再根据距坐标轴的距离确定点的坐标．
【详解】解：∵点M位于第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴点M的坐标为．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了点的坐标，解决本题的关键是掌握好四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
4. 下列命题中，属于假命题的是（ ）
A. 两点确定一条直线 B. 负数的偶次幂是正数
C. 锐角的补角是钝角 D. 若，则x的值为0
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了判断命题真假，两点确定一条直线，乘方计算，补角的定义，绝对值的意义，熟知相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、两点确定一条直线，原命题是真命题，不符合题意；
B、负数的偶次幂为正数，原命题是真命题，不符合题意；
C、锐角的补角是钝角，原命题是真命题，不符合题意；
D、若，则x的值为非正数，原命题为假命题，符合题意，
故选D．
5. 如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．
根据平行线的判定定理对各选项分别进行判断即可．
【详解】解：A中可判断，故此选项错误；
B中可判断，故此选项错误；
C中可判断，故此选项错误；
D中可判断AB∥CD，故此选项正确；
故选：D．
6. 如题图，现要从村庄修建一条连接公路的最短小路，过点作于点，沿修建公路，则这样做的理由是（ ）

A. 垂线段最短B. 两点之间，线段最短
C. 过一点可以作无数条直线D. 两点确定一条直线
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，掌握垂线段的性质是解题的关键．根据垂线段最短进行解答即可．
【详解】解： 从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
过点作于点，沿修建公路，这样做的理由是垂线段最短．
故选：A．
7. 下列说法，其中错误的有（ ）
①81的平方根是9 ②是2的算术平方根 ③－8的立方根为 ④
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了平方根、算术平方根、立方根，熟练掌握平方根、算术平方根、立方根的意义是解题的关键．根据平方根、算术平方根、立方根的意义分别进行判断即可．
【详解】解：① 81的平方根是，故原说法错误，符合题意；
② 是2的算术平方根，故原说法正确，不符合题意；
③ －8的立方根为，故原说法错误，符合题意；
④ ，故原说法错误，符合题意；
综上，说法错误有①③④，符合题意．
故选：C．
8. 已知直线m∥n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC＝30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1＝15°，则∠2度数为（ ）
A. 15°B. 30°C. 45°D. 55°
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：∵直线m∥n，
∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+15°＝45°，
故选：C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
9. 若，，且，则的值等于（ ）
A. 1或5B. 1或C. 或D. 或5
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的意义以及乘方的逆运算得出的值，代入求值即可，注意分类讨论．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，即，
当时，；
当时，；
综上，的值等于或，
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，乘方的逆运算等知识点，运用分类讨论的思想结合绝对值的意义解题是关键．
10. 已知点在轴上，点在轴上，则点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，轴上的点，其横坐标为零；轴上的点，其纵坐标为零，据此即可求解
【详解】解：由题意得：
∴，
∴点坐标为
故选：C
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．
11. 比较大小：3________（填写“<”或“>”）．
【答案】>
【解析】
【分析】先分别计算两个数的平方，然后进行比较即可解答．
【详解】解：，，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了实数大小比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．利用平方法比较实数的大小是解决此题的关键．
12. 49的平方根是_____．
【答案】±7
【解析】
【分析】根据平方根的定义求解即可.
详解】∵（±7）2=49，
∴49的平方根是±7．
故答案为：±7．
【点睛】如果个一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的平方根．正数a有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
13. 已知，则式子______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题主要考查代数式求值及求立方根与算术平方根，分别求出x，y的值，然后再代入求值即可
【详解】解：∵，
∴
∴
故答案为：9
14. 将点向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到点，则=____________．
【答案】
【解析】
【分析】先按照坐标平移的规律列式求得m、n，然后运用乘方计算即可解答；：横坐标左减右加，纵坐标上加下减列式计算求解．
【详解】解：点先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度后得到点，
∴ ，解得：，
∴．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了点的平移、求代数式的值，乘方运算等知识点，熟知点的坐标平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”是解题关键．
15. 如图，直线a，b被直线c所截，∠1=40°．要使a∥b，则∠2的度数应为________．

【答案】140°
【解析】
【分析】根据是的邻补角可求，再根据两直线平行，同位角相等可得．
【详解】解：，
，
．
故答案为：140°．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
16. 光线在不同介质中传播速度不同，从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，水面与水杯下沿平行，光线变成，点在射线上，，则______．

