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2023-2024学年福建省厦门市杏南中学高二上学期第三阶段测试（12月）数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年福建省厦门市杏南中学高二上学期第三阶段测试（12月）数学试题含答案，共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．二次函数的图像为抛物线，其准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将，化为抛物线的标准方程,分类讨论即可.
【详解】将，化为抛物线的标准方程，
当时，，得到，由抛物线的准线方程为；
当时，，得到，由抛物线的准线方程为；
综上：其准线方程为.
故选：C.
2．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据列方程，解方程得到即可.
【详解】因为，所以，则，解得，
所以.
故选：A.
3．若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A．3B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心，且两圆半径分别为，
所以.
故选：B
4．已知数列为等差数列，，，则（ ）
A．90B．70C．50D．40
【答案】C
【分析】根据等差数列的定义分析求解.
【详解】设等差数列的公差为，
则，
且，即，
所以.
故选：C.
5．如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，N是线段上的点，且，用，，表示向量的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由空间向量基本定理，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，
∵，，∴．
故选：A．
6．已知双曲线C：的渐近线方程为，且C过点，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法即可得解.
【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，
所以可设C的方程为，
把点的坐标代入得，
所以C的方程为，即.
故选：B.
7．已知， ，是 、的等差中项，正数 是、 的等比中项，那么、 、、 的从小到大的顺序关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】∵，A是a、b的等差中项，正数G是a、b的等比中项，
∴，
∴，
故选D．
8．如图所示，已知，是椭圆的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】延长，与的延长线交于点，连接，由角平分线、中位线性质得，，再根据椭圆定义得，即可得轨迹.
【详解】延长，与的延长线交于点，连接，
由是的外角的角平分线，且，
在中，且为线段的中点
又为线段的中点，由三角形的中位线：，
根据椭圆的定义得：，则，
点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆，点的轨迹方程：.
故选：A.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行于轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点的直线方程为
【答案】BD
【分析】AC选项，可举出反例；B选项，当时，满足要求；D选项，设点是经过两点的直线上任意一点，由得到答案.
【详解】A选项，当截距相等且为0时，不可以用方程表示，A错误；
B选项，方程中，当时，变为，
此时与轴平行，B正确；
C选项，当倾斜角时，此时无意义，不能用表示，C错误；
D选项，设点是经过两点的直线上任意一点，
则，其中，
所以，
故经过两点的直线方程为，D正确.
故选：BD
10．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．在数列1，，，2，，…中，第8个数可能是
B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项
C．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列
D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为
【答案】ABD
【分析】根据数列的概念对选项一一判断即可．
【详解】A中，所以第8个数可能是，正确；
B中，，正确；
C中，数列，0，4与数列4，0，不是同一个数列，因为顺序不一样，故错误；
D中，,
故通项公式为，正确．
故选：ABD
11．已知双曲线：和点，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上在第一象限内的点，点为的内心，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为25B．
C．D．若，，则
【答案】BC
【分析】首先根据双曲线方程求出焦点坐标，根据双曲线的定义判断A，设的内切圆的半径为，利用面积公式及双曲线的定义计算即可判断B，设在上的垂足为，根据切线长定理可得，即可得到的坐标，记渐近线的倾斜角为，则，记则，利用临界值求出，即可求出的取值范围，即可判断C，延长交于点，由角平分线定理得到，即可求出、，即可判断D；
【详解】解：因为双曲线：，所以，，，则、，双曲线的渐近线为，因为，所以，所以，当且仅当、、在同一直线且在之间时取等号，故A错误；
设的内切圆的半径为，则，故B正确；
设在上的垂足为，根据双曲线的定义及切线长定理可得，又，所以，所以，记渐近线的倾斜角为，则，记，则，当，即，解得，所以，则，所以，故C正确；
延长交于点，由解得，由角平分线定理可知，所以，又由角平分线定理知，过点作交、分别于点、点，则，所以，所以，因为，所以又，解得，所以，故D错误；
故选：BC
12．已知数列中，，，（，），则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由递推关系求出数列的前几项判断A，利用已知递推关系把改为，向靠拢可证明B，把已知递推关系变形为差的形式，然后对CD进行变形可化简和式，判断CD．
【详解】对于选项A，由，，（，）可得，，，，则，选项A错误；
对于选项B，，选项B正确；
对于选项C，由题可知，，选项C正确；
对于选项D，，选项D错误．
故选：BC．
三、填空题
13．若点P是双曲线上一点，，分别为C的左、右焦点，，则 .
