2024年吉林省四平市中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2024年吉林省四平市中考数学一模试卷（含解析），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列各式的结果是负数的是（ ）
A．（﹣1）3B．（﹣2）2C．|﹣3|D．
2．（2分）“沙糖桔和蔓越莓的南北双向奔赴”爆火后，广西水果被越来越多的人熟知．据统计2023年广西水果总产量约为34000000吨，34000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．340×105B．34×106C．3.4×107D．0.34×108
3．（2分）在如图所示的四个几何体中，三视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．2x2﹣x2＝x2B．x3•x2＝x6C．x6÷x2＝x3D．（x2）3＝x5
5．（2分）如图，AB是⊙O的直径且，点C在圆上且∠ABC＝60°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD并过点A作AE⊥CD，垂足为E，则弦AD的长度为（ ）
A．B．C．4D．
6．（2分）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）在实数范围内分解因式：4x3y﹣4xy＝ ．
8．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
9．（3分）从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0中的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 ．
10．（3分）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 折．
11．（3分）如图，已知▱ABCD中，点E在CD上，＝，BE交对角线AC于点F．则＝ ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠DAE＝ 度．
13．（3分）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 ．
14．（3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：x+1﹣，其中x＝﹣3．
16．（5分）已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC＝BE，∠ABC＝∠E，求证：AB＝DE．
17．（5分）每年的6月26日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共4名学生参加“无毒青春健康人生”主题征文竞赛．
（1）若从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是 ．
（2）若从参赛的4名学生中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的概率．
18．（5分）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果购进第二批用了6300元．购进第一批书包的单价是多少元？
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
（1）在图①中，点D为△ABC的边AC的中点，在边AB上找一点E，连结DE，使△ADE的面积为△ABC面积的．
（2）在图②中，△ABC的面积为 ．
（3）在图②中，在△ABC的边AC上找一点F，连结BF，使△ABF的面积为．
20．（7分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x≤85为B级，65≤x≤75为C级，x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 名学生，α＝ ，D级对应的圆心角为 度；
（2）补全条形统计图；
（3）这组数据的中位数所在的等级是 ；
（4）若该校共有3000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
21．（7分）如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知OA＝BD＝40cm，OD＝120cm，∠ABC＝75°．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41，≈1.73）
（1）求支架顶点A到地面BC的距离；
（2）如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离．
22．（7分）如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B，tan∠AOB＝，AB＝2．
（1）求k的值；
（2）点C在这个反比例函数图象上，且∠BAC＝135°，求OC的长．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某部队加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为y1吨，加油飞机的加油油箱的余油量为y2吨，加油时间为t分钟，y1、y2与t之间的函数关系如图．回答问题：
