浙江省温州市环大罗山联盟2022-2023学年高二数学下学期期中试题（Word版附解析）

2022学年第二学期环大罗山联盟期中考试

高二数学试题

考生须知：

1．本试题卷共4页，满分150分，考试时间120分钟.

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号.

3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效.

4．考试结束后，只需上交答题卷.

选择题部分

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1. 设全集为，集合， 则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，求出 ，进而由交集的定义分析可得答案.

【详解】根据题意， ，则 .

故选：A.

2. 已知幂函数的图象过点，则（    ）

A.  B.  C. 4 D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】设，代入，得，从而得，再将代入计算即可得答案.

【详解】解：因为函数是幂函数，

所以设，

代入，得，解得，

所以，

所以.

故选：C.

3. 己知随机变量,则等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据正态函数的对称性和得,则求解即可.

【详解】因为随机变量,

所以,

所以.

故选:C.

4. 2022年北京冬奥会的顺利召开，激发了大家对冰雪运动的兴趣．若甲，乙，丙三人在自由式滑雪、花样滑冰、冰壶和跳台滑雪这四项运动中任选一项进行体验，则不同的选法共有（    ）

A 12种 B. 24种 C. 64种 D. 81种

【答案】C

【解析】

【分析】根据分步乘法原理求解即可．

【详解】由题意，可知每一人都可在四项运动中选一项，即每人都有四种选法，可分三步完成，

根据分步乘法原理，不同的选法共有种.

故选：C．

5. 我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数（）的图像不可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据函数的奇偶性，分类，和三种情况分类讨论，结合选项，即可求解.

【详解】由题意，函数的定义域为关于原点对称，

且，所以函数为偶函数，图象关于原点对称，

当时，函数且，图象如选项B中的图象；

当时，若时，函数，可得，

函数在区间单调递增，此时选项C符合题意；

当时，若时，可得，则，

令，解得，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增，

所以选项D符合题意.

故选：A.

6. 在的展开式中，记项的系数为，则（    ）

A 45 B. 60 C. 72 D. 96

【答案】D

【解析】

【分析】利用二项式展开式的通项公式求得正确答案.

【详解】由于的展开式为，且的展开式，

记项的系数为，所以，，

故.

故选：D

7. 为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习．如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，由全概率公式可求得结果.

【详解】记事件为“第球投进”，事件为“第球投进”，

，，，

由全概率公式可得.

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题考查利用全概率公式计算事件的概率，解题的关键就是弄清第球与第球投进与否之间的关系，结合全概率公式进行计算.

8. 已知函数的定义域为,满足,且时,.若,都有,则的取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用函数的性质推得其解析式,作出其大致图象,数形结合,求解不等式,即可确定的取值范围.

【详解】当时,,

因为,且时,,

所以;

当时,,

所以;

因为,

当时,,

所以;

所以,得,

由此做出函数图像得:

当时,,解得或,

结合图像得的解为:或,

因为,都有,

所以.

故选:B.

二、选择题（（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9. 设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】对A，根据是否互斥判断即可；

对B，举反例判断即可

对CD，根据条件概率的公式判断即可

【详解】对A，当不互斥时，不成立，故A错误；

对B，当为对立事件时，，则不成立，故B错误；

对C，当时，成立，当时，根据条件概率的公式可得成立，故C正确；

对D，根据条件概率的公式，结合C选项可得成立，故D正确；

故选：CD

10. 已知随机变量，则（    ）（附：随机变量服从正态分布，则，）

A.  B.

C.  D.

【答案】CD

【解析】

【分析】根据正态分布的性质可判断AD；根据二项分布的期望、方差公式计算可判断AB.

【详解】因为，所以，则，故A错误；

，故D正确；

因为，所以，所以，故B错误；

，故C正确；

故选：CD.

11. 已知，若，则实数的值可以为（    ）

A.  B. 0 C. 1 D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】令求出的值，即可得到或，再根据分段函数解析式，分类讨论，分别计算可得.

【详解】因为，若，则或，

解得或，

因为，所以或，

所以或或或，解得或或.