【答案】5或13
【分析】根据双曲线的定义分析求解.
【详解】设双曲线的半焦距为，则，
因为，
解得或，
经检验均符合题意；
所以或13.
故答案为：5或13.
14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据投影向量的概念计算即可得解.
【详解】向量在向量上的投影向量为：
.
故答案为：
15．已知抛物线的焦点为，平行轴的直线与圆交于两点（点在点的上方）， 与交于点，则周长的取值范围是
【答案】
【分析】过点作垂直与抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义得，从而得出的周长为，考查直线与圆相切和过圆心，得出、、不共线时的范围，进而得出周长的取值范围．
【详解】如下图所示：
抛物线的焦点，准线为，过点作，垂足为点，
由抛物线的定义得，圆的圆心为点，半径长为，
则的周长，
当直线与圆相切时，则点、重合，此时，；
当直线过点时，则点、、三点共线，则．
由于、、不能共线，则，所以，，即，
因此，的周长的取值范围是，故答案为．
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
16．抛物线与椭圆有相同的焦点F，两条曲线在第一象限内的交点为A，直线的斜率为2，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】根据焦点坐标可得，由直线，解得，代入椭圆方程运算求解即可.
【详解】设椭圆的半焦距为，则，即，抛物线，
因为直线，
联立方程，解得或，即，
且在椭圆上，
则，则，即，
整理得，即，
解得或（舍去），所以或（舍去）.
故答案为：.
四、解答题
17．已知数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求及其最小值．
【答案】(1)
(2)，最小值为
【分析】（1）设的公差为，即可得到关于、的方程组，解得、，从而求出其通项公式；
（2）根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）设的公差为，则，
解得，
所以．
（2）由（1）可得，
所以当或时，取得最小值，最小值为．
18．已知圆过点和．
(1)求圆的方程；
(2)求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）假设圆的一般方程，代入即可得到圆的方程.
（2）先求出直线的方程，进而设出与垂直的直线的方程，求出圆心到直线的距离和线段的长相等求解即可得到直线的方程.
【详解】（1）设圆的一般方程为：，
分别代入点和.
，解得,
故圆的方程为：.
（2）因为、
所以直线的方程为：，
故设直线的方程为：.
由题意可知，圆心，
被圆截得弦长等于
则可知到直线与直线的距离相等.
故有，
解得或
所以直线的方程：或
19．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点为，连接、，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明：取的中点为，连接、，
因为、分别是、的中点，所以且，
又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：因为，底面，所以两两互相垂直，以为坐标原点，
以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
则，
设平面的一个法向量为，所以，
即，令，则，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20．平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据抛物线的定义，直接写出曲线C的方程；
（2）设，联立直线与抛物线，由得，应用韦达定理及中点公式得，结合求得，即可得结论.
【详解】（1）由题意，动点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故，
所以曲线C的方程为.
（2）设，联立，得，
且，则，故，所以，
所以，又，即，不满足，
所以不存在满足要求的直线l.
21．已知数列的前项和为，满足.
(1)求；
(2)将中满足的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式；
（2）计算出，，故取出的项为原数列的偶数项，是以4为首项，4为公比的等比数列，利用求和公式求出答案.
【详解】（1）因为数列满足①，
当时，，解得；
当时，，②
①-②得，即
因，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.故数列的通项公式为.
