2023-2024学年浙江省宁波市象山中学九年级（下）创新素养大讲堂数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市象山中学九年级（下）创新素养大讲堂数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.是( )
A. 最大的负数B. 最小的非负数C. 绝对值最小的整数D. 最小的正整数
2.在代数式中，和的值各减少，则该代数式的值减少了( )
A. B. C. D.
3.如图，把的各边延长倍至，，，那么的面积是的面积的( )
A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍
4.满足式子的图象形状大致是( )
A. B.
C. D.
5.已知，，则( )
A. B. C. D.
6.如图，在矩形中，于点，交于点，平分交于点若是的中点，则的值是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
7.已知关于的方程无解，则的值是______．
8.将图矩形纸片沿折叠成图，再沿折叠成图，若图中，则的度数为______．
9.如果，则的值是______．
10.如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片沿折痕翻折，使点落在的中点处，则的长为______．
11.在直角坐标系中，坐标轴上的动点到定点，的距离之和取最小值时，点坐标是______．
12.反比例函数的图象上有两点，，它们的横坐标分别是，若是锐角，则的取值范围是______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.本小题分
已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集．
14.本小题分
某公司准备每周按个工时计算组装三种型号的无人机台，组装这些无人机每台所需工时和每台产值如下表．
如果每周准备组装台型号无人机，那么每周应组装型号、无人机各几台？
若一周型号无人机至少组装台，一周产值记为，求的最大值．
15.本小题分
若一个三角形有一边上的中线与这边的长相等，则称这个三角形为该边上的“中线三角形”在直角坐标系中，正方形的两直角边分别在坐标轴上，点的坐标是．
在正方形的边上找一点，使得是边上的“中线三角形”，求点的坐标．
直线与正方形的两边的交点为，，能否是“中线三角形”？若能，求该直线的函数表达式；若不能，试说明理由．
16.本小题分
已知二次函数，记该函数在上的最大值为，最小值为已知．
当时，求的值．
当，时，求的值．
已知，为整数，若为整数，求的值．
17.本小题分
如图，点是以为直径的上一点，过的中点作于点，交于点，连接与相交于点．
如图，若也是的直径，已知，求的长．
如图．
求证：；
若：：，求的值．
答案和解析
1.【答案】
解：，
A、是正数，故本选项不符合题意；
B、最小的非负数为，故本选项不符合题意；
C、绝对值最小的整数为，故本选项不符合题意；
D、是最小的正整数，故本选项符合题意，
故选：．
先计算出，再逐项分析即可．
本题考查了有理数的乘方，有理数的分类，绝对值的意义，求个相同因数积的运算，叫做乘方．
2.【答案】
解：在代数式中，和的值各减少，
知，，
，
该代数式的值减少了．
故选：．
在代数式中，和的值各减少，则可知，，所以有，则该代数式的值减少了．
本题为代数式求值题，比较基础，要认真读清题干，注意把握，确保得分．
3.【答案】
解：连接，，，
的各边延长倍至，，，
，，，，，，
，
故选：．
连接，，，根据等底同高三角形面积比等于底边之比求解即可得到答案
本题考查等底同高三角形面积的关系，三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．
4.【答案】
解：对于：
当，时，函数图象如图所求，
当，时，函数图象如图所求，
当，时，函数图象如图所求，
当，时，函数图象如图所求，
综上，的图象如图所求，
故选：．
，根据，，，，，，，四种情况画出图形即可得出结论．
本题主要考查函数图象，掌握绝对值意义是关键．
5.【答案】
解：，
，
代入，可得，
，
，，
．
．
故选：．
先将字母表示字母，代入，转化为非负数和的形式，根据非负数的性质求出、、的值，从而得到的值．
本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了非负数的性质以及代数式求值的方法．解题关键是将代数式转化为非负数和的形式．
6.【答案】
解：如图，连接，过作于，是的中点，
设，，
矩形，
，，，
平分，，