（1）加油飞机的加油油箱中装载了 吨油；
（2）求加油过程中，运输飞机的余油量y1（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；
（3）运输飞机加完油后，以原来速度继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用？请通过计算说明理由．
24．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到题图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）如图3：在（2）的条件下，当点M恰好落在边AC上时，已知AD＝，AB＝3，求△PMN的面积．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°．点P是线段AC上不与点A重合的动点，过点P作PQ⊥AC交AB边于点Q．将△APQ绕点P顺时针旋转90°得到△A'PQ'，设线段AP的长为4t．
（1）直接用含t的代数式表示线段PQ的长．
（2）当点B落在线段A'Q'上时，求t的值．
（3）设△A'PQ'与△ABC重叠部分的面积为S，当重叠部分为四边形时，求S与t的函数关系式．
（4）若点M是AB边的中点，N是A'Q'的中点，当直线MN与边AB垂直时，直接写出t的值．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的任意一点（点P不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）当m＜0时，图象G的最大值与最小值的差为d，求出d与m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，点E为y轴上的一点，纵坐标为﹣2m，以EQ、PQ为邻边构造矩形PQEF，当抛物线在矩形PQEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
2024年吉林省四平市中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题2分，共12分）
1．（2分）下列各式的结果是负数的是（ ）
A．（﹣1）3B．（﹣2）2C．|﹣3|D．
【分析】分别根据二次根式的性质与化简、实数的运算法则、绝对值的性质进行计算即可．
【解答】解：（﹣1）3＝﹣1，（﹣2）2＝4，|﹣3|＝3，＝4，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简、实数的运算法则、绝对值的性质，熟知以上知识是解题的关键．
2．（2分）“沙糖桔和蔓越莓的南北双向奔赴”爆火后，广西水果被越来越多的人熟知．据统计2023年广西水果总产量约为34000000吨，34000000这个数用科学记数法表示为（ ）
A．340×105B．34×106C．3.4×107D．0.34×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：34000000＝3.4×107．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法，关键是掌握n的值的确定方法，当原数大于等于10时，n等于原数的整数数位减1．
3．（2分）在如图所示的四个几何体中，三视图相同的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形解答即可．
【解答】解：A．球的三视图均为圆，故本选项符合题意；
B．圆锥的俯视图是带圆心的圆，左视图和主视图是等腰三角形，故本选项不合题意；
C．三棱柱的左视图和主视图是长方形，俯视图是三角形，故本选项不合题意；
D．圆柱的左视图和主视图是长方形，俯视图是圆，故本选项不合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了几何体的三视图，熟知从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图是解答本题的关键．
4．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．2x2﹣x2＝x2B．x3•x2＝x6C．x6÷x2＝x3D．（x2）3＝x5
【分析】A．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；
B．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；
C．根据同底数幂相除法则进行计算，然后判断即可；
D．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．
【解答】解：A．∵2x2﹣x2＝x2，∴此选项计算正确，故此选项符合题意；
B．∵x3•x2＝x5，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
C．∵x6÷x2＝x4，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
