2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省宁波市慈溪市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2的开口方向是( )
A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右
2.已知AB是半径为6的圆的一条弦，则AB的长不可能是( )
A. 5B. 8C. 10D. 15
3.已知2x=5y(y≠0)，则下列比例式成立的是( )
A. x2=y5B. x5=y2C. xy=25D. x2=5y
4.如图，四边形ABCD和AB′CD是以点O为位似中心的位似图形.若OA：OA=1：3，四边形ABCD的周长是3，则四边形A′B′C′D′的周长是( )
A. 1
B. 3
C. 9
D. 27
5.对一批衬衣进行抽检，得到合格衬衣的频数表如下，若出售1200件衬衣，则其中次品的件数大约是( )
A. 12B. 24C. 1188D. 1176
6.小明沿着坡比为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了( )
A. 2 5mB. 5mC. 5 3mD. 10m
7.如图，在⊙O中，∠A=30°，劣弧AB的度数是( )
A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
8.如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系h=20t−5t2，下列说法正确的是( )
A. 小球的飞行高度为15m时，小球飞行的时间是1s
B. 小球飞行3s时飞行高度为15m，并将继续上升
C. 小球的飞行高度可以达到25m
D. 小球从飞出到落地要用4s
9.二次函数y=2x2+4x+m+1(m为常数)的图象过A(−4,y1)，B(−2,y2)，C(1,y3)，D(4,y4)四个点，下列说法一定正确的是( )
A. 若y1y2>0，则y3y4>0B. 若y1y4>0，则y2y3>0
C. 若y3y4<0，则y1y2>0D. 若y2y3<0，则y1y4>0
10.在一次课题学习中，某学习小组受赵爽弦图的启发，将正方形改编成矩形，如图所示，由两对全等的直角三角形(△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG)和矩形EFGH拼成大矩形ABCD.连结CH，设∠CHG=α，∠CDG=β.若BC=2AB，tanβ=tan2α，则矩形EFGH与矩形ABCD的面积比为( )
A. 1334B. 717C. 1534D. 817
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.若两个相似多边形的相似比为1：2，则它们面积的比为______．
12.有两辆车按1，2编号，洪、杨两位老师可任意选坐一辆车，则两位老师同坐2号车的概率为______．
13.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径为2.5米.若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是______米.
14.在Rt△ABC中，∠C=90°.若tanA=34，则sinB的值是______．
15.如图，抛物线y=ax2+bx经过点A(2,0)和点B(−1,−3).作射线BA，P是线段上的动点，将射线BA绕点P逆时针旋转90°得射线B′A′.若射线B′A与抛物线y=ax2+bx只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围为______．
16.如图，△ABC内接于⊙O，高AD，CE相交于点F，若AF=AO，CF=5，BC= 39，则⊙O的半径为______，AB的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：2sin60°+cs230°−tan60°+tan45°．
18.(本小题6分)
在一个不透明的袋中装有1个红球、1个白球和1个黑球，共3个球，它们除颜色外都相同．
(1)求从袋中摸出一个球是红球的概率．
(2)摸出1个球，记下颜色后放回，并搅匀，再摸出1个球，求两次摸出的球颜色不相同的概率(要求画树状图或列表)．
19.(本小题6分)
如图是8×6的正方形网格，已知格点△ABC(顶点在小正方形顶点处的三角形称为格点三角形)，请按下列要求完成作图(要求保留作图痕迹，不要求写作法和结论)．

(1)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°，得到△AB1C1，请在图1中作出△AB1C1(点B1与点B是对应点).(2)在图2中，仅用无刻度直尺在线段AB找一点P，使APPB=34．
20.(本小题8分)
如图1是一种可折叠单面A字展架，其主体部分的示意图如图2，由展板BC、支架OA(可绕O点转动)和活动杆DFE(D,E,F均为可转动支点)组成.该展架是通过改变∠DFE的大小使其打开或收拢，在使用该展架时为了防止倾倒，∠AOB不得小于30°.现测得OD=OE=60cm，AD=BE=40cm，DF=EF=15cm．

