浙江省杭州市西湖区云城中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1. 下列交通标志是中心对称图形的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
2. 下列方程中，属于一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义“只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程”解答即可．
【详解】，含有2个未知数，故A错误；
，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2，是整式方程，故B正确；
，不是整式方程，故C错误；
，不是整式方程，故D错误．
故选：B
【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，掌握一元二次方程满足的3个要求①只含有一个未知数；②未知数项的最高次数是2；③整式方程是关键．
3. 若是最简二次根式，则的值可能是（ ）
A. 24B. 25C. 26D. 27
【答案】C
【解析】
【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可．
【详解】解：A选项，，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
B选项，，不最简二次根式，故该选项不符合题意；
C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
D选项，，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是最简二次根式的有关知识，由题意根据最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
4. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，，若，，则BD的长是（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 22
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分的性质，可得AO=6，在Rt△ABO中，由勾股定理可求得BO的长为10，进而可求得BD的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，，
∴，，
∵，
∴在Rt△ABO中，由勾股定理可得，
，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形对角线的性质、勾股定理等，熟练掌握平行四边形对角线的性质是解题的关键．
5. 若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中（ ）
A. 至少有一个角是钝角或直角B. 没有一个角是锐角
C. 每一个角都是钝角或直角D. 每一个角是锐角
【答案】D
【解析】
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】解：用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，
首先应该假设这个四边形中每一个角是锐角，
故选：D．
【点睛】本题考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
6. 一组数据2，2，2，3，4，7，8，若加入一个整数，一定不会发生变化的统计量是（ ）
A. 众数B. 平均数C. 中位数D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】依据众数、平均数、中位数、方差的定义逐一进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A、原数据的众数是2，加入一个整数后，众数仍为2，符合题意，选项正确；
B、原数据的平均数是4，加入一个整数后，若，则平均数发生变化，不符合题意，选项错误；
C、原数据的中位数是3，加入一个整数后，若，则中位数发生变化，不符合题意，选项错误；
D、原数据加入一个整数后，方差一定发生变化，不符合题意，选项错误，
故选A
【点睛】本题考查了众数、平均数、中位数、方差，熟练掌握相关定义是解题关键．
7. 某地区1月初疫情感染人数a万人，通过社会各界的努力，3月初感染人数减少至b万人．设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意列方程为（ ）
A. a（1﹣2x）＝bB.
C. a（1+2x）＝bD.
【答案】B
【解析】
【分析】等量关系为：1月感染人数×（1-下降率）2=3月感染人数，把相关数值代入计算即可．
【详解】设1月初至3月初该地区感染人数的月平均下降率为x，根据题意得：
，
故选 ：B．
【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找好等量关系是解决本题的关键．
8. 若一元二次方程两根分别是与，则这两根分别是（ ）
A. 1，4B. 1，C. 2，D. 3，0
【答案】C
【解析】
【分析】题目主要考查解一元二次方程及方程根的性质，根据题意得出方程的两根互为相反数，然后列式求解即可．
【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数，
∴，
解得，
∴，
故选：C．
9. 如图，在中，点E，点F分别是和的中点，平分交于点D，若，则边的长为（ ）
A. 0.5B. 1C. 1.5D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形中位线的判定与性质是解题的关键．先根据线段中点的定义得到；然后由三角形中位线的性质和角平分线的定义判定，；则，所以．
【详解】解：∵点E是的中点，，
∴．
∵点E，点F分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴．
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴．
∴．
故选：B．
10. 已知方程甲：，方程乙；都是一元二次方程，其中，以下说法中错误的是（ ）
A. 若方程甲有两个不相等的实数根，则方程乙没有实数根
B. 若方程甲有两个相等的实数根，则方程乙也有两个相等的实数根
C. 若是方程甲的解，则也是方程乙的解
D. 若既是方程甲的解，又是方程乙的解，那么n可以取1或
【答案】D
【解析】
【分析】由方程甲有两个不相等的实数解可知于4a2-4b2＜0，根据判别式的意义可对A进行判断；由方程甲有两个相等的实数解可知于4a2-4b2=0，根据判别式的意义可对B进行判断；若x=1是方程甲的解，则可得出a=-b，根据判别式的意义可对C进行判断；若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，则，解方程组求得n1=n2=1，可对D进行判断．
【详解】解：若方程甲有两个不相等的实数解，则△=（2b）2-4a•a＞0，