D．∵（x2）3＝x6，∴此选项计算错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点评】本题主要考查了有关整式的计算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘除法则、幂的乘方法则和合并同类项法则．
5．（2分）如图，AB是⊙O的直径且，点C在圆上且∠ABC＝60°，∠ACB的平分线交⊙O于点D，连接AD并过点A作AE⊥CD，垂足为E，则弦AD的长度为（ ）
A．B．C．4D．
【分析】由圆周角定理得到∠ACB＝90°，由sinB＝sin60°＝，求出AC＝2，由等腰直角三角形的性质求出AE＝AC＝2，由tanD＝tan60°＝，求出DE＝2，而∠DAE＝90°﹣∠D＝30°，得到AD＝2DE＝4．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠B＝60°，AB＝4，
∴sinB＝sin60°＝＝，
∴AC＝2，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠ACB＝45°，
∵AE⊥CD，
∴△ACE是等腰直角三角形，
∴AE＝AC＝2，
∵∠D＝∠B＝60°，
∴tanD＝tan60°＝＝，
∴DE＝2，
∵∠DAE＝90°﹣∠D＝30°，
∴AD＝2DE＝4，
故选：C．
【点评】本题考查圆周角定理，解直角三角形，关键是由锐角的正弦求出AC的长，由等腰直角三角形的性质求出AE的长．
6．（2分）欧拉曾经提出过一道问题：两个农妇一共带着100个鸡蛋去市场卖，两人蛋数不同，卖得的钱数相同，于是甲农妇对乙农妇说：“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板．”乙农妇回答道：“你的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板．”问两人各有多少个鸡蛋？设甲农妇有x个鸡蛋，则根据题意可以列出方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】设甲农妇有x个鸡蛋，则乙农妇带了（100﹣x）个鸡蛋，根据关键描述语“如果你的鸡蛋换给我，我的单价不变，可以卖得15个铜板”、“的鸡蛋如果换给我，我单价不变，我就只能卖得个铜板”列出方程，此题得解．
【解答】解：根据题意，得，
整理得．
故选：A．
【点评】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
二、填空题（每小题3分，共24分）
7．（3分）在实数范围内分解因式：4x3y﹣4xy＝ 4xy（x+1）（x﹣1） ．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式．
【解答】解：4x3y﹣4xy
＝4xy（x2﹣1）
＝4xy（x+1）（x﹣1）．
故答案为：4xy（x+1）（x﹣1）．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握提取公因式法和平方差公式是解决本题的关键．
8．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 x≠2 ．
【分析】根据分式有意义的条件进行求解即可．
【解答】解：由题意，得：x﹣2≠0，
∴x≠2．
故答案为：x≠2．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分式的分母不为0是解题的关键．
9．（3分）从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数，作为关于x的一元二次方程x2﹣x+k＝0中的k值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 ．
【分析】所得的方程中有两个不相等的实数根，根的判别式Δ＝b2﹣4ac的值大于0，然后解不等式求出k的取值范围，从而得到k的值，再计算出概率即可．
【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝1﹣4k＞0，
解得k＜，
所以，满足k的数值有：﹣2，﹣1，0共3个，
故概率为．
【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
10．（3分）某商品进价4元，标价5元出售，商家准备打折销售，但其利润率不能少于10%，则最多可打 8.8 折．
【分析】利润率不能少于10%，意思是利润率大于或等于10%，相应的关系式为：（打折后的销售价﹣进价）÷进价≥10%，把相关数值代入即可求解．
【解答】解：设这种商品可以按x折销售，
则售价为5×0.1x，那么利润为5×0.1x﹣4，
所以相应的关系式为5×0.1x﹣4≥4×10%，
解得：x≥8.8．
答：该商品最多可以打8.8折，
故答案为：8.8．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用，解决本题的关键是得到利润率的相关关系式，注意“不能低于”用数学符号表示为“≥”；利润率是利润与进价的比值．
11．（3分）如图，已知▱ABCD中，点E在CD上，＝，BE交对角线AC于点F．则＝ ．
【分析】根据平行四边形的性质可得出CD∥AB，CD＝AB，由＝可得出CE＝AB，由CD∥AB，可得出△CEF∽△ABF，再利用相似三角形的性质即可求出的值．
【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB．