(1)求支架底端A，B张开的最大距离．
(2)工作人员转动支点，使FD与OA垂直后并固定(如图3)，请你判断此时是否符合规范使用的要求？并说明理由．
(参考数据：sin28°≈0.47，cs28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25)
21.(本小题8分)
如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，∠ABC=60°．
(1)求∠CAD的度数；
(2)若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
22.(本小题10分)
【问题背景】综合实践活动课上，老师给每个小组准备了一张边长为30cm的正方形硬纸板，要求用该硬纸板制作一个无盖的纸盒.怎样制作能使无盖纸盒的容积最大呢？
【建立模型】如图1，小慈所在小组从四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，再折成如图2所示的无盖纸盒，记它的容积为y cm3．
任务1请你写出y关于x的函数表达式．
【探究模型】为了直观反映无盖纸盒的容积y随x的变化规律，小慈类比函数的学习进行了如下探究．
任务2 ①列表：请你补充表格中的数据．
②描点：把上表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点．
③连线：用光滑的曲线按自变量从小到大的顺次连结各点．
【解决问题】画完函数的图象后，小慈所在的小组发现，在一定范围内y随x的增大而增大，在一定范围内y随x的增大而减小．
任务3利用函数图象回答：当x为何值时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大？最大值为多少？
23.(本小题10分)
已知二次函数y=x2−2tx+t2−t．
(1)求该二次函数图象的顶点坐标(用含t的代数式表示)．
(2)点P(m,n)在该二次函数图象上，其中t−2≤m≤t+1．
①当t=2时，求n的取值范围．
②请探究n的最大值与最小值之差是否会随着t的变化而变化.若不变，请求出这个差；若变化，请用含t的代数式表示这个差．
24.(本小题12分)
如图1，以Rt△ABC的直角边AB为直径画⊙O，过A作斜边AC的垂线交⊙O于点D，连结CD，交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．

(1)求证：∠ACD=∠EBC．
(2)如图2，当△ABC是等腰直角三角形时．
①求∠BCD的正切值；
②求CEBE的值．
(3)若AB=1，设CD=x，CEEF=y，求y关于x的函数表达式．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=x2中，a=1>0，
∴抛物线开口向上，
故选：A．
根据a>0，得出抛物线开口向上，即可求解．
本题考查了二次函数图象的性质，理解二次项系数大于0，抛物线开口向上是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵AB是半径为6的圆的一条弦，
∴0∴四个选项中，只有D选项符合题意，
故选：D．
根据直径是圆中最长的弦进行求解即可．
本题主要考查了圆的认识，熟知直径是圆内最长的弦是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵2x=5y，
∴x5=y2．
故选：B．
本题须根据比例的基本性质对每一项进行分析即可得出正确结论．
本题主要考查了比例的性质，在解题时要能根据比例的性质对式子进行变形是本题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD和AB′CD是以点O为位似中心的位似图形，
∴四边形ABCD∽AB′CD，AB/​/A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴ABA′B′=OAOA′=13，
∴四边形ABCD的周长：四边形A′B′C′D′的周长=1：3，
∵四边形ABCD的周长是3，
∴四边形A′B′C′D′的周长9，
故选：C．
根据位似图形的概念得到四边形ABCD∽AB′CD，AB/​/A′B′，得到△OAB∽△OA′B′，求出ABA′B′=OAOA′=13，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可．
本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：1200×(1−48+98+144+193+489+784+98150+100+150+200+500+800+1000)=27，27比较接近24，
故选：B．
求出样本的次品率，即可求出总体中次品的数量，再做出选择即可．
考查统计表所反映数量之间的关系，计算出次品率是正确解答的关键．
6.【答案】A
【解析】解：由题意得，BC：AB=1：2，
设BC=x，AB=2x，
则AC= AB2+BC2= x2+(2x)2= 5x=10，
解得：x=2 5，
故他升高了2 5m.