，
，，
≌，
，，
同理可得：≌，
，，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
解得：，
；
故选：．
如图，连接，过作于，是的中点，设，，表示，，证明，可得，从而可得答案．
本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角函数的应用，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7.【答案】或
解：去分母，得，
整理，得，
当时，整式方程无解；
当时，分式方程有增根或．
当时，，
解得；
当时，，此情况不存在，
综上，的值是或．
故答案为：或．
分式方程无解有两种情况：原方程存在增根；原方程约去分母化为整式方程后，整式方程无解，据此解答即可．
本题考查了分式方程无解的情况．掌握分式方程无解有两种情况是解题的关键．
8.【答案】
解：设；
四边形是矩形，
，，
，
根据折叠的性质，得，
，，
，
解得，
，，
，
，
故答案为：．
根据四边形是矩形，得到，，继而得到，根据折叠的性质，得，结合，，得到，计算即可．
本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，直角三角形的特征量，解答本题的关键是熟练掌握折叠的性质．
9.【答案】
解：方程中，当时，方程左边为，故；
将方程两边同除以，则有：
，即；
原式
．
将二次根式的被开方数和一元二次方程同时进行化简，最后都化成含的式子，然后再将二次根式进行化简．
本题的难点在于需将一元二次方程和二次根式的被开方数同时进行变形，形如的式子转化，应该立刻联想到的变形．
10.【答案】
解：设，由折叠的性质得：，作于，如图所示：
是中点，
，
四边形是菱形，，
，
，
，
，，
，，
在中，．
，
解得：，
由折叠的性质得：，
答案为：．
设，作于，由直角三角形的性质得出，，由在中，由勾股定理得出，解得即可．
本题考查了折叠问题，掌握菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质等知识是解题的关键．
11.【答案】或
解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时满足距离和最小，
设直线的解析式为，根据题意，得：
，
解得，
故解析式为，
故；
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时满足距离和最小，
设直线的解析式为，根据题意，得
，
解得，
故解析式为，
故；
故答案为：或．
作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时满足距离和最小，设直线的解析式为解得到解析式得到点坐标，再设直线的解析式为解出解析式得到点的坐标即可．
本题考查了线段和最小值，分点在轴和轴上两种情况求解是关键．
12.【答案】，且
解：根据题意得，，则，，，
当时，点，在第一象限，设，，
则，
化简得，解得，，
是锐角，
；
当时，点，在第三象限，是锐角，但点、和不能再一条直线上，
由点的坐标可知，直线解析式，
则，解得，
即．
综上所述，的取值范围是，且，
故答案为：，且．
由题意分别求得，和，分情况讨论点所在象限：点在第一象限，设，利用勾股定理求得的值，再结合锐角得到的范围；当点在第三象限，是锐角，则点、和不能再一条直线上，先求的直线的解析式，进一步求得成一条直线的交点，即可得到的范围．
本题主要考查反比例函数的性质、勾股定理以及解一元二次方程，掌握分类讨论是解题的关键．
13.【答案】解：
，
，
，，
化简得，
，
不等式的解集为，
不等式的解集为．
【解析】根据关于的不等式的解为，可以得到的正负，从而可以得到关于的不等式的解集．
本题考查解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
14.【答案】解：设每周应组装型号无人机台、无人机台，
根据题意得：，
解得：，
每周应组装型号无人机台、无人机台；
设每周组装型号、、无人机分别是台、台、台，
根据题意得：，
解得：，
，
一周型号无人机至少组装台，
，且，
，
当时，取最大值为万元，
的最大值是万元．
【解析】设每周应组装型号无人机台、无人机台，根据题意得，即可解得答案；
设每周组装型号、、无人机分别是台、台、台，可得：，故，而，由一次函数性质可得答案．
本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式．
15.【答案】解：四边形是正方形，点的坐标是，
，，
中点的坐标为，
如图所示，当点在上时，设；