∵点E在CD上，＝，
∴CE＝CD＝AB．
∵CD∥AB，
∴△CEF∽△ABF
∴＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用平行四边形的性质找出△CEF∽△ABF及CE＝AB是解题的关键．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．通过观察尺规作图的痕迹，可以求得∠DAE＝ 25 度．
【分析】利用基本作图得到DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，则DB＝DA，∠DAE＝∠DAC，所以∠DAB＝∠B＝40°，再利用三角形内角和计算出∠BAC＝90°，则∠DAC＝50°，从而得到∠DAE＝25°．
【解答】解：由作图痕迹得DF垂直平分AB，AE平分∠DAC，
∴DB＝DA，∠DAE＝∠DAC，
∴∠DAB＝∠B＝40°，
∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣50°＝90°，
∵∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DAE＝×50°＝25°．
故答案为：25．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质和线段垂直平分线的性质．
13．（3分）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为 ．
【分析】由第①次折叠知△AD'B'是等腰直角三角形，由第②次折叠知，AB＝AB'，从而解决问题．
【解答】解：由第②次折叠知，AB＝AB'，
由第①次折叠知，∠B'AB＝45°，
∴△AD'B'是等腰直角三角形，
∴AB'＝AD'，
∴AB与宽AD的比值为，
故答案为：，
【点评】本题主要考查了折叠的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键．
14．（3分）如图，AB为半圆的直径，且AB＝4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为 2π ．
【分析】根据旋转的性质得S半圆AB＝S半圆A′B，∠ABA′＝45°，由于S阴影部分+S半圆AB＝S半圆A′B，+S扇形ABA′，则S阴影部分＝S扇形ABA′，然后根据扇形面积公式求解．
【解答】解：∵半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，
∴S半圆AB＝S半圆A′B，∠ABA′＝45°，
∴S阴影部分+S半圆AB＝S半圆A′B，+S扇形ABA′，
∴S阴影部分＝S扇形ABA′＝＝2π．
故答案为2π．
【点评】本题考查了扇形面积计算：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝lR（其中l为扇形的弧长）．求阴影面积常用的方法：直接用公式法；和差法；割补法．
三、解答题（每小题5分，共20分）
15．（5分）先化简，再求值：x+1﹣，其中x＝﹣3．
【分析】先通分，再计算减法即可化简，继而将x的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝﹣
＝
＝，
当x＝﹣3时，
原式＝﹣
＝．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
16．（5分）已知：如图，点D在△ABC的BC边上，AC∥BE，BC＝BE，∠ABC＝∠E，求证：AB＝DE．
【分析】先利用平行线的性质得∠C＝∠DBE，再根据“ASA”可证明△ABC≌△DEB，然后根据全等三角形的性质可得AB＝DE．
【解答】证明：∵BE∥AC，
∴∠C＝∠DBE．
在△ABC和△DEB中，
，
∴△ABC≌△DEB，
∴AB＝DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在应用全等三角形的性质时主要是得到对应角相等或对应线段相等．
17．（5分）每年的6月26日为“国际禁毒日”，甲、乙两所学校分别有一男一女共4名学生参加“无毒青春健康人生”主题征文竞赛．
（1）若从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是 ．
（2）若从参赛的4名学生中分别随机选2名，用画树状图或列表的方法求出这两名学生来自不同学校的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）将甲学校两人记为a、b，将乙学校两人记为c、d，画树状图得出所有等可能结果，从中找到这两名学生来自不同学校的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）从这4名学生中随机选1名，则选中的是男学生的概率是＝，
故答案为：；
（2）将甲学校两人记为a、b，将乙学校两人记为c、d，画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中这两名学生来自不同学校的结果数为8，
所以这两名学生来自不同学校的概率为＝．
【点评】此题考查的是列表法或树状图法求概率以及概率公式．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
