2023-2024学年陕西师大附中七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年陕西师大附中七年级（下）期中数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.司机王师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是( )
A. 金额B. 数量C. 单价D. 金额和数量
2.下列计算正确的是( )
A. 2x2+3x2=6x2B. x4⋅x2=x8C. x6÷x2=x3D. (−xy2)2=x2y4
3.下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是( )
A. (x+a)(x−a)B. (a+b)(−a−b)C. (−x−b)(x−b)D. (b+m)(m−b)
4.如图，是△ABC的高的线段是( )
A. 线段BC
B. 线段EC
C. 线段BD
D. 线段CD
5.如图，在下列条件中，能判定直线a与b平行的是( )
A. ∠1=∠3
B. ∠2+∠4=180°
C. ∠1=∠5
D. ∠3+∠4=180°
6.下列长度的三条线段能组成三角形的是( )
A. 1cm，2cm，3cmB. 3cm，7cm，3cm
C. 2cm，4cm，6cmD. 4cm，5cm，6cm
7.如图，AB=AC，添加下列条件，不能使△ABE≌△ACD的是( )
A. ∠B=∠C
B. ∠AEB=∠ADC
C. AE=AD
D. BE=DC
8.如图是一个数据转换器的示意图，当我们输入x=−2时，输出结果y为( )
A. 3B. 11C. −1D. 9
9.根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因.如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳.体育科研工作者根据实验数据，绘制了一幅图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化，下列叙述错误的是( )
A. 运动后血乳酸浓度先升高再降低
B. 当t=20min时，两种方式下的血乳酸浓度均超过150mg/L
C. 采用静坐方式放松时，运动员大约30min后就能基本消除疲劳
D. 为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松
10.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为( )
A. 3B. 19C. 21D. 28
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，两直线交于点O，若∠1=38°，则∠2= ______．
12.中国航天科工集团公司的技师们可以运用数控微雕这项技术，在一个直径只有一角硬币大小的金属片上打孔，这个孔的直径是一根头发丝的三分之一.若一根头发丝的直径大约为90μm，且1μm=0.000001m，则金属片上这个孔的直径用科学记数法表示为______m.
13.如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是______．
14.若一个角的余角的2倍比这个角的补角小20°，则这个角的度数为______．
15.若x+4y−2=0，则22x⋅44y的值为______．
16.已知(−x)(2x2−ax−1)−2x3+3x2中不含x的二次项，则a=______．
17.如图，将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，过点B作BD/​/AC交A′C于点D，若∠A′BC=30°，∠BDC=140°，则∠A的度数为______．
18.如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF=CA，延长AB至点D，使得BD=2AB，延长BC至点E，使得CE=3CB，连接EF、FD、DE，若S△ABC=1，则为S△DEF= ______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
19.先化简，再求值：(2+a)(2−a)+a(a−5b)+3a5b3÷(−a2b)2，其中ab=−12．
四、解答题：本题共5小题，共41分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.(本小题12分)
计算：
(1)−12024×|−34|+(3.14−π)0−2−2；
(2)(2a2)3−a2⋅3a4+a8÷a2；
(3)2023×2025−20242(用简便方法计算)；
(4)(a−2b+3c)(a+2b−3c)．
21.(本小题5分)
尺规作图：如图，已知△ABC，点D是AB上一点，连接CD，请用尺规在边AC上求作P，使得△PBC的面积与△DBC的面积相等．
22.(本小题7分)
一辆汽车油箱内有油50升，从某地出发，每行驶1千米，耗油0.08升，如果设油箱内剩油量为y(升)，行驶路程为x(千米)，则y随x的变化而变化．
(1)写出y与x的关系式______．
(2)这辆汽车行驶350千米时剩油多少升？汽车剩油8升时，行驶了多少千米？
23.(本小题7分)
阅读材料：把形如ax2+bx+c的二次三项式(或其中一部分)配成完全平方式的方法叫作配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即a2±2ab+b2=(a±b)2．
例如：(x−1)2+3，(x−2)2+2x，(12x−2)2+34x2是x2−2x+4的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项.请根据上述材料解决下列问题：
(1)比照上面的例子，写出x2−4x+9的三种不同形式的配方；
(2)已知a2+b2+c2−ab−3b−2c+4=0，求a+b+c的值．
24.(本小题10分)
