【二轮复习】高考数学 09 平面向量常考经典压轴小题全归类（重难点练习）（新高考专用）.zip

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\l "_Tc32325" 【题型1 平面向量共线定理及其应用】 PAGEREF _Tc32325 \h 3
\l "_Tc6192" 【题型2 平面向量基本定理及其应用】 PAGEREF _Tc6192 \h 5
\l "_Tc18136" 【题型3 平面向量的数量积】 PAGEREF _Tc18136 \h 8
\l "_Tc2645" 【题型4 平面向量的模的问题】 PAGEREF _Tc2645 \h 10
\l "_Tc17266" 【题型5 平面向量夹角与垂直问题】 PAGEREF _Tc17266 \h 12
\l "_Tc30606" 【题型6 极化恒等式】 PAGEREF _Tc30606 \h 14
\l "_Tc15957" 【题型7 向量与解三角形综合】 PAGEREF _Tc15957 \h 17
\l "_Tc31837" 【题型8 向量与几何最值、范围问题】 PAGEREF _Tc31837 \h 21
\l "_Tc6171" 【题型9 向量在几何中的其他应用】 PAGEREF _Tc6171 \h 24
平面向量是高考的必考内容之一.从近几年的高考情况来分析，平面向量的数量积、模、夹角是高考考查的重点、热点，试题主要以选择题、填空题的形式呈现，常常以平面图形为载体，考查数量积、模、夹角与垂直的条件等问题，也时也会与平面解析几何、三角函数、不等式等知识相结合，以工具的形式出现，试题难度中等.学生在高考复习中应注意加强对平面向量的数量积、模、夹角等知识的掌握，能灵活运用向量知识解决有关问题.
【知识点1 平面向量线性运算问题的解题策略】
1.平面向量线性运算问题的求解思路：
(1)解决平面向量线性运算问题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化；
(2)在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则及三角形中位线定理、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为用已知向量线性表示.
2.向量线性运算的含参问题的解题策略：
与向量的线性运算有关的参数问题，一般是构造三角形，利用向量运算的三角形法则进行加法或减法运算，然后通过建立方程组即可求得相关参数的值.
3.利用共线向量定理解题的策略：
(1)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A,B,C三点共线共线.
(3)若与不共线且，则.
(4)(λ,μ为实数)，若A,B,C三点共线，则λ+μ=1.
【知识点2 平面向量基本定理的解题策略】
1.应用平面向量基本定理求向量的实质
应用平面向量基本定理求向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.一般将向量“放入”相关的三角形中，利用三角形法则列出向量间的关系.
2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路：
用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.注意同一个向量在不同基底下的分解是不同的，但在每个基底下的分解都是唯一的.
【知识点3 平面向量坐标运算的方法技巧】
1.平面向量坐标运算的技巧
(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.
(2)解题过程中，常利用向量相等其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.
【知识点4 平面向量数量积问题的解题方法】
1.平面向量数量积的两种运算方法
(1)基底法：当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，适用于平面图形中的向量数量积的有关计算问题；
(2)坐标法：当平面图形易建系求出各点坐标时，可利用坐标法求解.
2.夹角与垂直问题
根据平面向量数量积的性质：若，为非零向量，则(夹角公式)，等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题.
3.向量的模的求解思路：
(1)坐标法：当向量有坐标或适合建坐标系时，可用模的计算公式；
(2)公式法：利用及，把向量的模的运算转化为数量积运算；
(3)几何法：利用向量的几何意义，即利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【知识点5 极化恒等式】
1.极化恒等式的证明过程与几何意义
(1)平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
.
证明：不妨设，则，，
①，
②，
①②两式相加得：
.
(2)极化恒等式：
上面两式相减，得：————极化恒等式
平行四边形模式：.
(3)几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的．
【知识点6 平面向量的应用的方法技巧】
1.平面向量的应用的解题方法；
平面向量的应用方向主要是平面几何问题，往往涉及角和距离，转化成平面向量的夹角、模的问题，主要解题方法有：
(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.
(2)基向量法：适当选取一组基底，写出向量之间的联系，利用向量共线构造关于设定未知量的方程来进行求解.