解得4b2＞4a2，
所以4a2-4b2＜0，
而方程乙：bx2+2ax+b=0中，△=（2a）2-4b•b=4a2-4b2＜0，
所以方程乙没有实数解，故说法A正确；
若方程甲有两个相等的实数解，则△=（2b）2-4a•a=0，
解得4b2=4a2，
所以4a2-4b2=0，
而方程乙：bx2+2ax+b=0中，△=（2a）2-4b•b=4a2-4b2=0，
所以方程乙有两相等实数解，故说法B正确；
若x=1是方程甲的解，所以a+2b+a=0，即a=-b，
则方程乙：bx2+2ax+b=0变为bx2-2bx+b=0，
解得x1=x2=1，
所以x=1也是方程乙的解，故说法C正确；
若x=n既是方程甲的解，又是方程乙的解，
所以，
①-②得（a-b）n2-2（a-b）n+（a-b）=0，
∵a≠b，
∴n2-2n+1=0，
解得n1=n2=1，
故说法D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．
二、填空题（每题3分，共18分）
11. 二次根式有意义，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求解即可．
【详解】解：∵二次根式有意义；
∴；
∴；
故答案为：．
12. 已知一个多边形的每个外角都是72度，那么它是________边形．
【答案】五
【解析】
【分析】题目主要考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的外角和为360度是解题关键．
根据多边形的外角和与边数的关系求解即可．
【详解】解：∵一个多边形的每个外角都是72度，
∴多边形的边数为，
故答案为：五．
13. 用配方法将方程变形为，则________．
【答案】6
【解析】
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：6．
14. 已知一组数据，，，的平均数是15，方差是2，那么另一组数据，，的平均数是________，方差是________．
【答案】 ①. 26 ②. 8
【解析】
【分析】本题考查了平均数和方差的计算，解题的关键是掌握方差的计算公式．
根据平均数的计算方法得出另一组数据，，的平均数为，然后利用方差的计算公式代入求解即可．
【详解】解：这组数据，，的平均数为15，则另一组数据，，的平均数为，
∵数据，，的方差为：
，
∴数据，，的方差为：
，
故答案为：26；8．
15. 商场某种商品进价为120元/件，售价130元/件时，每天可销售70件；售价单价高于130元时，每涨价1元，日销售量就减少1件，据此，若销售单价为 __________元时，商场每天盈利达1500元．
【答案】150或170##170或150
【解析】
【分析】设涨价x元，根据单件利润=售价－进价、利润=单件利润×销售量列出一元二次方程，然后解方程即可解答．
【详解】解：设涨价x元，根据题意得：（130+x－120）（70－x）=1500，
整理得：x2－60x+800=0，
解得：x1=20，x2=40，
所以销售单价为130+20=150元或130+40=170元，
故答案为：150或170．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解答的关键．
16. 如图，在平行四边形中，，点E、F分别在边和上，．
（1）若，则________；
（2）若点E、F在分别是边和的中点，则________．
【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键．
（1）连接，则由， 即可求出底边的比值；
（2）延长与延长线交于点M，过点M作交的延长线于点N， 证明，解直角三角形求得的长度，进而求解．
【详解】解：（1）连接，如图，
∵平行四边形，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）延长与延长线交于点M，过点M作交的延长线于点N，如图，
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
在和，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，
∴，
∴，
故答案：．
三、解答题（共8题，共72分）
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）2
（2）0
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质以及二次根式的混合运算、完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先运用二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式，即可作答．
（2）先运算乘法、乘方、完全平方公式，再合同同类项，即可作答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先整理原式得，再令每个因式为0，进行计算，即可作答．
（2）先整理原式得，结合平方差公式得，再令每个因式为0，进行计算，即可作答．
【小问1详解】
解：，
，
∴或
∴，；
【小问2详解】
解：，
，
，
∴，
∴，
∴，．
19. 某中学举行“中国梦・校园好声音”歌手大赛，七年级和八年级根据初赛成绩，各选出5名选手组成年级代表队参加学校决赛，两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．
（1）根据图示填写下表；
（2）哪一个代表队选手成绩较为稳定．
【答案】（1）85，85，80
（2）七年级代表队
【解析】
【分析】题目主要考查平均数、众数、中位数的求法，根据方差判断稳定性，熟练掌握基础知识点是解题关键．
（1）根据平均数、众数及中位数的计算方法求解即可；
（2）分别求出七八年级的方差，然后比较即可得出结果．
【小问1详解】
解：七年级平均数为：（分)，
七年级85分出现两次，出现的次数最多，所以众数是85分；
八年级的比赛成绩分别为：70，75，80，100，100，
∴中位数是80分．
故答案为：85，85，80；
【小问2详解】
七年级的方差是：，
八年级的方差是：，
∵七年级的方差八年级的方差，
∴七年级代表队选手成绩较为稳定．
20. 如图，在平面直角坐标系内，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3）、B（4，2）、C（3，4）．
（1）将△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）若△A1B1C1与△A2B2C2关于点P成中心对称，则点P的坐标是
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（﹣2，0）
【解析】
【分析】（1）依据△ABC沿水平方向向左平移4个单位得△A1B1C1，即可画出△A1B1C1；
（2）依据中心对称的性质，即可得到△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；
（3）连接两对对应点，其交点即为对称中心.