故选：ACD

12. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用基本不等式判断A、B，构造函数，利用特殊值判断C，利用和差化积公式判断D．

【详解】对于A：，，，，

当且仅当，即时取“”， 故A正确，

对于B：，，，，

当且仅当时取“”， 故B正确，

对于C：，，，当、，此时，

而，此时，故C错误，

对于D：，，，

，，，

，当且仅当时取等号，故D正确．

故选：ABD．

非选择题部分

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 若,则=__________.

【答案】

【解析】

【分析】将指数式化为对数式，结合对数运算，求得的值.

【详解】,,.

.

故答案为：

【点睛】本小题主要考查指数式化为对数式，考查对数运算，属于基础题.

14. 已知随机变量的分布列如表：

若，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据离散型随机变量的分布列和两个信息，可求出，得值，再根据离散型随机变量方差的性质，即可求出答案．

【详解】，①，

又②，

联立①②得，

所以，

则．

故答案为：．

15. ，，，，，，6名同学站成一排参加文艺汇演，若不站在两端，和必须相邻，则不同的排列方式共有_________种．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，用间接法分析：先计算和相邻的排法，排除其中站在两端的排法，分析可得答案．

【详解】根据题意，由于和相邻，把和看成一个元素，与其他个人全排列，有种排法，

其中站在两端的排法有种，

则有种符合题意的排法．

故答案为：．

16. 函数，当时，，则ab的取值范围为_________．

【答案】

【解析】

【分析】设，，由时，，分析可得，然后求解即可.

【详解】设，，

则，在上为增函数，且，

由于当时，，

若，则，，即恒成立，显然不可能；

所以，则当时，，当时，，

所以，则，

所以.

故答案为：.

四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. 已知函数．

（1）若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围；

（2）若函数为偶函数，求函数的单调区间．

【答案】（1）   

（2）单调递减区间为，单调递增区间为

【解析】

【分析】（1）依题意可得，解得即可；

（2）由求出参数的值，即可得到的解析式，从而得到其对称轴与开口方向，从而得到其单调区间.

【小问1详解】

因为函数，．

若不等式的解集为空集，则，

解得，所以的取值范围是；

【小问2详解】

若函数为偶函数，则，

即，即，

则，解得，所以，对称轴为，开口向上，

所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

18. 已知在的展开式中，前项的系数分别为，，，且满足．

（1）求展开式中各项的二项式系数的和；

（2）求展开式中系数最大的项；

（3）求展开式中所有有理项．

【答案】（1）   

（2）和   

（3）和

【解析】

【分析】（1）由条件先求出，利用二项式定理系数的性质写出结果即可；

（2）写出展开式的通项，记第项系数最大，则有，且，由此可得展开式中系数最大的项；

（3）令的幂指数为整数，求得的值，即可求得展开式中的有理项．

【小问1详解】

的展开式通项公式为，，，，，，，

则，，，

因为，即，解得或（舍去），

所以二项式展开式中各项的二项式系数的和为；

【小问2详解】

二项式的展开式通项公式为（且），

记第项系数最大，则有，且，

即，解得，又，所以或，

所以系数最大项为第3项和第4项；

【小问3详解】

因为二项式的展开式通项公式为（且），

令，且，则或，

所以展开式中有理项为和.

19. 为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀．某校组织了党史知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲回答正确这道题的概率为，甲、丙都回答正确这道题的概率是，乙、丙都回答正确这道题的概率是．若每位同学回答这道题是否正确是互不影响的．

（1）若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙中至少1名同学回答正确的概率；

（2）若规定三名同学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为，乙抢到的概率为，丙抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率．

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由相互独立事件的概率计算公式，分别计算出甲，乙，丙答对这道题的概率，再由对立事件概率计算公式，即可得到结果.

（2）根据题意，得到三人答对这道题的概率之和，即可得到结果.

【小问1详解】

记甲，乙，丙三人独自答对这道题分别为事件，则甲，乙，丙三人答对这道题的概率为，

由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此事件是相互独立事件，

由题意可得，，，则，

且，则，

则甲、乙、丙中至少1名同学回答正确的概率为

.