(3)利用向量运算进行转化，化归为三角函数的问题或三角恒等变换问题是常规的解题思路和方法，以向量为载体考查三角形问题时，要注意正弦定理、余弦定理等知识的应用.
2.平面向量中的最值（范围）问题的两类求解思路：
(1)“形化”，即利用平面向量的相关知识将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后结合平面图形的特征直接进行判断；
(2)“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．
【题型1 平面向量共线定理及其应用】
【例1】（2023·江苏·统考模拟预测）在△ABC中，AD=2DB，点P在CD上，且AP=mAC+13AB(m∈R)，则m=（ ）
A．15B．14C．13D．12
【解题思路】将AB=32AD代入AP=mAC+13AB(m∈R)，利用共线定理推论可得.
【解答过程】因为AD=2DB，所以AB=32AD，
所以AP=mAC+13AB=mAC+13×32AD=mAC+12AD，
又P，C，D三点共线，所以m+12=1，得m=12.
故选：D.
【变式1-1】（2023下·江苏连云港·高一校考阶段练习）设e1，e2是两个不共线的向量，已知AB=2e1-ke2，CB=e1+3e2，CD=2e1-e2，若三点A，B，D共线，则k的值为（ ）
A．－8B．8C．6D．－6
【解题思路】根据三点A，B，D共线，可得存在唯一实数λ使AB=λDB，进而可得出答案.
【解答过程】由已知得DB=CB-CD=e1+3e2-2e1-e2=-e1+4e2，
∵三点A，B，D共线，∴存在唯一实数λ使AB=λDB，
∴2e1-ke2=λ-e1+4e2=-λe1+4λe2，
∴2=-λ-k=4λ，解得λ=-2k=8.
故选：B.
【变式1-2】（2023·陕西安康·统考一模）已知O是△ABC内一点，2OA+3OB+mOC=0，若△AOB与△ABC的面积之比为47，则实数m的值为（ ）
A．-103B．103C．-203D．203
【解题思路】由2OA+3OB+mOC=0确定O点的位置，再利用△AOB与△ABC的面积之比列方程来求得m的值.
【解答过程】由2OA+3OB=-mOC得25OA+35OB=-m5OC，
设-m5OC=OD，则OD=25OA+35OB.
由于25+35=1，所以A，B，D三点共线，如图所示，
∵OC与OD反向共线，m>0，∴ODOC=m5，∴ODCD=m5m5+1=mm+5，
∴S△AOBS△ABC=ODCD=mm+5=47⇒m=203.
故选：D.
【变式1-3】（2023·全国·高一专题练习）在△OAB中，OA=3OC，OB=2OD，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段AC，BD于E，F两点.若OE=λOA，OF=μOB(λ,μ>0)，则λ+μ的最小值为（ ）
A．3+35B．2+237C．3+235D．3+225
【解题思路】利用平面向量共线定理的推论得到λ、μ的关系，进而利用均值定理即可求得λ+μ的最小值
【解答过程】由A、M、D三点共线，可得存在实数t，使OM=tOA+(1-t)OD=tOA+12(1-t)OB
又由B、M、C三点共线，可得存在实数m，使得
OM=mOB+(1-m)OC=mOB+13(1-m)OA
则t=13(1-m)m=12(1-t)，解之得t=15m=25，则OM=15OA+25OB
又OE=λOA，OF=μOB(λ,μ>0)，
则OM=15λOE+25μOF，由E、M、F三点共线，可得15λ+25μ=1
则λ+μ=λ+μ15λ+25μ=35+μ5λ+2λ5μ≥35+2μ5λ×2λ5μ=3+225
（当且仅当λ=2+15，μ=2+25时等号成立）
则λ+μ的最小值为3+225，
故选：D.
【题型2 平面向量基本定理及其应用】
【例2】（2023·广东汕头·统考三模）如图，点D、E分别AC、BC的中点，设AB=a，AC=b，F是DE的中点，则AF=（ ）
A．12a+12bB．-12a+12bC．14a+12bD．-14a+12b
【解题思路】根据向量的运算，利用基底向量a,b表示AF即可.
【解答过程】因为点D、E分别AC、BC的中点，F是DE的中点，
所以AF=AD+DF=12AC+12DE =12AC+14AB.