【详解】
解：如图：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
（2）如图，△A2B2C2即为所求；
（3）如图，点P的坐标是（﹣2，0）．
故答案为（﹣2，0）．
【点睛】本题考查的是作图一旋转变换、平移变换，根据题意作出各点在几何变换下的对应点是解答此题的关键.
21. 如图，在四边形中，，平分线交于点F，交的延长线于点E，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连结，若，，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识．熟记并灵活运用各个知识点是解题的关键．
（1）先根据，得出，根据角平分线的定义得出，则，推出，即可求证四边形是平行四边形；
（2）通过证明是等边三角形，得出，，根据勾股定理得出，则，最后根据的面积，即可解答．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵，°，
∴是等边三角形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
22. 【材料阅读】
把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．
例如：化简．
解：．
上述化简的过程，就是进行分母有理化．
（1）化简的结果为： ；
（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为： ；
（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．
【答案】（1）．
（2）．
（3）．
【解析】
【分析】（1）给分母与分子同乘以，根据平方差公式合并化简即可；
（2）给分母与分子同乘以，根据平方差公式合并化简即可；
（3）先将右边的分式化简，根据等量代换可知化简后的结果等于左边的等式，解方程即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
小问2详解】
解： ，
故答案为：；
【小问3详解】
化简，得．
∵，
∴．
解得．
【点睛】本题考查二次根式的分母有理化，掌握分母有理化的方法是解决本题的关键．
23. 某农场要建一个饲养场（矩形ABCD），两面靠墙（AD位置的墙最大可用长度为27米，AB位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．
（1）若饲养场（矩形ABCD）的一边CD长为8米，则另一边BC＝ 米；
（2）若饲养场（矩形ABCD）的面积为180平方米，求边CD的长；
（3）饲养场的面积能达到210平方米吗？若能达到，求出边CD的长；若不能达到，请说明理由．
【答案】（1）24 （2）10米
（3）不能，见解析
【解析】
【分析】（1）直接根据图形计算即可；（2）根据矩形的面积等于长乘宽，即可列方程求解；（3）列出方程，根据一元二次方程根的判别式计算．
【小问1详解】
解：BC＝45﹣8﹣2×（8﹣1）+1＝24（米）．
故答案为：24．
【小问2详解】
设CD＝x（0＜x≤15）米，
则BC＝45﹣x﹣2（x﹣1）+1＝（48﹣3x）米，
依题意得：x（48﹣3x）＝180，
整理得：x2﹣16x+60＝0，
解得：x1＝6，x2＝10．
当x＝6时，48﹣3x＝48﹣3×6＝30（米），
30＞27，不合题意，舍去；
当x＝10时，48﹣3x＝48﹣3×10＝18（米），符合题意．
答：边CD的长为10米．
【小问3详解】
不能，理由如下：
设CD＝y（0＜y≤15）米，
则BC＝45﹣y﹣2（y﹣1）+1＝（48﹣3y）米，
依题意得：y（48﹣3y）＝210，
整理得：y2﹣16y+70＝0．
∵＝（﹣16）2﹣4×1×70＝256﹣280＝﹣24＜0，
∴该方程没有实数根，
∴饲养场的面积不能达到210平方米．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24. 如图1，在平面直角坐标系平行四边形中，点C坐标为，点A在x轴上，，．动点P从点O出发，沿射线以每秒2个单位的速度运动，同时，动点Q从点A出发沿边向点O以每秒1个单位的速度运动．当点Q到达点O时，点P也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）的长为 ，的长为 ；
（2）当t为何值时，线段恰好被平分？
（3）如图2，若在y轴上有一点D，使得以P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 （直接写出答案）．
【答案】（1）4，8 （2）4秒
（3）或
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，合理作出辅助线，构造直角三角形，注意理解运动情况，分类讨论思想是解题的关键．
（1）过C作于E，根据直角三角形的性质，结合点C坐标求出，从而求出和；
（2）过Q作交于N，设与交于M，根据平行四边形的性质证明得到，从而求出t值；
（3）分为平行四边形对角线，为平行四边形对角线两种情况，结合平行四边形的性质求解．
【小问1详解】
解：过C作于E，如图1，
∴，
，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
【小问2详解】
解： 运动时间为t（），
由题意，得，，
如图，过Q作交于N，设与交于M，如图2，
线段被平分，
，
四边形为平行四边形，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，，
∴当t为4秒时，线段恰好被平分；
【小问3详解】
解：在中，，
，
，
，，
，
，
过P作于F，则，如图1，
，
，
，
，
，
D在y轴上，
，
当为平行四边形对角线时，如图所示，
平行四边形中，，，
，
，
，
，
；
当为平行四边形对角线时，如图所示，
平行四边形中，，，
，
，
，
，
；
综上，点D的坐标为或平均数（分)
中位数（分)
众数
七年级
85
八年级
85
100