(1)如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D、E.证明：DE=BD+CE．
(2)如图2，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：I是EG的中点．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：C．
根据常量与变量的定义即可判断．
本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
2.【答案】D
【解析】解：A.2x2+3x2=5x2，故不正确，不符合题意；
B.x4⋅x2=x6，故不正确，不符合题意；
C.x6÷x2=x4，故不正确，不符合题意；
D.(−xy2)2=x2y4，正确，符合题意；
故选：D．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方法则逐项计算即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：A、C、D符合平方差公式的特点，故能运用平方差公式进行运算；
B、两项都互为相反数，故不能运用平方差公式进行运算．
故选B．
根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数解答．
本题主要考查了平方差公式的结构．注意两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，并且相同的项和互为相反数的项必须同时具有．
4.【答案】C
【解析】解：线段BD是△ABC的AC边上的高，
故选：C．
根据三角形的高的概念判断即可．
本题考查的是三角形的高，从三角形的一个顶点向对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．
5.【答案】D
【解析】解：由∠1=∠3，不能判定a/​/b，
故A不符合题意；
由∠2+∠4=180°，不能判定a/​/b，
故B不符合题意；
由∠1=∠5，不能判定a/​/b，
故C不符合题意；
∵∠3+∠4=180°，
∴a/​/b，
故D符合题意；
故选：D．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：A、1+2=3，不能组成三角形；
B、3+3<7，不能组成三角形；
C、2+4=6，不能组成三角形；
D、4+5>6，能够组成三角形．
故选：D．
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．
7.【答案】D
【解析】解：A、添加∠B=∠C可利用ASA证明△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
B、添加∠AEB=∠ADC可利用AAS证明△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
C、添加AE=AD可利用SAS证明△ABE≌△ACD，故此选项不合题意；
D、添加EB=DC不能证明△ABE≌△ACD，故此选项符合题意；
故选：D．
本题要判定△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A是公共角，具备了一组边对应相等和一角相等的条件，故添加∠B=∠C、∠AEB=∠ADC、AE=AD后可分别根据ASA、AAS、SAS判定△ABE≌△ACD，而添加BE=DC后则不能．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得：y=(−2−1)2+2，
y=(−3)2+2，
y=9+2，
y=11，
故选：B．
根据已知条件中示意图和x的值，列出算式，求出y即可．
本题主要考查了求代数式的值，解题关键是熟练掌握理解已知条件中的示意图的含义．
9.【答案】C
【解析】解：由题意可知：
A.运动后血乳酸浓度先升高再降低，说法正确，故选项A不合题意；
B.当t=20min时，两种方式下的血乳酸浓度均超过150mg/L，说法正确，故选项B不合题意；
C.采用静坐方式放松时，运动员大约70min后就能基本消除疲劳，原说法错误，故选项C符合题意；
D.运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，说法正确，故选项D不合题意．
故选：C．
根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．
本题考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】解：设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，则AD=x，EF=y，AE=x+y=8，
所以(x+y)2=64，
所以x2+y2+2xy=64，
因为点H为AE的中点，
所以AH=EH=4，
因为图2的阴影部分面积=(x−y)2=x2+y2−2xy=6，
所以(x+y)2+(x−y)2=64+6，
所以x2+y2=35，
所以图1的阴影部分面积=x2+y2−12×4⋅x−12×4⋅y
=x2+y2−2(x+y)
=35−2×8
=19，
故选：B．
设甲正方形边长为x，乙正方形边长为y，根据题意分别得到(x+y)2=64，(x−y)2=6，两式相加可得x2+y2=35，在图1中利用两正方形的面积之和减去两个三角形的面积之和，代入计算可得阴影部分面积．
本题考查了整式的加减，完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．
11.【答案】38°
【解析】解：∵∠1与∠2互为对顶角，
∴∠2=∠1=38°．
故答案为：38°．
根据对顶角的性质求解．
本题考查对顶角的性质，解题关键是掌握对顶角相等的性质．
12.【答案】3×10−5
【解析】解：90×13=30(μm)．
∵1μm=0.000001m，
∴30μm=30×0.000001m=3×10−5m.