故选：A．
根据题意作出图形，可得BC：AB=1：2，设BC=x，AB=2x，根据勾股定理求出AC，然后根据AC=10m，求出x的值．
此题考查了解直角三角线的应用，解答本题的关键是根据题意构造直角三角形，并解直角三角形，注意掌握数形结合思想的应用．
7.【答案】D
【解析】解：连接OB．
∵OA=OB，
∴∠A=∠B=30°，
∴∠AOB=180°−30°−30°=120°，
∴AB的度数为120°．
故选：D．
连接OB，求出∠AOB，可得结论．
本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
8.【答案】D
【解析】解：20t−5t2=15的两根t1=1与t2=3，即h=15时所用的时间，
∴小球的飞行高度是15m时，小球的飞行时间是1s或3s，故A错误；
h=20t−5t2=20−5(2−t)2，
∴对称轴直线为：t=2，最大值为20，故D错误；
∴t=3时，h=15，此时小球继续下降，故B错误；
∵当h=0时，t1=0，t2=4，
∴t2−t1=4，
∴小球从飞出到落地要用4s，故C正确．
故选：D．
根据函数表达式，可以求出h=0的两根，两根之差即为小球的飞行到落地的时间，求出函数的最大值，即为小球飞行的最大高度；然后根据方程20t−5t2=15的意义为h=15时所用的时间，据此解答．
本题主要考查了二次函数的应用，本题较为简单，正确理解函数值的意义是本题解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵y=2x2+4x+m+1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=−42×2=−1，
∵4−(−1)>−1−(−4)>1−(−1)>−1−(−2)，
∴y4>y1>y3>y2，
若y4>0>y1>y3>y2，则y1y2>0，y3y4<0，选项A错误．
若y4>y1>y3>0>y2，则y1y4>0，y2y3<0，选项B错误．
若y4>y1>0>y3>y2，则y3y4<0，则y1y2<0，选项C错误．
若y2y3<0，则y1>y4>y2>0>y3，
∴y1y4>0，选项D正确．
故选：D．
通过解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而判断出y1>y4>y2>y3，然后分别判断四个选项求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质．
10.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，BC=2AB，
∴AB=CD，AD=BC，
∴AD=2CD，
设CG=x，HG=y，
∵△AHD≌△CFB，△ABE≌△CDG，且这四个三角形均为直角三角形，
∴∠AHD=∠DGC=90°，
∴∠DAH+∠ADH=∠ADH+∠CDG=90°，
∴∠CDG=∠DAH，
∴△ADH∽△DCG，
∴DHCG=AHDG=ADCD=2，
∴DH=2x，
∴DG=2x+y，AH=4x+2y，EH=3x+2y，
∵∠CHG=α，∠CDG=β，tanβ=tan2α，
∴x2x+y=x2y2，即2x2+xy=y2，
∴y2−xy−2x=0，
∴(y−2x)(y+x)=0，
∵y+x≠0，
∴y=2x，
∴DG=4x，DC= 17x，EH=3x+2y=7x，
∴AD=2 17x，
∴S矩形EFGHS矩形ABCD=7x×2x 17x×2 17x=717，
故选：B．
设CG=x，HG=y，证△ADH∽△DCG，用含x、y的式子表示DG、AH、EH，再根据tanβ=tan2α，推出x与的关系，最后利用勾股定理求出DC、EH和AD的长，代入矩形面积计算即可．
本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质，锐角三函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
11.【答案】1：4
【解析】解：相似多边形的相似比是1：2，
面积的比是相似比的平方，因而它们的面积比为1：4．
故答案为：1：4．
根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算．
本题考查了相似多边形的性质；熟记相似多边形的性质是关键．
12.【答案】14
【解析】解：画树状图为：
共有4种等可能的结果，其中两位老师同坐2号车的结果数为1，
所以两位老师同坐2号车的概率=14．
故答案为：14．
画树状图展示所以4种等可能的结果，再找出两位老师同坐2号车的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
13.【答案】1
【解析】解：根据题意和圆的性质知点C为AB的中点，
连接OC交AB于D，
则OC⊥AB，AD=BD=12AB=2米，
在Rt△OAD中，OA=2.5米，AD=2米，
∴OD= OA2−AD2= (2.5)2−22=1.5(米)，
∴CD=OC−OD=2.5−1.5=1(米)，
即点C到弦AB所在直线的距离是1米，
故答案为：1．
连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=2米，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC−OD即可求解．
本题考查的是垂径定理的应用，涉及到圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．
14.【答案】45