即AF=14a+12b.
故选：C.
【变式2-1】（2023·河北沧州·校考模拟预测）在△ABC中BE=12EC,BF=12BA+BC，点P为AE与BF的交点，AP=λAB+μAC，则λ-μ=（ ）
A．0B．14C．12D．34
【解题思路】利用平面向量基本定理得到AP=1-kAB+12kAC，AP=13mAC+23mAB，从而列出方程组，求出k,m，得到λ=12,μ=14，求出答案.
【解答过程】因为BF=12BA+BC，所以F为AC中点，
B,P,F三点共线，故可设BP=kBF，即AP-AB=kAF-AB，
整理得AP=kAF+1-kAB=1-kAB+12kAC，
因为BE=12EC，所以AE-AB=12AC-12AE，即AE=13AC+23AB，
A,P,E三点共线，
可得AP=mAE=m13AC+23AB=13mAC+23mAB，
所以2m3=1-km3=12k，解得k=12m=34，
可得AP=12AB+14AC，则λ=12,μ=14，λ-μ=14.
故选：B.
【变式2-2】（2023·湖南娄底·娄底市第三中学校联考三模）2000多年前，古希腊雅典学派的第三大算学家欧道克萨斯首先提出黄金分割.所谓黄金分割点，指的是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比，黄金分割比为5-12.如图，在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O，BF⊥AC,DH⊥AC,AE⊥BD,CG⊥BD，且点E为线段BO的黄金分割点，则BF=（ ）

A．3-52BA+5+510BGB．3-52BA+5-510BG
C．5-12BA+5-510BGD．3-52BA+55BG
【解题思路】由题意得BE=5-12BO，结合矩形的特征可用BG表示出BO，再利用向量加减法法则及数乘向量运算法则即可作答.
【解答过程】由题意得BE=5-12BO，显然BE=DG，BO=OD=12BD，
同理有AF=5-12AO，DG=5-12DO，
所以BG=2-5-12BO=5-52BO，故BO=25-5BG=255-1BG，
因为BF=BA+AF=BA+5-12AO
=BA+5-12BO-BA=3-52BA+5-12BO，
所以BF=3-52BA+55BG.
故选：D.
【变式2-3】（2023·重庆江北·校考一模）如图，在△ABC中，点D是边AB上一点且BD=2AD，E是边BC的中点，直线AE和直线CD交于点F，若BF是∠ABC的平分线，则BCBA=（ ）
A．4B．3C．2D．12
【解题思路】首先根据BF是∠ABC的平分线，则存在一个实数λ使得BF=λBABA+BCBC，
再替换向量BC=2BE和BA=32BD，利用平面向量基本定理的推论，即可求解.
【解答过程】因为BF是∠ABC的平分线，所以存在一个实数λ使得BF=λBABA+BCBC，（根据角平分线的条件，选择合适的基底）
因为E是边BC的中点，所以BF=λBABA+2BEBC，又点A，E，F共线，所以λBA+2λBC=1①．（三点共线的应用：OA=λOB+μOC（λ，μ为实数），若A，B，C三点共线，则λ+μ=1）
因为BD=2AD，所以BF=λ32BDBA+BCBC，又点C，F，D共线，所以3λ2BA+λBC=1②，联立①②，得12BA=1BC，则BCBA=2，即BCBA=2.
故选：C．
【题型3 平面向量的数量积】
【例3】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知向量a=1,2，b=3,4，c=5,m（m∈R），则2a-b⋅c=（ ）
A．5B．-5C．5mD．-5m
【解题思路】求出向量2a-b的坐标，根据数量积坐标表示，即可求得答案.
【解答过程】由题意向量a=1,2，b=3,4，c=5,m可得2a-b=(-1,0)，
故2a-b⋅c=(-1,0)⋅(5,m)=-5，
故选：B.
【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量a，b满足a=λbλ>0，b=2，a-b=1，则a+b⋅a=（ ）
A．3B．15C．-3或15D．3或15
【解题思路】对a-b=1两边同时平方，将a=λbλ>0代入可求出λ的值，可求出a，代入a+b⋅a即可得出答案.
