【三轮冲刺】2024年高考数学 模拟押题卷02.zip

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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．充要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：若，则；
必要性：若则，
则，得，或，故不满足必要性
综上“”是“”充分不必要条件，
故选：A
2．已知，，则集合（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】，，所以.
故选：B.
3．2023年的五一劳动节是疫情后的第一个小长假，公司筹备优秀员工假期免费旅游．除常见的五个旅游热门地北京、上海、广州、深圳、成都外，淄博烧烤火爆全国，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有（ ）
A．1800B．1080C．720D．360
【答案】B
【解析】①恰有2个部门所选的旅游地相同，
第一步，先将选相同的2个部门取出，有种；
第二步，从6个旅游地中选出3个排序，有种，
根据分步计数原理可得，方法有种；
②4个部门所选的旅游地都不相同的方法有种，
根据分类加法计数原理得，则甲、乙、丙、丁四个部门至少有三个部门所选旅游地全不相同的方法种数共有种．
故选：B
4．已知函数为奇函数，则的值是（ ）
A．0B．C．12D．10
【答案】D
【解析】因为函数为奇函数，
所以，即，即或，
显然函数的定义域为关于原点对称，
且当时，有，从而有，
当时，有，但，
所以，即，
所以.
故选：D.
5．已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】显然离心率，解得，即，
分别为C的左右顶点，B为上顶点，则，，
于是，而，
即，又，因此联立解得，
所以椭圆的方程为.
故选：B
6．函数在区间的图象上存在两条相互垂直的切线，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设切点横坐标为，所作切线斜率为，则，
当时，，故不存在；
当时，满足：.
所以：.
故选：C.
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】因为，，
所以平方得，，，
即，，
两式相加可得，
即，
故，
.
故选：D.
8．在数列中给定，且函数的导函数有唯一零点，函数且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为有唯一的零点，且为偶函数，
则，可得，，所以数列是公差为2的等差数列.
又，
令，则为奇函数，
因为，所以在上单调递增，
由题意得，
则，
∵数列是公差为2的等差数列，其中，
则，假设，
因为是奇函数且在上单调递增，
则在上单调递增，
所以，
∵，
∴，与已知矛盾，故不成立；
假设，同理可得，与已知矛盾，故不成立；
综上，．
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．山东东阿盛产阿胶，阿胶与人参、鹿茸并称“中药三宝”．阿胶的主要原料是驴皮，配以冰糖、绍酒、豆油等十几种辅料，用东阿特有的含多种矿物质的井水、采取传统的制作工艺熬制而成．已知每盒某阿胶产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．（ ）
A．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量大于的概率为0.75
B．若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量在内的概率为0.15
C．若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于的盒数的方差为47.5
D．若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量在内的盒数的数学期望为200
【答案】ACD
【解析】对于选项A，因为，所以，A正确．
对于选项B，因为，所以
，
所以，B错误．
对于选项C，因为，所以，
若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于的盒数，
所以，C正确．
对于选项D，，若从该阿胶产品中随机选取1000盒，
则质量在内的盒数，所以，D正确．
故选:ACD
10．如图，正三棱柱的各棱长均为1，点是棱的中点，点满足，点为的中点，点是棱上靠近点的四等分点，则（ ）

A．三棱锥的体积为定值
B．的最小值为
C．平面
D．当时，过点的平面截正三棱柱所得图形的面积为
【答案】AC
【解析】由题意可知，设点到平面的距离为，
易知平面平面，
所以点到平面的距离等于点到线段的距离，
又，所以，
所以，为定值，
故A正确；
将沿展开与正方形在同一个平面内，
记此时与对应的点为，
则当三点共线时，取得最小值，即，
，
故的最小值为，故B错误；
由点分别为的中点，得，
又平面平面，
所以平面，故C正确；
连接并延长交于点，连接，
则过点的平面截正三棱柱所得截面图形为，
因为，平面平面，
平面平面平面，所以平面，
又平面，所以，
取的中点，连接，则点为的中点，又点为的中点，
所以，
当时，点为的中点，所以，
所以，所以，
所以，所以，
故，故D错误．
故选：
11．用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于它的焦点.用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合.若抛物线C：的焦点为F，O为坐标原点，一条平行于x轴的光线从点M射入，经过C上的点反射，再经过C上另一点反射后，沿直线射出，则（ ）