【小问2详解】

由题意可得，这个问题回答正确的概率为.

20. 已知函数．当点在函数图像上运动时，对应的点在函数图像上运动，则称函数是函数的“伴随”函数．

（1）解关于x的不等式；

（2）对任意的的图像总在其“伴随”函数图像的下方，求a的取值范围：

（3）设函数．当时，求的最大值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据题意，由求解，即可得到结果；

（2）由题意得的相关函数为，根据题意得到时，恒成立求解；

（3）根据题意，易得，设，再利用复合函数单调性求解.

【小问1详解】

依题意得，则，所以，所以原不等式的解集为．

【小问2详解】

由题意得，所以，所以的“伴随”函数为．依题意，对任意的，的图像总在其“伴随”函数图像的下方，即当时，恒成①．

由，对任意的总成立，结合题设条件有，

在此条件下，①等价于当时，恒成立，

即，即．

设，要使当时，恒成立，

只需，即成立，解得，即，且，

即a的取值范围是．

【小问3详解】

由（2）可得当时，在区间上，，

即．

设，则．

令，则，

所以，

因为（当且仅当时，等号成立），

可得，当时，等号成立，

满足，则的最大值为，

所以的最大值是．

21. 孔子曰：温故而知新，可以为师矣．数学学科的学习也是如此，为了调查“数学成绩是否优秀”与“是否及时复习”之间的关系，某校志愿者从高二年级的所有学生中随机抽取60名学生进行问卷调查，得到如下样本数据：

（1）试根据小概率值的独立性检验，能否认为“数学成绩优秀”与“及时复习”有关系？

（2）在该样本中，用分层抽样的方法从数学成绩优秀的学生中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，设抽取3人中及时复习的人数为X，求X的分布列与数学期望．

临界值参考表：

（参考公式，其中）

【答案】（1）可以认为“数学成绩优秀”与“及时复习”有关，理由见解析   

（2）分布列见解析，

【解析】

分析】（1）根据题意，计算，即可判断；

（2）根据题意，由条件可得的可能取值为，然后分别计算其对应概率，即可得到分布列与期望.

【小问1详解】

设表示数学成绩优秀与及时复习没有关联，

根据数据计算，

依据的独立性检验，可以推断不成立，

即认为“数学成绩优秀”与“及时复习”有关，该推断犯错误的概率不超过.

【小问2详解】

根据分层抽样可得，选取的8人中，及时复习人，不及时复习人，

的可能取值为，

则，

，

，

所以的分布列为：

所以的期望.

22. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意x，都有”．函数的图象关于点对称，且当时，．

（1）求值；

（2）设函数．

（i）证明函数的图象关于点对称；

（ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】（1）   

（2）（i）证明见解析；（ii）.

【解析】

【分析】（1）根据题意，结合对称性，得到，进而分别令，和，即可求解；

（2）（i）利用分式函数的性质，化简得到，结合，即可得证；

（ii）先求得的值域为，设的值域为，根据题意转化为，结合二次函数图象与性质，分离讨论求得函数在上的最值，列出不等式组，即可求解.

【小问1详解】

解：因为函数的图象关于点对称，所以，

当时，可得；

当时，可得；

当时，可得，即，

则.

【小问2详解】

解：（i）由函数，

可得，

即，所以函数的图象关于点对称；

（ii）当时，为单调递增函数，可得，

函数的值域为，

若对任意，总存在，使得成立，等价于,

当时，，

①当时，即时，函数在上单调递增，

由对称性知在上单调递增，则函数在上单调递增，

则，又由，所以，

则，所以，

因为，可得，解得，因为，此时.

②当时，即时，函数在上单调递减，在单调递增，结合对称性，可得或，

因为，可得，

又，所以，

即当时，满足，此时，

又由，

因为，则，

此时满足，

所以当时，成立.

③当时，即时，函数在上单调递减，

由对称性知在上单调递减，则函数在上单调递减，

则，且，则，所以，

因为，可得，解得，

综上可得，，即实数的取值范围为.