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2024年四川省成都市天府新区高考数学模拟试卷（文科）（一）
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这是一份2024年四川省成都市天府新区高考数学模拟试卷（文科）（一），共14页。试卷主要包含了双曲线C等内容，欢迎下载使用。
A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}
2.已知z=1−i2+2i，则z−z−=( )
A. −iB. iC. 0D. 1
3.已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a−b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)( )
A. 60B. 63C. 66D. 69
5.设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)
6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )
A. 8号学生B. 216号学生C. 600号学生D. 815号学生
7.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex−1，则当x<0时，f(x)=( )
A. e−x−1B. e−x+1C. −e−x−1D. −e−x+1
8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点，则p=( )
A. 2B. 3C. 4D. 8
9.过点(0,2)与圆x2+y2+4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则csα=( )
A. 14B. 154C. − 154D. −14
10.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130∘，则双曲线C的离心率为( )
A. 2sin40∘B. 2cs40∘C. 1sin50∘D. 1cs50∘
11.点(0,−1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
12.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则下列说法错误的是( )
A. f(0)=0B. f(1)=0
C. f(x)是偶函数D. x=0为f(x)的极小值点
13.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为__________.
14.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______.
15.已知函数f(x)=csωx−1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有2个零点，则ω的取值范围是______.
16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为______.
17.已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB.
(1)求sinA；
(2)设AB=5，求AB边上的高.
18.设等比数列{an}满足a1+a2=4，a3−a1=8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{lg3an}的前n项和．若Sm+Sm+1=Sm+3，求m.
19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附： 74≈8.602.
20.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60∘，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN//平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离．
21.已知函数f(x)=a(ex+a)−x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna+32.
22.在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ=4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0=π3时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x2−x−6≥0，∴(x−3)(x+2)≥0，∴x≥3或x≤−2，
N=(−∞,−2]∪[3,+∞)，则M∩N={−2}.
故选：C.
先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：z=1−i2+2i=12⋅1−i1+i=12⋅(1−i)2(1+i)(1−i)=−12i，
则z−=12i，
故z−z−=−i.
故选：A.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的数量积运算，关键是向量垂直的条件．属于基础题.
可先由向量垂直得到数量积等于零，再结合夹角计算公式求解即可.
【解答】
解：设向量a与b的夹角为θ，则由(a−b)⊥b，
得(a−b)⋅b=a⋅b−b2=|a||b|csθ−|b|2=2|b|2csθ−|b|2=0，
所以csθ=12，
因为0<θ<π，
所以θ=π3，
故选B.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于基础题.
根据所给材料的公式列出方程K1+e−0.23(t*−53)=0.95K，即可得解．
【解答】
解：由已知，I(t)=K1+e−0.23(t−53)，当I(t*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，
可得K1+e−0.23(t*−53)=0.95K，解得e−0.23(t*−53)=119，
两边取对数有−0.23(t*−53)=−ln19≈−3，
解得t*≈66，
故选C.
5.【答案】D
【解析】解：设t=x(x−a)=x2−ax，对称轴为x=a2，抛物线开口向上，
∵y=2t是t的增函数，
∴要使f(x)在区间(0,1)单调递减，
则t=x2−ax在区间(0,1)单调递减，
即a2≥1，即a≥2，
故实数a的取值范围是[2,+∞).
故选：D.
利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．
本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，
∴系统抽样的分段间隔为1000100=10，
∵46号学生被抽到，
则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，
且每组抽到的学生号构成等差数列{an}，公差d=10，
所以an=6+10n(n∈N*)，
若8=6+10n，则n=15，不合题意；
若216=6+10n，则n=21，符合题意；
若600=6+10n，则n=59.4，不合题意；
若815=6+10n，则n=80.9，不合题意．
故选：B.
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．
本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查运用函数奇偶性求函数解析式，是基础题.
设x<0，则−x>0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得x<0时的f(x).
