2024年河北省衡水市部分高中高考数学一模试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年河北省衡水市部分高中高考数学一模试卷（含详细答案解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设全集U={0,1,2,3,4,5}，集合M={1,3,4}，N={0,3,5}，则M∪(∁UN)=( )
A. {0,5}B. {1,2,3,4}C. {1,2,3,4,5}D. U
2.已知复数z满足(4+3i)z=−i，则z的虚部为( )
A. −425B. 425C. −425iD. 425i
3.将函数f(x)=sin2x的图象向左平移φ个单位后得到函数g(x)的图象，若函数y=f(x)+g(x)的最大值为a，则a的值不可能为( )
A. 1B. 2−1C. 2D. 2+1
4.在等比数列{an}中，若a1⋅a5⋅a12为一确定的常数，记数列{an}的前n项积为Tn，则下列各数为常数的是( )
A. T6B. T8C. T10D. T11
5.关于函数y=4x−12x−5，x∈N，N为自然数集，下列说法正确的是( )
A. 函数只有最大值没有最小值B. 函数只有最小值没有最大值
C. 函数没有最大值也没有最小值D. 函数有最小值也有最大值
6.已知函数f(x)=cs(x−π12)，g(x)=sin(4x+π6)，则“曲线y=f(x)关于直线x=m对称”是“曲线y=g(x)关于直线x=m对称”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
7.O为坐标原点，F为抛物线C：y2=8x的焦点，M为C上一点，若|MF|=6，则△MOF的面积为( )
A. 4 3B. 2 2C. 4 2D. 8
8.a，b，c为三个互异的正数，满足c−a=2lnca>0,( 10)b=3a+1，则下列说法正确的是( )
A. c−a>2−bB. c−2≤b−aC. c+2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知10个数据的第75百分位数是31，则下列说法正确的是( )
A. 这10个数据中至少有8个数小于或等于31
B. 把这10个数据从小到大排列后，第8个数据是31
C. 把这10个数据从小到大排列后，第7个与第8个数据的平均数是31
D. 把这10个数据从小到大排列后，第6个与第7个数据的平均数是31
10.函数D(x)=2,x∈Q3,x∉Q，则下列结论正确的是( )
A. D(π)>D(3.14)B. D(x)的值域为[2,3]
C. D(D(x))是偶函数D. ∀a∈R，D(x+a)=D(a−x)
11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，轴截面ABCD为等腰梯形，且满足CD=2AB=2AD=2BC=4cm.下列说法正确的是( )
A. 该圆台轴截面ABCD的面积为3 3cm2B. 该圆台的表面积为11πcm2
C. 该圆台的体积为2 3πcm3D. 该圆台有内切球，且半径为 32cm
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知f(x)=2a x−1x在点(1,f(1))处的切线为直线x−2y+1=0，则a=__________.
13.已知力F1,F2,F3满足|F1|=|F2|=|F3|=1，且F1+F2+F3=0，则|F1−F2|=______.
14.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1作x轴的垂线交C于点P，作OM⊥PF2于点M(其中O为坐标原点)，且有PF2=3MF2，则C的离心率为__________ .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，三角形面积为S，若D为AC边上一点，满足AB⊥BD，BD=2，且a2=−2 33S+abcsC.
(1)求角B；
(2)求2AD+1CD的取值范围.
16.(本小题15分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，an>0，且an2+2an=4Sn−1.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn=Snanan+1的前n项和为Tn，求Tn.
17.(本小题15分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)过(1,32)和( 2, 62)两点.F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上的点(P不在x轴上)，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆交于A、B两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求|AB|的范围.
18.(本小题17分)
《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，明确了“继续支持电动汽车、燃料电池汽车发展，掌握汽车低碳化、信息化、智能化核心技术，提升动力电池、驱动电机、高效内燃机、先进变速器、轻量化材料、智能控制等核心技术的工程化和产业化能力，形成从关键零部件到整车的完成工业体系和创新体系，推动自主品牌节能与新能源汽车与国际先进水平接轨的发展战略，为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向.某新能源汽车制造企业为了提升产品质量，对现有的一条新能源零部件产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的新能源零部件产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据整理得到频率直方图(如图)：
(1)从质量指标值在[55,75)的两组检测产品中，采用分层抽样的方法再抽取5件.现从这5件中随机抽取2件作为样品展示，求抽取的2件产品恰好都在同一组的概率.