是边上的“中线三角形”，
，
，
解得，
点的坐标为；
如图所示，当点在上时，设；

是边上的“中线三角形”，
，
，
解得负值舍去，
点的坐标为；
如图所示，当点在上时，设；

是边上的“中线三角形”，
，
，
解得负值舍去，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或；
能是“中线三角形”；理由如下：
在中，当时，，当时，，
直线与轴，轴的交点到原点的距离相同，
直线与轴，轴的夹角锐角都为，
当与，有交点时，一定不满足能否是“中线三角形”；
当当与，交于、时，则，
，
由正方形的性质可得，，
，
≌，
；
如图所示，当中线时，

，为的中点，
，，
同理，
、、三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
直线解析式为；
如图所示，当中线时，过点作于，设，点为中点，

，，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
，
，
，
直线解析式为；
综上所述，直线解析式为或．
【解析】利用正方形的性质得到，，进而得到中点的坐标为，再分当点在上时，当点在上时，当点在上时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可；
先证明直线与轴，轴的夹角锐角都为，则当与，有交点时，一定不满足能否是“中线三角形”；当与，交于、时，则，则，再证明，进而证明≌，得到；当中线时，由等腰直角三角形的性质得到，，同理，则、、三点共线，则，求出，得到，则，利用待定系数法即可求出直线解析式为；当中线时，过点作于，设，点为中点，则，，，由勾股定理得到，则，，求出，同理可得，则，求出，则直线解析式为．
本题主要考查了一次函数与几何综合，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
16.【答案】解：已知二次函数，记该函数在上的最大值为，最小值为．
当时，
，
时，函数取得最大值，且为，
最大值为，最小值为．
，
，
解得；
当，时，
．
，，
，
当时，
直线不在中，
取不到最小值；
，
时，函数有最大值为；时，函数有最小值，
，
，
解得；
当时，即，
当，
时，函数有最大值，时，函数有最小值；
，
，
解得，都不符合题意，舍去；
当，
时，函数有最大值，时，函数有最小值；
，
，
解得都不符合题意，舍去；
当时即，
时，函数取得最大值，时，函数取得最小值；
，
，
解得，符合题意；
综上所述，符合题意的值为或；
已知，为整数，
，
，
，
时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为，
最大值为，最小值为．
，
是整数，
，
，
，
，
解得．
【解析】根据结合抛物线开口向上，对称轴为直线，点与对称轴的距离越大，函数值越大，计算确定最大值为，最小值为结合，列式计算．
当，时，当时，函数变成确定抛物线开口向上，对称轴为直线，函数有最小值，且点与对称轴的距离越大，函数值越大，当时，最大值为，最小值为当，最大值为，最小值为当，最大值为，最小值为计算即可．
根据题意，，确定时，函数取得最大值，且为，时，函数取得最小值，且为，最大值为，最小值为，根据整数的性质，计算即可．
本题属于二次函数综合题，主要考查了抛物线的增减性应用，清晰的分类讨论是解答本题的关键．
17.【答案】解：如图：连接，

，，
是的中位线，
，，
，
∽，
，
，
，．
，，
，
，
，
，
∽，
，即，
负值舍去，
．
如图：连接，则，
，
，
，
，
，
．
，
∽，
，
，即，
．
如图：过点作于点，

设，，，
，
∽，
，即，，
，
，
，
∽，
，
，
，
由，
即．
，
解得．
．
【解析】如图：连接，则是的中位线，即，然后根据相似三角形的性质可得，再求出，得到，；最后根据勾股定理和垂径定理即可解答；
如图：连接，先证明∽可得，再结合并整理即可解答；过点作于点，设，，，再根据相似三角形的判定与性质可得、；进而得到∽，则，然后说明，再结合运用勾股定理和正切的定义即可解答．
本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关知识点成为解题的关键．无人机型号
工时个
产值万元台