【解答】
解：∵f(x)为奇函数，又∵当x≥0时，f(x)=ex−1，
设x<0，则−x>0，
f(x)=−f(−x)=−(e−x−1)=−e−x+1，
故选D.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．
根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．
【解答】
解：由题意可得3p−p=(p2)2，
解得p=8或p=0(舍去)
故选D.
9.【答案】D
【解析】解：圆x2+y2+4x−1=0可化为(x+2)2+y2=5，则圆心C(−2,0)，半径为r= 5，
设P(0,2)，切线为PA、PB，则PC= 22+22=2 2，
过点(0,2)与圆x2+y2−2x−1=0相切的两条直线的夹角为α，
在△PBC中sinα2=BCPC= 52 2= 104，
所以csα=1−2sin2α2=1−2( 104)2=−14.
故选：D.
根据已知条件，先求出圆心与半径，求出|PC|，再结合二倍角公式，即可求解．
本题考查直线与圆相切，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
由已知求得ba=tan50∘，化为弦函数，然后两边平方即可求得C的离心率．
【解答】
解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，
由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130∘，得−ba=tan130∘=−tan50∘，
则ba=tan50∘=sin50∘cs50∘，
∴b2a2=c2−a2a2=c2a2−1=sin250∘cs250∘=1cs250∘−1，
得e2=1cs250∘，
∴e=1cs50∘，
故选：D.
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的知识点是点到直线的距离公式．
直接代入点到直线的距离公式，可求解结论．
12.【答案】D
【解析】解：由f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，
取x=y=0，可得f(0)=0，故A正确；
取x=y=1，可得f(1)=2f(1)，即f(1)=0，故B正确；
取x=y=−1，得f(1)=2f(−1)，即f(−1)=12f(1)=0，
取y=−1，得f(−x)=f(x)，可得f(x)是偶函数，故C正确；
由上可知，f(−1)=f(0)=f(1)=0，而函数解析式不确定，
不妨取f(x)=0，满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，
常数函数f(x)=0无极值，故D错误．
故选：D.
在已知等式中，取x=y=0判断A；取x=y=1判断B；求出f(−1)，再取y=−1判断C；取满足等式的特殊函数判断D.
本题考查抽象函数的应用，取特值是关键，是中档题．
13.【答案】y=3x
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
对y=3(x2+x)ex求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．
【解答】
解：∵y=3(x2+x)ex，
∴y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3ex(x2+3x+1)，
∴当x=0时，y′=3，
∴y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线斜率k=3，
∴曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为：y=3x.
故答案为y=3x.
14.【答案】0.98
【解析】【分析】
本题考查加权平均数公式等基础知识，属于基础题．
利用加权平均数公式直接求解．
【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，
有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，
∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：
x−=110+20+10(10×0.97+20×0.98+10×0.99)=0.98.
故答案为0.98.
15.【答案】[2,3)
【解析】解：如图所示：
因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=csωx−1(ω>0)，则方程在csωx=1在[0,2π]有2个根，
即令t=ωx，则方程cst=1有2个根，其中t∈[0,2ωπ]，
结合余弦函数y=cst的图像性质可得4π≤2ωπ<6π，
故2≤ω<3.
故答案为：[2,3).
令f(x)=0，得csωx=1有2个根，从而结合余弦函数的图象的性质即可得解．
本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】2π
【解析】解：设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得12×2× 9−1=12×(3+3+2)r，
∴r= 22，
∴该圆锥内切球的表面积为4πr2=4π×12=2π，
故答案为：2π.