(2)经估计知这组样本的平均数为x−=61，方差为s2=241.检验标准中an=5×{x−−ns5}，bn=5×[x−+ns5]，n∈N*，其中[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，s值四舍五入精确到个位.根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[a1,b1]内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但需要进一步改造技术；若有95%落在[a2,b2]内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，认为生产线技术改造成功.请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造成功？
19.(本小题17分)
如图，AD//BC且AD=2BC，AD⊥CD，EG//AD且EG=AD，CD//FG且CD=2FG，DG⊥平面ABCD，DA=DC=DG=2.
(Ⅰ)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN//平面CDE；
(Ⅱ)求平面EBC和平面BCF夹角的正弦值.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：根据题意，可得∁UN={1,2,4}，
结合M={1,3,4}，可知M∪(∁UN)={1,2,3,4}.
故选：B.
直接运用并集、补集的定义与运算法则，可算出本题答案．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由题意得z=(−i)(4−3i)(4+3i)(4−3i)=−4i+3i225=−3−4i25=−325−425i，
所以z的虚部为−425.
故选：A.
由已知结合复数的四则运算及复数的概念即可求解．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的概念，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得g(x)=sin(2x+2φ)，
则y=f(x)+g(x)=sin2x+sin(2x+2φ)
=sin2x+cs2φsin2x+sin2φcs2x
=(1+cs2φ)sin2x+sin2φcs2x
= (1+cs2φ)2+sin22φsin(2x+α)
= 2+2cs2φsin(2x+α)，tanα=sin2φ1+cs2ϕ，
因为cs2φ∈[−1,1]，所以 2+2cs2φ∈[0,2]，
所以a∈[0,2].
故选：D.
根据图象的平移变换得到g(x)=sin(2x+2φ)，然后根据和差公式和辅助角公式整理得到y=f(x)+g(x)= 2+2cs2φsin(2x+α)，最后根据三角函数的性质求α的范围即可．
本题主要考查了辅助角公式，余弦函数的形状的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为等比数列{an}中，a1⋅a5⋅a12=a5⋅a6⋅a7=a63为常数，则a6为常数，
又数列{an}的前n项积为Tn，则T11=a1a2…a11=a611为常数．
故选：D.
由已知可得a6为常数，然后结合等比数列的性质即可求解．
本题主要考查了等比数列性质的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：y=4x−12x−5=2(2x−5)+92x−5=2+92x−5，x≠52，
由反比例函数的性质得：
y=4x−12x−5在(52,+∞)上单调递减，此时y>2，
y=4x−12x−5在(−∞,52)上单调递减，此时y<2，
又因为x∈N，N为自然数集，
所以ymin在(−∞,52)上取到，x=2时，ymin=−7，
同理ymax在(52,+∞)上取到，x=3时，ymax=11，
所以当x∈N，N为自然数集时，函数有最小值也有最大值．
故选：D.
先对函数整理化简，根据反比例函数的性质，结合复合函数单调性的“同增异减”，即可求出函数的最小值与最大值．
本题考查函数的最值及其几何意义，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：令m−π12=k1π(k1∈Z)，得m=π12+k1π(k1∈Z)，
所以曲线y=f(x)关于直线x=π12+k1π(k1∈Z)对称．
令4m+π6=π2+k2π(k2∈Z)，得m=π12+k2π4(k2∈Z)，
所以曲线y=g(x)关于直线x=π12+k2π4(k2∈Z)对称．
因为{m|m=π12+k1π(k1∈Z)}⫋{m|m=π12+k2π4(k2∈Z)}，
所以“曲线y=f(x)关于直线x=m对称”是“曲线y=g(x)关于直线x=m对称”的充分不必要条件．
故选：A.
分别求出两个函数的对称轴的集合，利用两个集合的关系即可判断．
本题考查三角函数的性质，充分必要条件的定义，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：由抛物线的方程可得F(2,0)，设点M(x0,y0)，
由抛物线的性质可得：|MF|=x0+2=6，得x0=4，|y0|=4 2.
所以△MOF的面积S=12|OF|×|y0|=12×2×4 2=4 2.
故选：C.
首先根据焦半径公式求点M的坐标，再代入面积公式，即可求解．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：由c−a=2lnca>0，得c−2lnc=a−2lna，且c>a，构造f(x)=x−2lnx，
求导数，得f′(x)=1−2x，可知f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
其函数图象如下图所示：
由图可得0根据题意，可得函数y=( 10)x及y=3x+1交于点(2,10)，
同一坐标系内作出y=( 10)x及y=3x+1的图象，如下图所示：
由图象可知0综上所述，可得a+22−b成立．
故选：A.