18．（5分）某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，面市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果购进第二批用了6300元．购进第一批书包的单价是多少元？
【分析】首先设购进第一批书包的单价是x元，则购进第二批书包的单价是（x+4）元，根据题意可得等量关系：第一批购进的数量×3＝第二批购进的数量，由等量关系可得方程×3＝，解方程即可．
【解答】解：设购进第一批书包的单价是x元，则购进第二批书包的单价是（x+4）元，由题意得：
×3＝，
解得：x＝80，
经检验，x＝80是原方程的解．
答：购进第一批书包的单价是80元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄清题意，设出未知数，列出方程．列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答．必须严格按照这5步进行做题，规范解题步骤，另外还要注意完整性．
四、解答题（每小题7分，共28分）
19．（7分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
（1）在图①中，点D为△ABC的边AC的中点，在边AB上找一点E，连结DE，使△ADE的面积为△ABC面积的．
（2）在图②中，△ABC的面积为 4 ．
（3）在图②中，在△ABC的边AC上找一点F，连结BF，使△ABF的面积为．
【分析】（1）作出AB的中点E，连接DE即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）取格点P，Q，连接PQ交AC于点F，连接BF即可．
【解答】解：（1）如图1中，点E即为所求；
（2）△ABC的面积＝3×3﹣×1×3﹣×2×2﹣×1×3＝4．
故答案为：4．
（3）如图3中，点F即为所求．
【点评】本题考查作图﹣应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
20．（7分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分，规定：85≤x≤100为A级，75≤x≤85为B级，65≤x≤75为C级，x＜60为D级．现随机抽取某中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了 50 名学生，α＝ 24% ，D级对应的圆心角为 28.8 度；
（2）补全条形统计图；
（3）这组数据的中位数所在的等级是 B级 ；
（4）若该校共有3000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？
【分析】（1）由题意可知，一共抽取的学生数为：，a＝（12÷抽取总人数）×100%，D级对应的圆心角＝（4÷抽取总人数）×360°，计算求解即可；
（2）由题意可知，C级对应的人数为：50﹣12﹣24﹣4，然后补全条形统计图即可；
（3）根据中位数的定义求解即可；
（4）该校D级学生数为：3000×，计算即可．
【解答】解：（1）＝50（人）；
a＝×100%＝24%；
D级对应的圆心角＝×360°＝28.8°；
故答案为：50；24%；28.8．
（2）由题意可知，C级对应的人数为：50﹣12﹣24﹣4＝10（人），补全的条形统计图如图所示：
（3）将成绩按从小到大的顺序排序，可得中位数所在的等级是B级，
故答案为：B级．
（4）3000×＝240（人），
答：若该校共有3000名学生，则D级学生有240名．
【点评】本题考查的是条形统计图，用样本估计总体和扇形统计图，从图表中获取有用信息并绘制条形统计图是解题的关键．
21．（7分）如今，不少人在购买家具时追求简约大气的风格，图1所示的是一款非常畅销的简约落地收纳镜，其支架的形状固定不变，镜面可随意调节，图2所示的是其侧面示意图，其中OD为镜面，EF为放置物品的收纳架，AB，AC为等长的支架，BC为水平地面，已知OA＝BD＝40cm，OD＝120cm，∠ABC＝75°．（结果精确到1cm．参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，tan75°≈3.73，≈1.41，≈1.73）
（1）求支架顶点A到地面BC的距离；
（2）如图3，将镜面顺时针旋转15°，求此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离．
【分析】（1）如图2，过点A作AM⊥BC于点M，可求出AD＝80cm，AB＝120cm，然后在Rt△ABM中根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
（2）如图3，延长AD与地面交于点N，过O点向地面作垂线，垂足为G，根据题意可求出∠ONM＝60°，所以ON＝174.57cm，从而可求出OG的长度．
【解答】（1）如图2，过点A作AM⊥BC于点M，
∵OA＝BD＝40cm，OD＝120cm，
∴AD＝OD﹣OA＝80m，
∵BD＝40cm，
∴AB＝OD＝120cm，
∵∠ABC＝75°，
在Rt△ABM中，AM＝AB•sin75°≈116（cm），
答：支架顶点A到地面BC的距离约为116cm．
（2）如图3，延长AD与地面交于点N，过O点向地面作垂线，垂足为G，
在Rt△ABM中，AB＝120cm，∠ABC＝75°，
∴∠BAM＝90°﹣75°＝15°，
AM＝AB×sin∠ABC＝120×sin75°≈116.4cm；