（2）根据题意可知，
故，.
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
22．已知椭圆：的焦距为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上的三点，且直线与轴不垂直，点为坐标原点，，则当的面积最大时，求的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用椭圆的性质，及待定系数法计算即可；
（2）设的坐标及直线，利用弦长公式及点到直线的距离计算三角形面积，根据基本不等式求出面积最值时的结论，再由平面向量的坐标表示及点在椭圆上化简消元计算即可.
【详解】（1）由题意得，，解之得，
故椭圆的方程为；
（2）
设，，，直线的方程为.
将代入，整理得，
，即，
则，，
故.
又原点到直线的距离为，
所以
，
当且仅当，即（*）时，等号成立.
由，得，
代入，整理得，
即（**）.
而
，
由（*）可知，代入（**）式得.
故的值为1.
【点睛】本题关键第一是由弦长公式及点到直线的距离得出面积表达式，根据基本不等式得出面积取最值时直线方程的参数关系；第二是利用平面向量的坐标表示利用坐标表示坐标，代入椭圆方程，结合韦达定理化简计算即可.
一、单选题
1．二次函数的图像为抛物线，其准线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】将，化为抛物线的标准方程,分类讨论即可.
【详解】将，化为抛物线的标准方程，
当时，，得到，由抛物线的准线方程为；
当时，，得到，由抛物线的准线方程为；
综上：其准线方程为.
故选：C.
2．设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】根据列方程，解方程得到即可.
【详解】因为，所以，则，解得，
所以.
故选：A.
3．若圆与圆仅有一条公切线，则实数a的值为（ ）
A．3B．C．D．1
【答案】B
【分析】利用两圆的位置关系计算即可.
【详解】由题意可知两圆相内切，易得两圆圆心，且两圆半径分别为，
所以.
故选：B
4．已知数列为等差数列，，，则（ ）
A．90B．70C．50D．40
【答案】C
【分析】根据等差数列的定义分析求解.
【详解】设等差数列的公差为，
则，
且，即，
所以.
故选：C.
5．如图所示，在平行六面体中，，，，M是的中点，N是线段上的点，且，用，，表示向量的结果是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，由空间向量基本定理，代入计算，即可得到结果.
【详解】由题意可得，，
∵，，∴．
故选：A．
6．已知双曲线C：的渐近线方程为，且C过点，则C的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用待定系数法即可得解.
【详解】因为双曲线C的渐近线方程为，
所以可设C的方程为，
把点的坐标代入得，
所以C的方程为，即.
故选：B.
7．已知， ，是 、的等差中项，正数 是、 的等比中项，那么、 、、 的从小到大的顺序关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】∵，A是a、b的等差中项，正数G是a、b的等比中项，
∴，
∴，
故选D．
8．如图所示，已知，是椭圆的左右焦点，P是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为Q，则点Q的轨迹方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】延长，与的延长线交于点，连接，由角平分线、中位线性质得，，再根据椭圆定义得，即可得轨迹.
【详解】延长，与的延长线交于点，连接，
由是的外角的角平分线，且，
在中，且为线段的中点
又为线段的中点，由三角形的中位线：，
根据椭圆的定义得：，则，
点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆，点的轨迹方程：.
故选：A.
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．截距相等的直线都可以用方程表示
B．方程能表示平行于轴的直线
C．经过点，倾斜角为的直线方程为
D．经过两点的直线方程为
【答案】BD
【分析】AC选项，可举出反例；B选项，当时，满足要求；D选项，设点是经过两点的直线上任意一点，由得到答案.
【详解】A选项，当截距相等且为0时，不可以用方程表示，A错误；
B选项，方程中，当时，变为，
此时与轴平行，B正确；
C选项，当倾斜角时，此时无意义，不能用表示，C错误；
D选项，设点是经过两点的直线上任意一点，
则，其中，
所以，
故经过两点的直线方程为，D正确.