设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得r，即可求出该圆锥内切球的表面积．
本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，是基础题．
17.【答案】解：(1)∵A+B=3C，A+B+C=π，
∴4C=π，
∴C=π4，
∵2sin(A−C)=sinB，
∴2sin(A−C)=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)，
∴2sinAcsC−2csAsinC=sinAcsC+csAsinC，
∴sinAcsC=3csAsinC，
∴ 22sinA=3× 22csA，
∴sinA=3csA，即csA=13sinA，
又∵sin2A+cs2A=1，∴sin2A+19sin2A=1，
解得sin2A=910，
又∵A∈(0,π)，∴sinA>0，
∴sinA=3 1010；
(2)由(1)可知sinA=3 1010，csA=13sinA= 1010，
∴sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=3 1010× 22+ 1010× 22=2 55，
∴ABsinC=ACsinB=BCsinA=5sinπ4=5 2，
∴AC=5 2sinB=5 2×2 55=2 10，BC=5 2×sinA=5 2×3 1010=3 5，
设AB边上的高为h，
则12AB⋅h=12×AC×BC×sinC，
∴52h=12×2 10×3 5× 22，
解得h=6，
即AB边上的高为6.
【解析】(1)由三角形内角和可得C=π4，由2sin(A−C)=sinB，可得2sin(A−C)=sin(A+C)，再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA=3csA，再结合平方关系即可求出sinA；
(2)由sinB=sin(A+C)求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高．
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设公比为q，则由a1+a1q=4a1q2−a1=8，
可得a1=1，q=3，
所以an=3n−1.n∈N*
(2)由(1)有lg3an=n−1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，
所以Sn=n(n−1)2，
所以m(m−1)2+(m+1)m2=(m+3)(m+2)2，m2−5m−6=0，
解得m=6，或m=−1(舍去)，
所以m=6.
【解析】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，等差数列的求和，考查了转化思想和方程思想的应用，属于中档题．
(1)设其公比为q，则由已知可得a1+a1q=4a1q2−a1=8，解得a1=1，q=3，可求其通项公式．
(2)由(1)可得lg3an=n−1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，可求Sn=n(n−1)2，由已知可得m(m−1)2+(m+1)m2=(m+3)(m+2)2，进而解得m的值．
19.【答案】解：(1)根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业比例为：14+7100=0.21=21%，
产值负增长的企业频率为：2100=0.02=2%，
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；
(2)企业产值增长率的平均数y−=1100−0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7=0.30，
产值增长率的方差为s2=1100i=15ni(yi−y−)2
=1100[(−0.4)2×2+(−0.2)2×24+02×53+0.22×14+0.42×7]
=0.0296，
∴产值增长率的标准差s= 0.0296=0.02× 74≈0.17，
∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.
【解析】本题考查了样本数据的平均值和标准差，考查运算求解能力，属一般题．
(1)根据频数分布表计算即可；
(2)根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可．
20.【答案】证明：(1)连结B1C,ME.
因为M，E分别为B1B，BC的中点，
所以ME//B1C，且ME=12B1C.
又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D.
可得ME=//ND，因此四边形MNDE为平行四边形，
所以MN//DE ，
又MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，
所以MN//平面C1DE .
(2)(方法一)：过C作C1E的垂线，垂足为H，
由已知可得DE⊥BC，DE⊥CC1，
BC∩CC1=C,BC,CC1⊂平面CC1E，
所以DE⊥平面CC1E，又CH⊂平面CC1E，
故DE⊥CH，又DE∩EC1=E,DE,EC1⊂面C1DE，
从而CH⊥平面C1DE，
故CH的长即为点C到平面C1DE的距离，
由已知可得CE=1，CC1=4，所以C1E= 17，
故CH=4 1717.
(方法二)：设点C到平面C1DE的距离为h，
由已知可得VC1−DEC=VC−C1DE，
VC1−DEC=13S△DEC⋅hC1C=13⋅12⋅4⋅2⋅1⋅sin60∘=2 33，
VC−C1DE=13S△C1DE⋅h，
C1E= 12+42= 17，
DE= 22+12−2⋅1⋅2cs60∘= 3，
DC1= 42+22=2 5，
可得：C1E2+DE2=DC12，故△C1DE为直角三角形，
S△C1DE=12DE⋅C1E=12 3⋅ 17= 512，
综上可得h=3VC−C1DES△C1DE=4 1717，即为点C到平面C1DE的距离.
【解析】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)连结B1C,ME，证明四边形MNDE为平行四边形，MN//DE，DE⊂平面C1DE， MN⊄平面 C1DE，证得MN//平面C1DE.