A．C的准线方程为
B．
C．若点，则
D．设直线AO与C的准线的交点为N，则点N在直线上
【答案】AD
【解析】由题意，抛物线，可得焦点，准线方程为，所以A正确；
由抛物线的光学性质可知，直线经过焦点F，且斜率不为0，
设直线，联立方程组，整理得，
可得，所以，所以B错误；
若点，则，所以，所以，，
所以，所以C错误；
又由直线，联立方程组，解得，
由，得，所以，所以点N在直线上，所以D正确.
故选：AD.
12．关于x的不等式在上恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】由，
可得，
即．
记，，
令，，则，
令，则恒成立，
所以在上单调递增且，所以当时，，
所以，当且仅当时，等号成立，即如下图所示：
又，，且，从而为与在处的公切线时，才能使原不等式恒成立，
，，则在处的切线方程为，即，
得，．
故选：BC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，
则，，
则与的夹角为．
故答案为：.
14．我国古代名著《张邱建算经》中记载：“今有方锥，下广二丈，高三丈．欲斩末为方亭，令上方六尺．问：斩高几何？”大致意思是：“有一个正四棱锥的下底面边长为二丈，高为三丈，现从上面截去一段，使之成为正四棱台，且正四棱台的上底面边长为六尺，则截去的正四棱锥的高是多少？”按照上述方法，截得的该正四棱台的体积为 立方尺（注：1丈尺）
【答案】3892
【解析】按如图所示方式取截正四棱锥，
分别为上、下底面正方形的中心，分别为的中点，
正四棱锥的下底边长为二丈，即尺，
高三丈，即尺；
截去一段后，得正四棱台，且上底边长为尺，
所以，
所以由可知，有，
解得，
所以该正四棱台的体积是（立方尺）．
故答案为：3892.
15．已知，又P点为圆O：上任意一点且满足 ，则 ．
【答案】
【解析】设，则，且P点到点A的距离与到点B的距离之比为定值，
所以 ，
所以，
所以，解得，
因为，所以
故答案为：．
16．在中，角的对边分别为为边中点，若，则面积的最大值为 .
【答案】
【解析】由于为边中点,所以,平方,
因此,
由于，所以，当且仅当时等号成立，
故，
由于在单调递减，故当时，最小，且为钝角，
,
由于在单调递增，故当取最小值时，此时面积最大，故当时，此时最小，进而最小，故面积最大，
由可得，故面积的最大值为，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（12分）
已知函数的最小正周期为．
(1)求的值，并写出的对称轴方程；
(2)在中角的对边分别是满足，求函数的取值范围．
【解析】（1）
．
，．
故
令，解得，
故对称轴方程为：
（2）由得，
．
，，,．
，，
，
18．（12分）
若数列的前项和满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有.
【解析】（1）证明：由，当时，可得；
当时，，所以，
∴时，，
∴数列是以为首项，为公比的等比数列；
∴，∴.
（2）证明：由（1）知，，∴，
∴，
∴,
因为，所以，所以即成立．
所以对任意的正整数，都有得证.
19．（12分）
手工刺绣是中国非物质文化遗产之一，指以手工方式，用针和线把人的设计和制作添加在任何存在的织物上的一种艺术，大致分为绘制白描图和手工着色、电脑着色，选线、配线和裁布三个环节，简记为工序A，工序，工序.经过试验测得小李在这三道工序成功的概率依次为，，.现某单位推出一项手工刺绣体验活动，报名费30元，成功通过三道工序最终的奖励金额是200元，为了更好地激励参与者的兴趣，举办方推出了一项工序补救服务，可以在着手前付费聘请技术员，若某一道工序没有成功，可以由技术员完成本道工序.每位技术员只完成其中一道工序，每聘请一位技术员需另付费100元，制作完成后没有接受技术员补救服务的退还一半的聘请费用.
(1)若小李聘请一位技术员，求他成功完成三道工序的概率；
(2)若小李聘请两位技术员，求他最终获得收益的期望值.
【解析】（1）记事件M为“小李聘请一位技术员成功完成三道工序”，
当技术员完成工序A时，小李成功完成三道工序的概率为：,
当技术员完成工序B时，小李成功完成三道工序的概率为：,
当技术员完成工序C时，小李成功完成三道工序的概率为：,
当技术员没参与补救时，小李成功完成三道工序的概率为：，
故小李成功完成三道工序的概率为；
（2）设小李最终收益为X，小李聘请两位技术员参与比赛，
有如下几种情况：
两位技术员都参与补救但仍未成功完成三道工序，此时，；
两位技术员都参与补救并成功完成三道工序，此时，；
只有一位技术员参与补救后成功完成三道工序，此时，;
技术员最终未参与补救仍成功完成三道工序，此时，；
故.
20．（12分）
如图1，在矩形中，，延长到点，且．现将沿着折起，到达的位置，使得，如图2所示．过棱的中点作于点．

(1)若，求线段的长；
(2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值．
【解析】（1）因为四边形为矩形，所以，
因为，，平面，
所以平面，平面，
所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以．
因为，点是的中点，所以，
又，平面，所以平面，
平面，所以．
又，，平面，
所以平面，平面，所以．
因为，所以，
所以，
即线段的长为．
（2）由（1）可知两两垂直，
所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以．
由（1）可知，是平面的一个法向量，
是平面的一个法向量．
设平面与平面的夹角为，
则，解得，
所以当平面与平面夹角的余弦值为时，的值为2．
21．（12分）
已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
【解析】（1）因为的离心率为，所以，
所以，渐近线方程，
因为点到一条渐近线距离为，所以，解得，
所以的方程为.
（2）直线与圆相交，理由如下：
设，则，
因为点在以为直径的圆上，所以，
所以，
即，
由（1）得，直线方程为：与双曲线方程联立，
消去得，，因为直线与都有除以外的公共点，
所以，所以，即，
同理当，.
，
所以直线方程为：，
令得，，
即直线经过定点.
因为，
所以点在圆内，故直线与圆相交.
22．（12分）
已知函数.
(1)若函数在点处的切线与函数的图象有公共点，求实数的取值范围；
(2)若函数和函数的图象没有公共点，求实数的取值范围.
【解析】（1）因为，所以，
则在点处的切线斜率为，
所以切线方程为，即.
由得，即.
因为函数定义域为，所以方程有非零实数根，
当时，，符合题意，当时，则，即，且，
所以实数a的取值范围是.
（2）因为函数和函数的图象没有公共点，所以，即无实根，
所以当时，无实根，
因为，即是偶函数，所以在上无实根.
，
记则，.
①当时，，又，则，所以，满足在上无实根.
②当时，在上有实根，不合题意，舍去.
③当时，，所以在单调递增，
则，所以在上单调递增，
所以，满足在上无实根.
④当时，因为在单调递增，且，，
则存在唯一的，使，列表得
所以当时，，则在单调递减，则，
又因为，且在上连续，
所以在上有实根，不合题意.
综上可知，实数的取值范围是.
-
0
+
↘
极小值
↗