【答案】25
【解析】
【分析】根据平行线的性质知，结合图形求得的度数．
【详解】解：，
．
，
．
故答案为：25．
【点睛】本题考查了平行线的性质，属于基础题，熟练掌握平行线的性质是解决本类题的关键．
三、解答题：本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 计算：．
【答案】7
【解析】
【分析】先进行开方，去绝对值运算，再进行加减运算．
【详解】解：原式．
【点睛】本题考查实数的混合运算．熟练掌握实数的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键．
18. 已知，求的值．
【答案】或
【解析】
【分析】根据等式的性质和平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：由等式的性质可得，，
由平方根的定义可得，，
即或，
【点睛】本题考查平方根以及等式的性质，掌握平方根的定义以及等式的性质正确解答的前提．
19. 补全横线上的内容并在括号中填入适当的理由：如图，ABCD， ∠1=∠2，∠3=∠4；求证：ADBC
证明：∵ABCD（已知）
∴∠4=∠BAE（ ）
∵∠1=∠2（已知）
∴∠ 1+∠CAF=∠2+∠CAF（ ）
即 ∠BAE =∠_____
∵∠3=∠4 （已知）
∴∠3 =∠__________（ ）
∴ADBC（ ）
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据“两直线平行，同位角相等”得∠4=∠BAE，再根据∠1=∠2，得∠BAE=∠CAD，即可得出∠3=∠CAD，最后根据“内错角相等，两直线平行”得出答案．
详解】证明：∵AB∥CD（已知），
∴∠4=∠BAE（两直线平行，同位角相等）．
∵∠1=∠2（已知），
∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAE=∠DAC．
∵∠3=∠4（已知），
∴∠3=∠DAC（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），
故答案为：两直线平行，同位角相等；等式的性质；DAC；BAE，等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，灵活选择定理是解题的关键．
20. 已知的平方根是，的立方根是3，求的立方根．
【答案】5
【解析】
【分析】根据的平方根是，的立方根是3，求出的值，代入求值即可．
【详解】解：∵的平方根是，
∴，
∴，
∵的立方根是3，
∴
把x的值代入解得：，
∴，
∵125的立方根是5，
∴的立方根是5．
【点睛】本题考查了平方根以及立方根，根据题意得出的值是解本题的关键．
21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，若把向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，点，，的对应点分别为．
（1）写出的坐标：
______，______）（______，______）（______，______）；
（2）在图中画出平移后的；
（3）求的面积．
【答案】（1）1，0；3，1；4，
（2）见解析 （3）3.5
【解析】
【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积等知识：
（1）根据平移规律写出的坐标即可；
（2）根据的坐标在平面直接坐标系中描出三点，再连线即可；
（3）运用分割法求出的面积即可
【小问1详解】
解：根据题意得，平移规律为：右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，
所以，点的坐标为；点的坐标为，点的坐标为；
故答案为1，0；3，1；4，
【小问2详解】
解：如图，即所作；
【小问3详解】
解：
的面积为3.5．
22. 直线、相交于点O，平分．
（1）若，，求的度数；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是角平分线的定义、邻补角的概念和性质，掌握邻补角之和为以及角平分线的定义是解题的关键．
（1）根据角平分线的定义计算即可；
（2）设，根据角平分线定义用表示出和，根据题意列方程，解方程即可．
【小问1详解】
平分，
，
；
【小问2详解】
设，
平分，
，
平分，
，
由题意得，，
解得，，
．
23. 如图，已知，．
（1）证明：．
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
（1）先根据已知条件得出，可得到，由平行线的性质得，再由，可得，即可得出结论．
（2）依据平分，，即可得到的度数，再根据平行线的性质，即可得出的度数．
【小问1详解】
解：，，
，
，
，
又，
，
．
【小问2详解】
解：平分，
，
又，
，
，
，
又，
，
解得，
，
又，
．
24. 如图，在长方形中，O为平面直角坐标系的原点，点A坐标为，点C的坐标为，且a、b满足，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动
（1）求点B的坐标．
（2）当点P移动4秒时，请求出点P的坐标．
（3）当点P移动到距离x轴5个单位长度时，求点P移动的时间．
【答案】（1）
（2）
（3）4.5秒或7.5秒
【解析】
【分析】（1）利用非负数的性质可以求得的值，根据长方形的性质，可以求得点B的坐标；
（2）根据题意点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，可以得到当点P移动4秒时，点P的位置和点P的坐标；
（3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P移动的时间即可．
本题考查坐标与图形的性质，非负性的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
【小问1详解】
解：∵a、b满足
∴，
解得，
∴点B的坐标是；
【小问2详解】
解：∵点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的线路移动，
∴点P的路程：，
∵
∴当点P移动4秒时，在线段上，
即当点P移动4秒时，此时点P的坐标是
【小问3详解】
解：由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，
第一种情况，当点P在上时，
点P移动的时间是：（秒），
第二种情况，当点P在上时．
点P移动的时间是：（秒），
故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是4.5秒或7.5秒．
25. （1）【问题】
如图1，若，，．求度数；
（2）【问题迁移】
如图2，，点P在AB的上方，问，，之间有何数量关系？请说明理由；
（3）【联想拓展】
如图3所示，在（2）的条件下，已知，的平分线和的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．
【答案】（1）；（2），见解析；（3）
【解析】
【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，灵活运用平行线的性质是解题的关键．
（1）过点P作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
（2）过P点作，则，根据平行线的性质可得，即可得，结合可求解；
（3）过点G作的平行线．由平行线的性质可得，，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解．
【详解】解：（1）如图1，过点P作，
，，
CD∥PQ．
，
又，
，
；
（2），
理由：如图2，过P点作，则，
，
，
，
，
，
；
（3）如图3，过点G作的平行线．
，，
，
，∠HGF=∠CFG，
又的平分线和的平分线交于点G，
，，
由（2）得，，
．