(2)方法一：作C1E的垂线CH，利用勾股定理求得点C到平面C1DE的距离；
方法二：利用等体积法，转换顶点，先求得三棱锥C1−DEC的体积，再表示出三棱锥C−C1DE的体积，由体积相等，求出点C到平面C1DE的距离.
21.【答案】解：(1)因为f(x)=a(ex+a)−x，定义域为R，f′(x)=aex−1，
当a≤0时，f′(x)=aex−1<0恒成立，所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f′(x)=aex−1=0，解得x=−lna，
当x<−lna时，f′(x)<0，则f(x)在(−∞,−lna)上单调递减；
当x>−lna时，f′(x)>0，则f(x)在(−lna,+∞)上单调递增；
综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，f(x)在(−lna,+∞)上单调递增．
证明：(2)由(1)得，f(x)min=f(−lna)=a(e−lna+a)+lna=1+a2+lna，
要证f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2−12−lna>0恒成立，
令g(a)=a2−12−lna(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a)<0，则00，则a> 22，
所以g(a)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增，
所以g(a)min=g( 22)=( 22)2−12−ln 22=ln 2>0，则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna+32恒成立，证毕．
【解析】(1)先求导，再分类讨论a≤0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
(2)结合(1)中结论，将问题转化为a2−12−lna>0的恒成立问题，构造函数g(a)=a2−12−lna(a>0)，利用导数证得g(a)>0即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题．
22.【答案】解：(1)如图：
∵M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ=4sinθ上，
当θ0=π3时，ρ0=4sinπ3=2 3，
且由图得|OP|=|OA|csθ0=2，
在直线l上任取一点(ρ,θ)，则有ρcs(π3−θ)=2，即ρcs(θ−π3)=2，
故l的极坐标方程为ρcs(θ−π3)=2；
(2)设P(ρP,θP)，则在Rt△OAP中，有|OP|=|OA|csθP即
ρP=4csθP，
∵P在线段OM上，且AP⊥OM，∴θP∈[π4,π2]，
其中π4为P点与M点重合时的角度，由4csθP=4sinθP得到，
故P点轨迹的极坐标方程为ρ=4csθ，θ∈[π4,π2].
【解析】本题考查曲线的极坐标方程及其应用，数形结合能力，是中档题．
(1)由θ0=π3可得|OP|=2，在直线l上任取一点(ρ,θ)，利用三角形中边角关系即可求得l的极坐标方程；
(2)设P(ρ,θ)，在Rt△OAP中，根据边与角的关系得答案．y的分组
[−0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80)
企业数
2
24
53
14
7
A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2}C. {−2}D. {2}
2.已知z=1−i2+2i，则z−z−=( )
A. −iB. iC. 0D. 1
3.已知非零向量a，b满足|a|=2|b|，且(a−b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
4.Lgistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Lgistic模型：I(t)=K1+e−0.23(t−53)，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln19≈3)( )
A. 60B. 63C. 66D. 69
5.设函数f(x)=2x(x−a)在区间(0,1)单调递减，则a的取值范围是( )
A. (−∞,−2]B. [−2,0)C. (0,2]D. [2,+∞)
6.某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是( )
A. 8号学生B. 216号学生C. 600号学生D. 815号学生
7.设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)=ex−1，则当x<0时，f(x)=( )
A. e−x−1B. e−x+1C. −e−x−1D. −e−x+1
8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x23p+y2p=1的一个焦点，则p=( )
A. 2B. 3C. 4D. 8
9.过点(0,2)与圆x2+y2+4x−1=0相切的两条直线的夹角为α，则csα=( )
A. 14B. 154C. − 154D. −14
10.双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130∘，则双曲线C的离心率为( )
A. 2sin40∘B. 2cs40∘C. 1sin50∘D. 1cs50∘
11.点(0,−1)到直线y=k(x+1)距离的最大值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 2
12.已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，则下列说法错误的是( )
A. f(0)=0B. f(1)=0
C. f(x)是偶函数D. x=0为f(x)的极小值点
13.曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为__________.
