【三轮冲刺】2024新高考19题数学试卷预测卷

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一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．已知由小到大排列的个数据、、、，若这个数据的极差是它们中位数的倍，则这个数据的第百分位数是（ ）
A．B．6C．D．4
2．设双曲线（）的渐近线方程为，则实数的值为（ ）
A．6B．4C．3D．2
3．在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列为等比数列，公比为q，前n项和为，则“”是“数列是单调递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．若，则（ ）
A．B．1C．D．2
6．过抛物线的焦点作直线，与交于两点（点在轴上方），与轴正半轴交于点，点是上不同于的点，且，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．以正方体的个顶点中的某个为顶点可组成一个三棱锥，在所有这些三棱锥中任取一个，则该三棱锥各个面都不为直角三角形的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．如何计算一个椭圆的面积？这个问题早已在约2000年前被伟大的数学、物理学先驱阿基米德思考过．他采用“逼近法”，得出结论：一个椭圆的面积除以圆周率等于其长半轴长与短半轴长的乘积．即．那如何计算它的周长呢？这个问题也在约400年前被我国清代数学家项名达思考过．一个椭圆的周长等于其短半轴长为半径的圆周长加上四倍的该椭圆长半轴长与短半轴长的差．即．若一个椭圆的面积为，那么其周长的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．下列式子中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
10．在三棱锥中，平面，平面内动点的轨迹是集合.已知且在棱所在直线上，，则（ ）
A．动点的轨迹是圆 B．平面平面
C．三棱锥体积的最大值为3 D．三棱锥外接球的半径不是定值
11．设定义在上的函数的导函数分别为，若且为偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A．B．
C．的图象关于对称D．函数为周期函数，且周期为4
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．设集合，，若的真子集的个数是，则正实数的取值范围为 ．
13．已知函数及其导函数的图象如图所示，若函数在上恰有3个不同的零点，且，则= .
14．已知a，b，c为某三角形的三边长，其中，且a，b为函数的两个零点，若恒成立，则M的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)已知时，直线为曲线的切线，求实数的值．
16．（15分）某小区在2024年的元旦举办了联欢会，现场来了1000位居民．联欢会临近结束时，物业公司从现场随机抽取了20位幸运居民进入摸奖环节，这20位幸运居民的年龄用随机变量X表示，且．
(1)请你估计现场年龄不低于60岁的人数（四舍五入取整数）；
(2)奖品分为一等奖和二等奖，已知每个人摸到一等奖的概率为40%，摸到二等奖的概率为60%，每个人摸奖相互独立，设恰好有个人摸到一等奖的概率为，求当取得最大值时的值．
附：若，则．
17．（15分）如图，是边长为2的等边三角形，且.

(1)若点到平面的距离为1，求；
(2)若且，求直线与平面所成角的正弦值.
18．（17分）已知椭圆的右焦点为，设直线：与轴的交点为，过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，为线段的中点.
(1)若，求直线的倾斜角；
(2)设直线交直线于点.
①求直线的斜率；
②求的值.
19．（17分）若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”.
(1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由；
(2)若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式；
(3)若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明.