【解答过程】因为向量a=λbλ>0，所以a⋅b=a·b=λb2=4λ，
又a-b2=a2-2a⋅b+b2=4λ2-8λ+4=1，
解得:λ=12或32，即a=1或a=3，
所以当a=1时，a+b⋅a=a⋅b+a2=2+1=3；
当a=3时，a+b⋅a=a⋅b+a2=6+9=15，
故a+b⋅a=3或15．
故选：D.
【变式3-2】（2023·广东佛山·统考一模）设四边形ABCD为矩形，AB=6，AD=4，若点M，N满足BM=13MC，DN=2NC，则AM⋅AN=（ ）
A．28B．32C．36D．40
【解题思路】根据矩形的几何性质，结合平面向量的线性运算，可得答案.
【解答过程】
由BM=13MC，则BM=14BC；由DN=2NC，则DN=23DC，
在矩形ABCD中，由AB⊥AD，则AB⋅AD=0，
AM⋅AN=AB+BM⋅AD+DN=AB+14BC⋅AD+23DC
=AB+14AD⋅AD+23AB=AB⋅AD+23AB2+14AD2+16AB⋅AD
=23×36+14×16=28.
故选：A.
【变式3-3】（2023·广东广州·华南师大附中校考一模）如图，在等腰梯形ABCD中，AB ∥ CD,AB=5,AD=4,DC=1,E是线段AB上一点，且AE=4EB，动点P在以E为圆心，1为半径的圆上，则DP⋅AC的最大值为（ ）
A．3-21B．23-6C．21-6D．-3
【解题思路】过点D作DO⊥AB，垂足为O，以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，利用DP⋅AC=DE⋅AC+EP⋅AC，通过坐标运算和数量积的定义来求解最值.
【解答过程】过点D作DO⊥AB，垂足为O，
以O为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则A-2,0,C1,23,D0,23,E2,0，
则DP⋅AC=DE+EP⋅AC=DE⋅AC+EP⋅AC，
其中DE⋅AC=2,-23⋅3,23=6-12=-6，
EP⋅AC=EPACcsEP,AC=1×9+12csEP,AC=21csEP,AC，
当csEP,AC=1，即EP,AC同向时，EP⋅AC取最大值21，
所以DP⋅AC的最大值为21-6.
故选：C.
【题型4 平面向量的模的问题】
【例4】（2023·四川成都·成都七中校考一模）若向量a、b满足：a=1，a+b⊥a，2a-b=10，则b=（ ）
A．2B．2C．10D．10
【解题思路】由平面向量垂直可得出a⋅b=-1，再利用平面向量数量积的运算性质可求得b的值.
【解答过程】因为向量a、b满足：a=1，a+b⊥a，2a-b=10，
则a+b⋅a=a2+a⋅b=1+a⋅b=0，所以，a⋅b=-1，
所以，2a-b2=4a2-4a⋅b+b2=4+4+b2=10，故b=2.
故选：B.
【变式4-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量a=(x,1)，b=(2,y)，c=(x,y).若(a+b)⊥(a-b)，且a//b，则|c|=（ ）
A．2B．3C．5D．6
【解题思路】利用向量的数量积运算将向量垂直的条件转化为(a+b)⋅(a-b)=a2-b2=0，然后利用向量的模的坐标运算公式和向量共线的坐标关系得到方程组，求解即得x,y的值，进而计算向量c=(x,y)的模.
【解答过程】因为a=(x,1)，b=(2,y)，
由(a+b)⊥(a-b)可得，(a+b)⋅(a-b)=a2-b2=0，
即x2+1-4+y2=0，整理得x2-y2=3.
又因为a∥b，所以xy=2，
联立x2-y2=3xy=2，解得x=2y=1或x=-2y=-1，
故|c|=x2+y2=5，
故选C.
【变式4-2】（2023·四川甘孜·统考一模）已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1，且a与b的夹角为π3，则a-2b=（ ）
A．5B．4C．2D．0
【解题思路】a-2b平方展开后，利用向量的数量积定义进行运算即可.
【解答过程】因为a-2b2=a2-4a⋅b+4b2
=4-4×2×1×csπ3+4=4，
所以a-2b=2，
故选：C.