【解析】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=34，
∴设BC=3x，则AC=4x，AB= AC2+BC2=5x．
∴sinB=ACAB=45．
故答案为：45．
根据tanA=34设出两直角边的长，再根据勾股定理求出斜边的长，运用三角函数的定义解答．
本题考查了勾股定理和锐角三角函数的定义，比较简单．
15.【答案】−1≤x<1
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx与x轴的交点是A(2,0)和(0,0)，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
如图，当P点与B重合时，射线B′A与抛物线y=ax2+bx只有一个公共点，此时P点的横坐标为−1，
当P点在对称轴上时，则B′在抛物线上，射线B′A与抛物线y=ax2+bx有2个公共点，此时P点的横坐标为−1，
∴若射线B′A与抛物线y=ax2+bx只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围为−1≤x<1．
故答案为：−1≤x<1．
求得抛物线的对称轴，观察图象，当P点与B重合时，射线B′A与抛物线y=ax2+bx只有一个公共点，此时P点的横坐标为−1，当P点在对称轴上时，则B′在抛物线上，射线B′A与抛物线y=ax2+bx有2个公共点，此时P点的横坐标为−1，据此即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化−旋转，数形结合是解题的关键．
16.【答案】 13 3 3
【解析】解：作直径BK，连接AK，CK，
∵BK是圆是的直径，
∴∠BCK=∠BAK=90°，
∴KC⊥BC，
∵AD⊥BC，
∴AF//KC，
同理：AK//CF，
∴四边形AFCK是平行四边形，
∴AK=CF=5，CK=AF=AO，
∴CK：BK=1：2，
∵∠BCK=90°，
∴sin∠CBK=CKBK=12，
∴∠CBK=30°，
∴CK= 33BC= 33× 39= 13，
∴AO= 13，
∴⊙O的半径是 13，
∵∠BAK=90°，AK=5，BK=2AO=2 13，
∴AB= BK2−AK2=3 3．
故答案为： 13，3 3．
作直径BK，连接AK，CK，由圆周角定理推出∠BCK=∠BAK=90°，而AD⊥BC，判定AF//KC，同理：AK//CF，推出四边形AFCK是平行四边形，得到AK=CF=5，CK=AF=AO，由sin∠CBK=CKBK=12，得到∠CBK=30°，求出CK= 33BC= 13，得到⊙O的半径是 13，由勾股定理求出AB= BK2−AK2=3 3．
本题考查三角形的外接圆与外心，关键是作直径BK，连接AK，CK，证明四边形AFCK是平行四边形，得到AK=CF=5，CK=AF=AO，由锐角的正弦求出∠CBK=30°．
17.【答案】解：2sin60°+cs230°−tan60°+tan45°
=2× 32+( 32)2− 3+1
= 3+34− 3+1
=74．
【解析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答．
本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
18.【答案】解：(1)由题意得，从袋中摸出一个球是红球的概率为13．
(2)画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球颜色不相同的结果有：(红，白)，(红，黑)，(白，红)，(白，黑)，(黑，红)，(黑，白)，共6种，
∴两次摸出的球颜色不相同的概率为69=23．
【解析】(1)直接利用概率公式可得答案．
(2)画树状图得出所有等可能的结果数以及两次摸出的球颜色不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)如图1中，△AB1C1即为所求；
(2)图2中，点P即为所求．

【解析】(1)利用旋转变换的性质分别作出B，C的对应点B1，C1即可；
(2)取格点E，F，连接EF交A一点P，点P即为所求．
本题考查作图−旋转不变换，解题的关键是掌握旋转变换的性质．
20.【答案】解：(1)当D，E，F三点共线时，AB最大，过点O作OH⊥AB，如图：

由等腰三角形的性质可知OH经过点F，
∵OD=OE=60cm，AD=BE=40cm，
∴AD=OB=100cm，AH=BH，
∴DFOD=AHOA，即1560=AH100，
解得AH=25，
∴AB=2AH=50cm；
(2)不符合要求，连接OF，如图：

∵DF⊥OA，
∴∠ODF=90°，
∴tan∠DOF=DFOD=1560=0.25，
∴∠DOF=14°，
∵OD=OE，DF=EF，
∴△DOF≌△EOF(SSS)，
∴∠EOF=∠DOF=14°，
∴∠AOB=28°，
∵28°<30°，
∴此时不符合规范使用的要求．
【解析】(1)当D，E，F三点共线时，AB最大，根据锐角三角函数即可解答；
(2)连接OF，先根据锐角三角函数求出∠DOF，即可求出∠AOB，再判断即可．
本题考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形的解题关键．
21.【答案】解：(1)∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠ADC=∠ABC=60°，
∴∠CAD=90°−∠ADC=30°；