故选：BD
10．下列有关数列的说法正确的是（ ）
A．在数列1，，，2，，…中，第8个数可能是
B．数列的通项公式为，则110是该数列的第10项
C．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列
D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为
【答案】ABD
【分析】根据数列的概念对选项一一判断即可．
【详解】A中，所以第8个数可能是，正确；
B中，，正确；
C中，数列，0，4与数列4，0，不是同一个数列，因为顺序不一样，故错误；
D中，,
故通项公式为，正确．
故选：ABD
11．已知双曲线：和点，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线上在第一象限内的点，点为的内心，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值为25B．
C．D．若，，则
【答案】BC
【分析】首先根据双曲线方程求出焦点坐标，根据双曲线的定义判断A，设的内切圆的半径为，利用面积公式及双曲线的定义计算即可判断B，设在上的垂足为，根据切线长定理可得，即可得到的坐标，记渐近线的倾斜角为，则，记则，利用临界值求出，即可求出的取值范围，即可判断C，延长交于点，由角平分线定理得到，即可求出、，即可判断D；
【详解】解：因为双曲线：，所以，，，则、，双曲线的渐近线为，因为，所以，所以，当且仅当、、在同一直线且在之间时取等号，故A错误；
设的内切圆的半径为，则，故B正确；
设在上的垂足为，根据双曲线的定义及切线长定理可得，又，所以，所以，记渐近线的倾斜角为，则，记，则，当，即，解得，所以，则，所以，故C正确；
延长交于点，由解得，由角平分线定理可知，所以，又由角平分线定理知，过点作交、分别于点、点，则，所以，所以，因为，所以又，解得，所以，故D错误；
故选：BC
12．已知数列中，，，（，），则下列说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】由递推关系求出数列的前几项判断A，利用已知递推关系把改为，向靠拢可证明B，把已知递推关系变形为差的形式，然后对CD进行变形可化简和式，判断CD．
【详解】对于选项A，由，，（，）可得，，，，则，选项A错误；
对于选项B，，选项B正确；
对于选项C，由题可知，，选项C正确；
对于选项D，，选项D错误．
故选：BC．
三、填空题
13．若点P是双曲线上一点，，分别为C的左、右焦点，，则 .
【答案】5或13
【分析】根据双曲线的定义分析求解.
【详解】设双曲线的半焦距为，则，
因为，
解得或，
经检验均符合题意；
所以或13.
故答案为：5或13.
14．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据投影向量的概念计算即可得解.
【详解】向量在向量上的投影向量为：
.
故答案为：
15．已知抛物线的焦点为，平行轴的直线与圆交于两点（点在点的上方）， 与交于点，则周长的取值范围是
【答案】
【分析】过点作垂直与抛物线的准线，垂足为点，由抛物线的定义得，从而得出的周长为，考查直线与圆相切和过圆心，得出、、不共线时的范围，进而得出周长的取值范围．
【详解】如下图所示：
抛物线的焦点，准线为，过点作，垂足为点，
由抛物线的定义得，圆的圆心为点，半径长为，
则的周长，
当直线与圆相切时，则点、重合，此时，；
当直线过点时，则点、、三点共线，则．
由于、、不能共线，则，所以，，即，
因此，的周长的取值范围是，故答案为．
【点睛】本题考查抛物线的定义，考查三角形周长的取值范围，在处理直线与抛物线的综合问题时，若问题中出现焦点，一般要将抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离利用定义转化，利用共线求最值，有时也要注意利用临界位置得出取值范围，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于难题．
16．抛物线与椭圆有相同的焦点F，两条曲线在第一象限内的交点为A，直线的斜率为2，则椭圆的离心率为 .
【答案】/
【分析】根据焦点坐标可得，由直线，解得，代入椭圆方程运算求解即可.
【详解】设椭圆的半焦距为，则，即，抛物线，
因为直线，
联立方程，解得或，即，
且在椭圆上，
则，则，即，
整理得，即，
解得或（舍去），所以或（舍去）.