【变式4-3】（2023上·安徽·高二校联考期中）如图，在长方形 ABCD中，AB=6,AD=4，点 P 满足DP=λDC，其中λ∈0,23，则PA+PB的取值范围是（ ）
A．4,5
B．8,10
C．4,17
D．217,10
【解题思路】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，得到P6λ,4，λ∈0,23，从而求出PA+PB=6-12λ2+64，求出最值.
【解答过程】以A为坐标原点，AB,AD所在直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系，
则A0,0,B6,0,D0,4,C6,4，设Ps,t，
因为DP=λDC，所以s,t-4=λ6,0，即s=6λ,t=4，
故P6λ,4，λ∈0,23，
则PA+PB=-6λ,-4+6-6λ,-4=6-12λ,-8，
则PA+PB=6-12λ2+64，
因为λ∈0,23，所以6-12λ∈-2,6，6-12λ2∈0,36，
故PA+PB=6-12λ2+64∈8,10.
故选：B.
【题型5 平面向量夹角与垂直问题】
【例5】（2023·陕西西安·校联考模拟预测）向量a，b满足a=4，b=1，2a-3b⋅b=3，则向量a，b夹角的余弦值为（ ）
A．23B．34C．-34D．-23
【解题思路】由a=4，b=1，且2a-3b·b=2，从而可求解.
【解答过程】由题意知a=4，b=1，
又因为2a-3b⋅b=2a⋅b-3b2=2abcsa,b-3b2=3，
解之得：csa,b=34，故B项正确.
故选：B.
【变式5-1】（2023·全国·模拟预测）已知向量a=-1,-2，b=4,-2，若a-λb⊥a+μb，则（ ）
A．4λμ=1B．4λμ=-1
C．4λ+μ=1D．4λ+μ=-1
【解题思路】用坐标表示向量a-λb,a+μb，根据向量垂直的坐标运算建立方程，并化简得结果.
【解答过程】法一：用坐标表示向量a-λb,a+μb
由题意可知，a-λb=-1-4λ,-2+2λ,a+μb=-1+4μ,-2-2μ，
由a-λb⊥a+μb得，
-1-4λ-1+4μ+-2+2λ-2-2μ=0，
整理得，5-20λμ=0，
所以4λμ=1．则A对；
法二：因为向量a=-1,-2,b=4,-2，
所以a=5,b=25,a⋅b=-4+4=0，
又a-λb⊥a+μb，
所以a-λb⋅a+μb=a2+μ-λa⋅b-λμb2=5-20λμ=0，
所以4λμ=1.
故选：A．
【变式5-2】（2023·四川巴中·南江中学校考模拟预测）已知平面向量a=2,0，b=1,3，则向量a-b与a-12b的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【解题思路】利用两个向量的数量积的定义，两个向量坐标形式的运算法则，求得csa-b,a-12b=32×3=32，进而可得结果．
【解答过程】因为a=2,0，b=1,3，所以a-b=1,-3，a-12b=32,-32，
所以a-b⋅a-12b=3，所以csa-b,a-12b=32×3=32，
又0≤a-b,a-12b≤π，所以向量a-b与a-12b的夹角为π6．
故选：A．
【变式5-3】（2023·全国·模拟预测）已知△ABC中，AO=λAB+(1-λ)AC，且O为△ABC的外心．若BA在BC上的投影向量为μBC，且cs∠AOC∈13,23，则μ的取值范围为（ ）
A．23,56B．15,310C．43,53D．15,35
【解题思路】根据题意B，O，C三点共线．因为O为△ABC的外心，即有|OA|=|OB|=|OC|，所以△ABC为直角三角形，利用向量得投影结合图形即可得解.
【解答过程】
因为AO=λAB+(1-λ)AC=λAB+AC-λAC，
则AO-AC=λ(AB-AC)，所以CO=λCB，即B，O，C三点共线．
因为O为△ABC的外心，即有|OA|=|OB|=|OC|，
所以△ABC为直角三角形，因此AB⊥AC，O为斜边BC的中点．因为cs∠AOC∈13,23，所以∠AOC为锐角．
如图，过点A作AQ⊥BC，垂足为Q．
因为BA在BC上的投影向量为BQ= μBC，所以12