14.我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______.
15.已知函数f(x)=csωx−1(ω>0)在区间[0,2π]有且仅有2个零点，则ω的取值范围是______.
16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为______.
17.已知在△ABC中，A+B=3C，2sin(A−C)=sinB.
(1)求sinA；
(2)设AB=5，求AB边上的高.
18.设等比数列{an}满足a1+a2=4，a3−a1=8.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为数列{lg3an}的前n项和．若Sm+Sm+1=Sm+3，求m.
19.某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表．
(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；
(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).(精确到0.01)
附： 74≈8.602.
20.如图，直四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60∘，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN//平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离．
21.已知函数f(x)=a(ex+a)−x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2lna+32.
22.在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ=4sinθ上，直线l过点A(4,0)且与OM垂直，垂足为P.
(1)当θ0=π3时，求ρ0及l的极坐标方程；
(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐标方程．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵x2−x−6≥0，∴(x−3)(x+2)≥0，∴x≥3或x≤−2，
N=(−∞,−2]∪[3,+∞)，则M∩N={−2}.
故选：C.
先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：z=1−i2+2i=12⋅1−i1+i=12⋅(1−i)2(1+i)(1−i)=−12i，
则z−=12i，
故z−z−=−i.
故选：A.
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查平面向量的数量积运算，关键是向量垂直的条件．属于基础题.
可先由向量垂直得到数量积等于零，再结合夹角计算公式求解即可.
【解答】
解：设向量a与b的夹角为θ，则由(a−b)⊥b，
得(a−b)⋅b=a⋅b−b2=|a||b|csθ−|b|2=2|b|2csθ−|b|2=0，
所以csθ=12，
因为0<θ<π，
所以θ=π3，
故选B.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查函数模型的实际应用，考查学生计算能力，属于基础题.
根据所给材料的公式列出方程K1+e−0.23(t*−53)=0.95K，即可得解．
【解答】
解：由已知，I(t)=K1+e−0.23(t−53)，当I(t*)=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，
可得K1+e−0.23(t*−53)=0.95K，解得e−0.23(t*−53)=119，
两边取对数有−0.23(t*−53)=−ln19≈−3，
解得t*≈66，
故选C.
5.【答案】D
【解析】解：设t=x(x−a)=x2−ax，对称轴为x=a2，抛物线开口向上，
∵y=2t是t的增函数，
∴要使f(x)在区间(0,1)单调递减，
则t=x2−ax在区间(0,1)单调递减，
即a2≥1，即a≥2，
故实数a的取值范围是[2,+∞).
故选：D.
利用换元法转化为指数函数和二次函数单调性进行求解即可．
本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合指数函数，二次函数的单调性进行求解是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】B
【解析】解：∵从1000名学生从中抽取一个容量为100的样本，
∴系统抽样的分段间隔为1000100=10，
∵46号学生被抽到，
则根据系统抽样的性质可知，第一组随机抽取一个号码为6，以后每个号码都比前一个号码增加10，
且每组抽到的学生号构成等差数列{an}，公差d=10，
所以an=6+10n(n∈N*)，
若8=6+10n，则n=15，不合题意；
若216=6+10n，则n=21，符合题意；
若600=6+10n，则n=59.4，不合题意；
若815=6+10n，则n=80.9，不合题意．
故选：B.
等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．
本题考查了系统抽样方法，关键是求得系统抽样的分段间隔．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查运用函数奇偶性求函数解析式，是基础题.
设x<0，则−x>0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得x<0时的f(x).
【解答】
解：∵f(x)为奇函数，又∵当x≥0时，f(x)=ex−1，
设x<0，则−x>0，
f(x)=−f(−x)=−(e−x−1)=−e−x+1，
故选D.
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了抛物线与椭圆的性质，属基础题．
根据抛物线的性质以及椭圆的性质列方程可解得．
【解答】
解：由题意可得3p−p=(p2)2，
解得p=8或p=0(舍去)
故选D.