在Rt△OAH中，∠O＝30°，OA＝40cm．∴OH＝20√3cm≈34.6
∵∠DAB＝15°，
∴∠ANM＝90°﹣∠DAB﹣∠BAM＝60°，
∴AN＝，
∵OA＝40cm，
∴ON＝134.57+40＝174.57cm，
在Rt△ONG中，
OG＝ON×sin∠ONG＝174.57×≈151cm．
答：此时收纳镜顶部端点O到地面BC的距离约为151cm．
【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义，本题属于中等题型．
22．（7分）如图，点A在反比例函数（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B，tan∠AOB＝，AB＝2．
（1）求k的值；
（2）点C在这个反比例函数图象上，且∠BAC＝135°，求OC的长．
【分析】（1）根据锐角三角函数求出OB，进而求出点A坐标，最后用待定系数法即可求出k；
（2）延长CA交x轴于D，求出点D坐标，进而求出直线AC的解析式，最后联立双曲线解析式求解，求出点C的坐标，即可求出OC．
【解答】解：（1）∵AB⊥x轴，
∴∠OBA＝90°，
在Rt△OBA中，AB＝2，tan∠AOB＝＝，
∴OB＝4，
∴A（4，2），
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×2＝8；
（2）如图，延长CA交x轴于D，
∵∠BAC＝135°，
∴∠BAD＝180°﹣∠BAC＝45°，
∵AB⊥x轴，
∴∠ABD＝90°，
∴∠ADB＝90°﹣∠BAD＝45°，
∴BD＝AB＝2，
∴OD＝6，
∴D（6，0），
设直线AC的解析式为y＝ax+b，
∵点A（4，2），D（6，0）在直线AC上，
∴，
∴，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+6①，
由（1）知，k＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝②，
联立①②解得，或，
∴C（2，4），
∴OC＝＝2，
即OC的长为2．
【点评】此题是反比例函数综合题，主要考查了锐角三角函数，待定系数法，等腰直角三角形的性质，解方程组，作出辅助线求出直线AC的解析式是解（2）的关键．
五、解答题（每小题8分，共16分）
23．（8分）某部队加油飞机接到命令，立即给另一架正在飞行的运输飞机进行空中加油．在加油的过程中，设运输飞机的油箱余油量为y1吨，加油飞机的加油油箱的余油量为y2吨，加油时间为t分钟，y1、y2与t之间的函数关系如图．回答问题：
（1）加油飞机的加油油箱中装载了 30 吨油；
（2）求加油过程中，运输飞机的余油量y1（吨）与时间t（分钟）的函数关系式；
（3）运输飞机加完油后，以原来速度继续飞行，需10小时到达目的地，油料是否够用？请通过计算说明理由．
【分析】（1）根据运输飞机在没加油时，油箱中的油量，就可以得到；
（2）可以用待定系数法求解；
（3）加进30吨而油箱增加29吨，说明加油过程耗油量为1吨，依此耗油量便可计算是否够用．
【解答】解：（1）由图象知，加油飞机的加油油箱中装载了30吨油；
故答案为：30；
（2）设y1＝kt+b，把（0，40）和（10，69）代入，
得，
解得 ，
∴输飞机的余油量y1（吨）与时间t（分钟）的函数关系式y1＝2.9t+40（0≤t≤10）；
（3）∵加油过程中加油飞机和运输飞机的速度和耗油量是一样的，题目说“运输飞机加完油后，以原速继续飞行”，
∴后来的运输飞机的速度和加油的时候的加油飞机速度和耗油量也是相同的，
∵在加油过程中，余油量由40吨到69吨一共增加了29吨，
∴运输飞机在加油的过程中也有耗油，而在加油过程10分钟内运输飞机一共耗掉了1吨油（输了30吨油，加完油后余油量为29吨），
∴每一分钟的耗油量为：1÷10＝0.1吨每分钟．
∴运输飞机的耗油量为每分钟0.1吨，
∴10小时耗油量为：10×60×0.1＝60，
∵60＜69，
∴油料够用．
【点评】本题考查了一次函数的应用，难度较大，准确读出图中信息，加入30吨油而油箱只增加29吨对解好本题很关键；另外待定系数法也是本题考查点之一．
24．（8分）如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：线段PM与PN的数量关系是 PM＝PN ，位置关系是 PM⊥PN ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到题图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）如图3：在（2）的条件下，当点M恰好落在边AC上时，已知AD＝，AB＝3，求△PMN的面积．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）由勾股定理可求EC的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形；
理由：由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，
∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）∵AD＝AE＝，∠DAE＝90°，点M是DE的中点，
∴DE＝AD＝2，AM＝DM＝ME＝DE＝1，AM⊥DE，
∵AB＝AC＝3，
∴MC＝2，
∴EC＝＝＝，
由（2）可得PM＝CE，△PMN是等腰直角三角形，
∴PM＝，