故答案为：3×10−5．
首先用一根头发丝的直径乘13，求出这个孔的直径，再根据1μm=0.000001m，把金属片上这个孔的直径化成以m为单位的量，并用科学记数法表示即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13.【答案】48
【解析】【分析】
由图2知，AB=BC=10，当BP⊥AC时，y的值最小，即△ABC中，AC边上的高为8(此时BP=8)，即可求解．
本题考查了函数图象的理解和应用，等腰三角形的性质．把图形和图象结合理解得到线段长度是解决本题的关键．
【解答】
解：根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，
由图象可知：点P从B向C运动时，BP的最大值为10，
即BC=10，
由于M是曲线部分的最低点，
∴此时BP最小，
即BP⊥AC，BP=8，
∴由勾股定理可知：PC=6，
由于图象的曲线部分是轴对称图形，
∵图象右端点函数值为10，
∴AB=BC=10，
∴PA=PC=6(三线合一)，
∴AC=12，
∴△ABC的面积为：12×12×8=48，
故答案为：48．
14.【答案】20°
【解析】解：设这个角为x度，
由题意知，2(90−x)=180−x−20，
解得x=20，
即这个角为20°，
故答案为：20°．
设这个角为x度，根据余角的和等于90°，补角的和等于180°，表示出这个角的补角与余角，然后根据题意列出方程求解即可．
本题考查余角、补角，掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
15.【答案】16
【解析】解：∵22x⋅44y=4x⋅44y=4x+4y，x+4y=2，
∴22x⋅44y=4x+4y=42=16．
故答案为：16．
将22x⋅44y转化为4x⋅44y，利用同底数幂的乘法法则得到4x+4y，由x+4y−2=0变形得到x+4y=2，再整体代入计算即可．
本题考查了幂的乘方逆运算法则，同底数幂的乘法，掌握幂的乘方逆运算法则，同底数幂的乘法运算法则是关键．
16.【答案】−3
【解析】解：∵(−x)(2x2−ax−1)−2x3+3x2中不含x的二次项，
∴−2x3+ax2+x−2x3+3x2中，a+3=0，
解得：a=−3．
故答案为：−3．
首先利用单项式乘以多项式去括号，进而得出x2的系数为0，进而求出答案．
此题主要考查了单项式乘以多项式，正确掌握运算法则是解题关键．
17.【答案】130°
【解析】解：∵将△ABC沿BC翻折，使点A落在点A′处，∠A′BC=30°，
∴∠ABC=∠A′BC=30°，∠ACB=∠A′CB，
∵BD/​/AC，
∴∠ACD+∠BDC=180°，
∵∠BDC=140°，
∴∠ACD=40°，
∴∠ACB=∠A′CB=20°，
∴∠A=180°−∠ABC−∠ACB=180°−30°−20°=130°，
故答案为：130°．
根据翻折变换得出∠ABC=∠A′BC=30°，∠ACB=∠A′CB，根据平行线的性质得出∠ACD+∠BDC=180°，求出∠ACD=40°，求出∠ACB=∠A′CB=20°，再根据三角形内角和定理求出答案即可．
本题考查了翻折变换问题、三角形内角和定理，平行线的性质等知识点，能根据翻折变换得出∠ABC=∠A′BC和∠ACB=∠A′CB是解此题的关键．
18.【答案】18
【解析】解：如图，连接AE、BF、CD，
∵AF=CA，S△ABC=1，
∴S△ABF=S△ABC=1，S△ACE=S△AFE，
∵BD=2AB，
∴S△DBF=2S△ABF=2，S△DBC=2S△ABC=2，
∵CE=3CB，
∴S△CED=3S△DBC=3×2=6，S△ACE=3S△ABC=3，
∴S△AFE=3，
∴S△DEF=S△ABC+S△ABF+S△DBC+S△DBF+S△ACE+S△AFE+S△CED
=1+1+2+2+3+3+6
=18，
故答案为：18．
根据同高的三角形底边之间的关系分别求出△ABF、△DBC、△DCE、△ACE、△AFE、△DBF，即可求出△DEF的面积．
本题考查了三角形的面积，熟练掌握三角形面积的求法是解题的关键．
19.【答案】解：原式=4−a2+a2−5ab+3ab=4−2ab，
当ab=−12时，原式=4+1=5．