9.【答案】D
【解析】解：圆x2+y2+4x−1=0可化为(x+2)2+y2=5，则圆心C(−2,0)，半径为r= 5，
设P(0,2)，切线为PA、PB，则PC= 22+22=2 2，
过点(0,2)与圆x2+y2−2x−1=0相切的两条直线的夹角为α，
在△PBC中sinα2=BCPC= 52 2= 104，
所以csα=1−2sin2α2=1−2( 104)2=−14.
故选：D.
根据已知条件，先求出圆心与半径，求出|PC|，再结合二倍角公式，即可求解．
本题考查直线与圆相切，属于中档题．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
由已知求得ba=tan50∘，化为弦函数，然后两边平方即可求得C的离心率．
【解答】
解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，
由双曲线的一条渐近线的倾斜角为130∘，得−ba=tan130∘=−tan50∘，
则ba=tan50∘=sin50∘cs50∘，
∴b2a2=c2−a2a2=c2a2−1=sin250∘cs250∘=1cs250∘−1，
得e2=1cs250∘，
∴e=1cs50∘，
故选：D.
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的知识点是点到直线的距离公式．
直接代入点到直线的距离公式，可求解结论．
12.【答案】D
【解析】解：由f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，
取x=y=0，可得f(0)=0，故A正确；
取x=y=1，可得f(1)=2f(1)，即f(1)=0，故B正确；
取x=y=−1，得f(1)=2f(−1)，即f(−1)=12f(1)=0，
取y=−1，得f(−x)=f(x)，可得f(x)是偶函数，故C正确；
由上可知，f(−1)=f(0)=f(1)=0，而函数解析式不确定，
不妨取f(x)=0，满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y)，
常数函数f(x)=0无极值，故D错误．
故选：D.
在已知等式中，取x=y=0判断A；取x=y=1判断B；求出f(−1)，再取y=−1判断C；取满足等式的特殊函数判断D.
本题考查抽象函数的应用，取特值是关键，是中档题．
13.【答案】y=3x
【解析】【分析】
本题考查了导数的几何意义，属于基础题．
对y=3(x2+x)ex求导，可将x=0代入导函数，求得斜率，即可得到切线方程．
【解答】
解：∵y=3(x2+x)ex，
∴y′=3(2x+1)ex+3(x2+x)ex=3ex(x2+3x+1)，
∴当x=0时，y′=3，
∴y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线斜率k=3，
∴曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为：y=3x.
故答案为y=3x.
14.【答案】0.98
【解析】【分析】
本题考查加权平均数公式等基础知识，属于基础题．
利用加权平均数公式直接求解．
【解答】解：∵经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，
有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，
∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为：
x−=110+20+10(10×0.97+20×0.98+10×0.99)=0.98.
故答案为0.98.
15.【答案】[2,3)
【解析】解：如图所示：
因为0≤x≤2π，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f(x)=csωx−1(ω>0)，则方程在csωx=1在[0,2π]有2个根，
即令t=ωx，则方程cst=1有2个根，其中t∈[0,2ωπ]，
结合余弦函数y=cst的图像性质可得4π≤2ωπ<6π，
故2≤ω<3.
故答案为：[2,3).
令f(x)=0，得csωx=1有2个根，从而结合余弦函数的图象的性质即可得解．
本题考查的知识点：余弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】2π
【解析】解：设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得12×2× 9−1=12×(3+3+2)r，
∴r= 22，
∴该圆锥内切球的表面积为4πr2=4π×12=2π，
故答案为：2π.