(2)连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，

∵∠CAD=30°，⊙O的半径为1，
∴OQ=12OA=12，
由勾股定理得：AQ= OA2−OQ2= 12−(12)2= 32，
∵OQ⊥AC，
∴AC=2AQ= 3，
由圆周角定理得：∠AOC=2∠ABC=120°，
∴S阴影部分=S扇形AOC−S△AOC
=120π×12360−12× 3×12
=π3− 34．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠ADC=∠ABC=60°，根据直角三角形的性质计算即可；
(2)连接OC，过O作OQ⊥AC于Q，根据勾股定理求出AQ，再根据垂径定理求出AC，根据圆周角定理求出∠AOC，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案．
本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、扇形面积公式是解题的关键．
22.【答案】2000 1000
【解析】解：任务1y=x(30−2x)2
=4x3−120x2+900x(0任务2①在y=4x3−120x2+900x中，
当x=5时，y=2000；当x=10时，y=1000，
故答案为：2000，1000；
②如图1所示，
③如图2所示：
任务3由图可知，当x为5时，小慈所在小组设计的无盖纸盒的容积最大，最大值为2000cm3．
任务1根据长方体的体积公式可以列出y关于x的函数表达式，根据x的实际意义可直接分析出其取值范围；
任务2 ①分别将x=5和10代入函数关系式可求出y的值；②根据表内数据可在平面直角坐标系上描点；③可直接用平滑曲线连接；
任务3根据数形结合的思想可直接从图象中估出x的为5时，容积最大．．
本题考查了函数的性质，画函数图象的步骤列表、描点、连线，以及数形结合思想的运用等，解题关键是要熟练掌握函数的定义及数形结合的思想．
23.【答案】解：(1)∵y=x2−2tx+t2−t=(x−t)2−t，
∴该二次函数图象的顶点坐标为(t,−t)；
(2)①当t=2时，则二次函数y=x2−4x+2，0≤m≤3．
∵y=x2−4x+2=(x−2)2−2，
∴抛物线开口向上，x=2时有最小值−2，
当x=0时，y=2，
∴n的取值范围是−2≤n≤2；
②二次函数y=x2−2tx+t2−t的图象开口向上，对称轴为直线x=t，顶点坐标为(t,−t)，
∵点P(m,n)在该二次函数图象上，其中t−2≤m≤t+1．
∴n的最小值为t，最大值为x=t−2时的值，即n的最大值为(t−2)2−2t(t−2)+t2−t=4−t，
∴n的最大值与最小值之差=4−t−t=−2t+4，
∴n的最大值与最小值之差会随着t的变化而变化，n的最大值与最小值之差=−2t+4．
【解析】(1)把解析式化成顶点时，即可求出二次函数图象的顶点坐标；
(2)①当t=2时，则二次函数y=x2−4x+2，0≤m≤3，即可求得n的取值范围是−2≤n≤2；
②由题意可知n的最小值为t，最大值为x=t−2时的值，即n的最大值为(t−2)2−2t(t−2)+t2−t=4−t，可得n的最大值与最小值之差=4−t−t=−2t+4．
本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AE=AE，
∴∠D=∠ABE，
∵∠ABC=90°，AD⊥AC，
∴∠D+∠ACD=∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠EBC；
(2)解：①过点D作DG⊥BC交延长线于点G，连接OD，
设圆的半径为r，
∵△ABC是等腰直角三角形，∠DAC=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴四边形BODG是正方形，
∴DG=BG=r，BC=2r，
∴tan∠BCD=13；
②设圆的半径为r，则AD= 2r，AC=2 2r，
过E点作EH⊥BC交于H点，
∴tan∠EBC=tan∠ACD=12，
∴BH=2EH，BE= 5EH，
∵tan∠BCD=13，
∴HC=3EH，CE= 10EH，
∴CEBE= 2；
(3)连接AE，
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB=90°=∠DAC，
∵∠ADC=∠ABE，
∴△ABE∽△CDA，
∴ACEA=x，
∵∠FAE=∠FCA，∠AFE=∠CFA，
∴△FAE∽△FCA，
∴FCFA=FAFE=ACAE=x，
∴FCFE=FA2FE2=x2，
∴y=CEFE=x2−1．
【解析】(1)利用同弧所对的圆周角相等，通过等量代换证明即可；
(2)①过点D作DG⊥BC交延长线于点G，连接OD，设圆的半径为r，证明四边形BODG是正方形，再求解即可；
②设圆的半径为r，则AD= 2r，AC=2 2r，过E点作EH⊥BC交于H点，则tan∠EBC=tan∠ACD=12，结合tan∠BCD=13，推导出HC=3EH，CE= 10EH，即可得到CEBE= 2；
(3)连接AE，证明△ABE∽△CDA和△FAE∽△FCA，推导y与x的关系即可．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质，正方形的判定及性质是解题的关键．抽取件数(件)
50
100
150
200
500
800
1000
合格频数
48
98
144
193
489
784
981
x
0
2.5
5
7.5
10
12.5
15
y
0
1562.5
______
1687.5
______
312.5
0