∴△PMN的面积＝×PM2＝．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM＝CE，PN＝BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是求出EC的长．
六、解答题（每小题10分，共20分）
25．（10分）如图，在△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝90°．点P是线段AC上不与点A重合的动点，过点P作PQ⊥AC交AB边于点Q．将△APQ绕点P顺时针旋转90°得到△A'PQ'，设线段AP的长为4t．
（1）直接用含t的代数式表示线段PQ的长．
（2）当点B落在线段A'Q'上时，求t的值．
（3）设△A'PQ'与△ABC重叠部分的面积为S，当重叠部分为四边形时，求S与t的函数关系式．
（4）若点M是AB边的中点，N是A'Q'的中点，当直线MN与边AB垂直时，直接写出t的值．
【分析】（1）由已知可得PQ∥BC，证明△APQ∽△ACB，由相似三角形的性质即可求解；
（2）根据相似三角形的判定和性质即可求解；
（3）分三种情况画出图形，用含t的式子表示出三角形的直角边，根据三角形面积的关系即可求解；
（4）根据线段中点的定义及线段的和差关系即可求解．
【解答】解：（1）∵PQ⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠APQ＝∠ACB＝90°，
∴PQ∥BC，
∴△APQ∽△ACB，
∴，
∴，
∵AC＝4，BC＝3，AP的长为4t，
∴，
∴PQ＝3t，
∴线段PQ的长为3t；
（2）如图1，
由题意得：A'P＝AP＝4t，PQ'＝PQ＝3t，AC＝4，BC＝3，
∴CQ'＝AP+PQ'﹣AC＝4t+3t﹣4＝7t﹣4，
∵PQ⊥AC，∠ACB＝90°，
∴PQ∥BC，
∴△BCQ′∽△APQ，
∴，即，
解得：t＝，
∴t的值是；
（3）当点Q′与点C重合时，如图2，
PC＝PQ＝AC﹣AP，即3t＝4﹣4t，
解得：t＝，
当0＜t≤时，如图3，
∵∠A＝∠A，∠AGQ′＝∠APQ，
∴△APQ∽△AGQ′，
∴，
∵AP＝4t，PQ＝3t，
∴AQ′＝7t，AQ＝5t，
∴AG＝t，GQ′＝t，
∴S＝×t×t﹣×4t×3t＝t2﹣6t2＝t2；
当＜t≤时，如图4，重叠部分不是四边形；
当≤t＜1时，如图5，
∵A'P＝4t，PQ＝3t，AC＝4，BC＝3，
∴S＝×3×4﹣×4t×3t＝6﹣6t2；
∴S与t的函数关系式为：当0＜t≤时，S＝t2；当≤t＜1时，S＝6﹣6t2；
（4）如图6，
∵MN⊥边AB，AP＝4t，PQ＝3t，
∴QA′＝A′P﹣PQ＝4t﹣3t＝t，
∴QM＝t，AQ＝5t，
∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝5，
∵点M是AB边的中点，
∴AM＝，
∵AQ+QM＝AM，
∴5t+t＝，
∴t＝．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了相似三角形的应用，平行线的性质，旋转的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，熟练掌握相似三角形的判定和性质．
26．（10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（﹣5，0）两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上的任意一点（点P不与点C重合），点P的横坐标为m，抛物线上点C与点P之间的部分（包含端点）记为图象G．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）当m＜0时，图象G的最大值与最小值的差为d，求出d与m的函数关系式，并写出m的取值范围；
（3）过点P作PQ⊥y轴于点Q，点E为y轴上的一点，纵坐标为﹣2m，以EQ、PQ为邻边构造矩形PQEF，当抛物线在矩形PQEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）分三种情况讨论：当﹣2＜m＜0时，d＝﹣m2﹣4m+5﹣5＝﹣m2﹣4m；当﹣4≤m≤﹣2时，d＝9﹣5＝4；当m＜﹣4时，d＝9﹣（﹣m2﹣4m+5）＝m2+4m+4；
（3）当E点与Q点重合时，m＝﹣1+或m＝﹣1﹣，由此可得当﹣1﹣＜m＜0或m＞﹣1+时，抛物线在矩形PQEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小．
【解答】解：（1）将点A（1，0）、B（﹣5，0）代入y＝﹣x2+bx+c，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣4x+5；
（2）∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣2，
当﹣2＜m＜0时，d＝﹣m2﹣4m+5﹣5＝﹣m2﹣4m；
当﹣4≤m≤﹣2时，d＝9﹣5＝4；
当m＜﹣4时，d＝9﹣（﹣m2﹣4m+5）＝m2+4m+4；
（3）当E点与Q点重合时，﹣2m＝﹣m2﹣4m+5，
解得m＝﹣1+或m＝﹣1﹣，
∴当﹣1﹣＜m＜0或m＞﹣1+时，抛物线在矩形PQEF内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，矩形的性质是解题的关键．