设内切球的半径为r，则利用轴截面，根据等面积可得r，即可求出该圆锥内切球的表面积．
本题考查该圆锥内切球的表面积，考查学生的计算能力，确定内切球的半径是关键，是基础题．
17.【答案】解：(1)∵A+B=3C，A+B+C=π，
∴4C=π，
∴C=π4，
∵2sin(A−C)=sinB，
∴2sin(A−C)=sin[π−(A+C)]=sin(A+C)，
∴2sinAcsC−2csAsinC=sinAcsC+csAsinC，
∴sinAcsC=3csAsinC，
∴ 22sinA=3× 22csA，
∴sinA=3csA，即csA=13sinA，
又∵sin2A+cs2A=1，∴sin2A+19sin2A=1，
解得sin2A=910，
又∵A∈(0,π)，∴sinA>0，
∴sinA=3 1010；
(2)由(1)可知sinA=3 1010，csA=13sinA= 1010，
∴sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=3 1010× 22+ 1010× 22=2 55，
∴ABsinC=ACsinB=BCsinA=5sinπ4=5 2，
∴AC=5 2sinB=5 2×2 55=2 10，BC=5 2×sinA=5 2×3 1010=3 5，
设AB边上的高为h，
则12AB⋅h=12×AC×BC×sinC，
∴52h=12×2 10×3 5× 22，
解得h=6，
即AB边上的高为6.
【解析】(1)由三角形内角和可得C=π4，由2sin(A−C)=sinB，可得2sin(A−C)=sin(A+C)，再利用两角和与差的三角函数公式化简可得sinA=3csA，再结合平方关系即可求出sinA；
(2)由sinB=sin(A+C)求出sinB，再利用正弦定理求出AC，BC，由等面积法即可求出AB边上的高．
本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)设公比为q，则由a1+a1q=4a1q2−a1=8，
可得a1=1，q=3，
所以an=3n−1.n∈N*
(2)由(1)有lg3an=n−1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，
所以Sn=n(n−1)2，
所以m(m−1)2+(m+1)m2=(m+3)(m+2)2，m2−5m−6=0，
解得m=6，或m=−1(舍去)，
所以m=6.
【解析】本题主要考查了等比数列的通项公式的求法，等差数列的求和，考查了转化思想和方程思想的应用，属于中档题．
(1)设其公比为q，则由已知可得a1+a1q=4a1q2−a1=8，解得a1=1，q=3，可求其通项公式．
(2)由(1)可得lg3an=n−1，是一个以0为首项，1为公差的等差数列，可求Sn=n(n−1)2，由已知可得m(m−1)2+(m+1)m2=(m+3)(m+2)2，进而解得m的值．
19.【答案】解：(1)根据产值增长率频数表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业比例为：14+7100=0.21=21%，
产值负增长的企业频率为：2100=0.02=2%，
用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%；
(2)企业产值增长率的平均数y−=1100−0.1×2+0.1×24+0.3×53+0.5×14+0.7×7=0.30，
产值增长率的方差为s2=1100i=15ni(yi−y−)2
=1100[(−0.4)2×2+(−0.2)2×24+02×53+0.22×14+0.42×7]
=0.0296，
∴产值增长率的标准差s= 0.0296=0.02× 74≈0.17，
∴这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为0.30，0.17.
【解析】本题考查了样本数据的平均值和标准差，考查运算求解能力，属一般题．
(1)根据频数分布表计算即可；
(2)根据平均值和标准差计算公式代入数据计算即可．
20.【答案】证明：(1)连结B1C,ME.
因为M，E分别为B1B，BC的中点，
所以ME//B1C，且ME=12B1C.
又因为N为A1D的中点，所以ND=12A1D.
可得ME=//ND，因此四边形MNDE为平行四边形，
所以MN//DE ，
又MN⊄平面C1DE，DE⊂平面C1DE，
所以MN//平面C1DE .
(2)(方法一)：过C作C1E的垂线，垂足为H，
由已知可得DE⊥BC，DE⊥CC1，
BC∩CC1=C,BC,CC1⊂平面CC1E，
所以DE⊥平面CC1E，又CH⊂平面CC1E，
故DE⊥CH，又DE∩EC1=E,DE,EC1⊂面C1DE，
从而CH⊥平面C1DE，
故CH的长即为点C到平面C1DE的距离，
由已知可得CE=1，CC1=4，所以C1E= 17，
故CH=4 1717.