故答案为：.
四、解答题
17．已知数列是等差数列，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若数列的前项和为，求及其最小值．
【答案】(1)
(2)，最小值为
【分析】（1）设的公差为，即可得到关于、的方程组，解得、，从而求出其通项公式；
（2）根据等差数列求和公式计算可得.
【详解】（1）设的公差为，则，
解得，
所以．
（2）由（1）可得，
所以当或时，取得最小值，最小值为．
18．已知圆过点和．
(1)求圆的方程；
(2)求与垂直且被圆截得弦长等于的直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）假设圆的一般方程，代入即可得到圆的方程.
（2）先求出直线的方程，进而设出与垂直的直线的方程，求出圆心到直线的距离和线段的长相等求解即可得到直线的方程.
【详解】（1）设圆的一般方程为：，
分别代入点和.
，解得,
故圆的方程为：.
（2）因为、
所以直线的方程为：，
故设直线的方程为：.
由题意可知，圆心，
被圆截得弦长等于
则可知到直线与直线的距离相等.
故有，
解得或
所以直线的方程：或
19．已知四棱锥的底面为直角梯形，，，底面，且，是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点为，连接、，即可证明四边形是平行四边形，从而得到，即可得证；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.
【详解】（1）证明：取的中点为，连接、，
因为、分别是、的中点，所以且，
又且，所以且，所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：因为，底面，所以两两互相垂直，以为坐标原点，
以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示，
则，
则，
设平面的一个法向量为，所以，
即，令，则，
设直线与平面所成角为，则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
20．平面上的动点到定点的距离等于点P到直线的距离，记动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)直线与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点为M.是否存在这样的直线l，使得，若存在，求实数m的值，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；
(2)不存在，理由见解析.
【分析】（1）根据抛物线的定义，直接写出曲线C的方程；
（2）设，联立直线与抛物线，由得，应用韦达定理及中点公式得，结合求得，即可得结论.
【详解】（1）由题意，动点P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故，
所以曲线C的方程为.
（2）设，联立，得，
且，则，故，所以，
所以，又，即，不满足，
所以不存在满足要求的直线l.
21．已知数列的前项和为，满足.
(1)求；
(2)将中满足的第项取出，并按原顺序组成一个新的数列，求的前20项和.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）利用得到是以为首项，为公比的等比数列，从而求出通项公式；
（2）计算出，，故取出的项为原数列的偶数项，是以4为首项，4为公比的等比数列，利用求和公式求出答案.
【详解】（1）因为数列满足①，
当时，，解得；
当时，，②
①-②得，即
因，所以，从而，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
所以.故数列的通项公式为.
（2）根据题意可知，
故，.
所以取出的项就是原数列的偶数项，
所以是以4为首项，4为公比的等比数列，
所以.
22．已知椭圆：的焦距为，且点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若是椭圆上的三点，且直线与轴不垂直，点为坐标原点，，则当的面积最大时，求的值.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）利用椭圆的性质，及待定系数法计算即可；
（2）设的坐标及直线，利用弦长公式及点到直线的距离计算三角形面积，根据基本不等式求出面积最值时的结论，再由平面向量的坐标表示及点在椭圆上化简消元计算即可.
【详解】（1）由题意得，，解之得，
故椭圆的方程为；
（2）
设，，，直线的方程为.
将代入，整理得，
，即，
则，，
故.
又原点到直线的距离为，
所以
，
当且仅当，即（*）时，等号成立.
由，得，
代入，整理得，
即（**）.
而
，
由（*）可知，代入（**）式得.
故的值为1.
【点睛】本题关键第一是由弦长公式及点到直线的距离得出面积表达式，根据基本不等式得出面积取最值时直线方程的参数关系；第二是利用平面向量的坐标表示利用坐标表示坐标，代入椭圆方程，结合韦达定理化简计算即可.
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