【解析】原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘以多项式法则计算，最后一项先计算乘方运算，再计算除法运算，合并得到最简结果，把ab的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20.【答案】解：(1)−12024×|−34|+(3.14−π)0−2−2
=−1×34+1−14
=−34+1−14
=0；
(2)(2a2)3−a2⋅3a4+a8÷a2
=8a6−3a6+a6
=6a6；
(3)2023×2025−20242
=(2024−1)×(2024+1)−20242
=20242−1−20242
=−1；
(4)(a−2b+3c)(a+2b−3c)
=[a−(2b−3c)][a+(2b−3c)]
=a2−(2b−3c)2
=a2−(4b2−12bc+9c2)
=a2−4b2+12bc−9c2．
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先算乘方，再算乘除，后算加减，即可解答；
(3)利用平方差公式进行计算，即可解答；
(4)利用平方差公式，完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算，绝对值，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
21.【答案】解：如图，点P即为所求．

【解析】三角形的面积相等即同底等高，因此以BC为两个三角形的公共底边，在AC边上寻找到与D到BC距离相等的点，即作DP/​/BC即可．
本题考查了三角形面积的灵活计算，解题的关键是掌握平行线的性质及作一个角等于已知角的尺规作图．
22.【答案】y=50−0.08x
【解析】解：(1)由题意可得：y=50−0.08x；
故答案为：y=50−0.08x；
(2)当x=350时，y=50−0.08×350=22(升)，
当y=8时可得8=50−0.08x，解得x=525．
这辆汽车行驶350千米时剩油22升，汽车剩油8升时，行驶了525千米．
(1)根据题意写出关系式；
(2)代入数据求解即可．
本题考查函数关系式，正确理解数据的关系列出函数式解题关键．
23.【答案】解：(1)①(x−2)2+5，
②(x−3)2+2x，
③(23x−3)2+59x2．
(2)原式可化为(a−12b)2+2(12b−1)2+(c−1)2=0，
解得a=12b=1，c=1，
∴a=1，b=2，c=1，
则a+b+c=4．
【解析】(1)运用配方法、结合阅读材料解答；
(2)运用配方法把原式和平方和的形式，根据非负数的性质解答即可．
本题考查的是配方法的应用和非负数的性质，掌握配方法的一般步骤是解题的关键，注意几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0．
24.【答案】(1)证明：如图1，由∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥直线l，CE⊥直线l，
得∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD=90°−∠CAE=∠ACE，
得△BAD≌△ACE(AAS)，
得BD=AE，DA=CE，
得DE=AE+AD=BD+CE．
(2)证明：如图2，由正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，
同理得△BAH≌△AME(AAS)，
得EM=AH，
同理得GN=AH，
得EM=GN，
同理△EMI≌△GNI(AAS)，
得EI=GI，即I是EG的中点．

【解析】(1)由∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥直线l，CE⊥直线l，得∠BDA=∠AEC=90°，∠BAD=90°−∠CAE=∠ACE，得△BAD≌△ACE(AAS)，得BD=AE，DA=CE，即可得DE=AE+AD=BD+CE．
(2)由正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，同理得△BAH≌△AME(AAS)，得EM=AH，同理得GN=AH，得EM=GN，同理△EMI≌△GNI(AAS)，得EI=GI，即I是EG的中点．
本题主要考查了正方形中线段的和差关系，解题关键是找准全等三角形．