(方法二)：设点C到平面C1DE的距离为h，
由已知可得VC1−DEC=VC−C1DE，
VC1−DEC=13S△DEC⋅hC1C=13⋅12⋅4⋅2⋅1⋅sin60∘=2 33，
VC−C1DE=13S△C1DE⋅h，
C1E= 12+42= 17，
DE= 22+12−2⋅1⋅2cs60∘= 3，
DC1= 42+22=2 5，
可得：C1E2+DE2=DC12，故△C1DE为直角三角形，
S△C1DE=12DE⋅C1E=12 3⋅ 17= 512，
综上可得h=3VC−C1DES△C1DE=4 1717，即为点C到平面C1DE的距离.
【解析】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
(1)连结B1C,ME，证明四边形MNDE为平行四边形，MN//DE，DE⊂平面C1DE， MN⊄平面 C1DE，证得MN//平面C1DE.
(2)方法一：作C1E的垂线CH，利用勾股定理求得点C到平面C1DE的距离；
方法二：利用等体积法，转换顶点，先求得三棱锥C1−DEC的体积，再表示出三棱锥C−C1DE的体积，由体积相等，求出点C到平面C1DE的距离.
21.【答案】解：(1)因为f(x)=a(ex+a)−x，定义域为R，f′(x)=aex−1，
当a≤0时，f′(x)=aex−1<0恒成立，所以f(x)在R上单调递减；
当a>0时，令f′(x)=aex−1=0，解得x=−lna，
当x<−lna时，f′(x)<0，则f(x)在(−∞,−lna)上单调递减；
当x>−lna时，f′(x)>0，则f(x)在(−lna,+∞)上单调递增；
综上：当a≤0时，f(x)在R上单调递减；
当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递减，f(x)在(−lna,+∞)上单调递增．
证明：(2)由(1)得，f(x)min=f(−lna)=a(e−lna+a)+lna=1+a2+lna，
要证f(x)>2lna+32，即证1+a2+lna>2lna+32，即证a2−12−lna>0恒成立，
令g(a)=a2−12−lna(a>0)，则g′(a)=2a−1a=2a2−1a，
令g′(a)<0，则0
所以g(a)在(0, 22)上单调递减，在( 22,+∞)上单调递增，
所以g(a)min=g( 22)=( 22)2−12−ln 22=ln 2>0，则g(a)>0恒成立，
所以当a>0时，f(x)>2lna+32恒成立，证毕．
【解析】(1)先求导，再分类讨论a≤0与a>0两种情况，结合导数与函数单调性的关系即可得解；
(2)结合(1)中结论，将问题转化为a2−12−lna>0的恒成立问题，构造函数g(a)=a2−12−lna(a>0)，利用导数证得g(a)>0即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于难题．
22.【答案】解：(1)如图：
∵M(ρ0,θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ=4sinθ上，
当θ0=π3时，ρ0=4sinπ3=2 3，
且由图得|OP|=|OA|csθ0=2，
在直线l上任取一点(ρ,θ)，则有ρcs(π3−θ)=2，即ρcs(θ−π3)=2，
故l的极坐标方程为ρcs(θ−π3)=2；
(2)设P(ρP,θP)，则在Rt△OAP中，有|OP|=|OA|csθP即
ρP=4csθP，
∵P在线段OM上，且AP⊥OM，∴θP∈[π4,π2]，
其中π4为P点与M点重合时的角度，由4csθP=4sinθP得到，
故P点轨迹的极坐标方程为ρ=4csθ，θ∈[π4,π2].
【解析】本题考查曲线的极坐标方程及其应用，数形结合能力，是中档题．
(1)由θ0=π3可得|OP|=2，在直线l上任取一点(ρ,θ)，利用三角形中边角关系即可求得l的极坐标方程；
(2)设P(ρ,θ)，在Rt△OAP中，根据边与角的关系得答案．y的分组
[−0.20,0)
[0,0.20)
[0.20,0.40)
[0.40,0.60)
[0.60,0.80)
企业数
2
24
53
14
7
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