对于c−a=2lnca>0，可构造函数f(x)=x−2lnx，利用导函数求出其单调性，结合函数图象可得0本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质、利用导数研究函数的单调性与最值等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：因为这10个数据的第75百分位数是31，
由10×0.75=7.5，可知把这10个数据从小到大排列后，第8个数为31，
可知，选项A，B正确，C，D错误．
故选：AB.
由百分位数的概念可判断．
本题主要考查了百分位数的定义，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】解：D(π)=3，D(3.14)=2，D(π)>D(3.14)，A正确；
D(x)=2,x∈Q3,x∉Q，则D(x)的值域为{2,3}，B错误；
x∈Q时，−x∈Q，D(D(x))=D(2)=2，D(D(−x))=D(2)=2，所以D(D(x))=D(D(−x))，
x∉Q时，−x∉Q，D(D(x))=D(3)=2，D(D(−x))=D(3)=2，D(D(x))=D(D(−x))，
所以D(D(x))为偶函数，C正确；
x= 2时，取a=1− 2，此时D(x+a)=D(1)=2，D(a−x)=D(1−2 2)=3，则D(x+a)≠D(a−x)，D错误．
故选：AC.
根据函数解析式，结合分段函数的性质，逐项判断即可．
本题主要考查分段函数及其应用，抽象函数的奇偶性，函数的值域，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中档题．
11.【答案】AB
【解析】解：对于A，由CD=2AB=2AD=2BC=4cm，可得高O1O2= 4−(4−22)2= 3，
则圆台轴截面ABCD的面积为3 3cm2，故A正确；
对于B，圆台的侧面积为S侧=π⋅(1+2)×2=6π(cm2)，
又S上=π×12=π(cm2)，S下=π⋅22=4π(cm2)，
所以S表=6π+π+4π=11π(cm2)，故B正确；
对于C，圆台的体积为V=13π⋅ 3×(1+4+2)=7 33π(cm3)，故C错误；
对于D，若圆台存在内切球，则必有轴截面ABCD存在内切圆，
由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆，故D错误．
故选：AB.
求出圆台的高O1O2可判断A；由圆台的表面积和体积公式可判断B，C；由内切圆的性质以及切线长定理易知轴截面ABCD不存在内切圆可判断D.
本题考查圆台的几何性质，圆台的内切球问题，属中档题．
12.【答案】−3
【解析】解：由f(x)=2a x−1x，得f′(x)=a x+1x2，
∴f′(1)=a+1=−2，即a=−3.
故答案为：−3.
求出原函数的导函数，得到函数在x=1处的导数值，再由斜率相等列式求解．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，是基础题．
13.【答案】 3
【解析】解：由F1+F2+F3=0，可得F1+F2=−F3，
即F12+2F1⋅F2+F22=F32，
又|F1|=|F2|=|F3|=1，所以2F1⋅F2=−1，
所以|F1−F2|= F12−2F1⋅F2+F22= 2−(−1)= 3.
故答案为： 3.
由题设及数量积运算求得2F1⋅F2=−1，再根据数量积性质及运算求得结论即可．
本题考查平面向量的数量积性质及运算，属基础题．
14.【答案】 6+ 22
【解析】解：如图，
由题意不妨设P(−c,b2a)，则|PF2|=2a+b2a，
∵PF2=3MF2，∴|MF2|=13(2a+b2a)，
∵△F2MO∽△F2F1P，∴|OF2||PF2|=|MF2||F1F2|，
可得c2a+b2a=13(2a+b2a)2c，整理得：e4−4e2+1=0，
解得e2=2+ 3(2− 3舍去)，则e= 6+ 22.
故答案为： 6+ 22.
由题意画出图形，求出P的坐标，再由双曲线定义求解|PF2|，结合已知向量等式求得|MF2|，然后利用三角形相似，对应边成比例列式求解．
本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】解：(1)因为a2=−2 33S+abcsC，
所以a2=− 33absinC+abcsC，即a=− 33bsinC+bcsC，
由正弦定理得sinA=− 33sinBsinC+sinBcsC，
所以sin(B+C)=− 33sinBsinC+sinBcsC，
所以csBsinC=− 33sinBsinC，
因为sinC≠0，
所以tanB=− 3，
因为B∈(0,π)，
可得B=2π3；
(2)在△BCD中，因为AB⊥BD，BD=2，
所以∠DBC=π6，
由正弦定理得DCsin∠DBC=BDsinC，
所以CD=2sinπ6sinC=1sinC，
在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD=BDsinA，
所以AD=2sinπ2sinA=2sinA，
所以2AD+1CD=22sinA+11sinC=sinA+sinC，
因为∠ABC=2π3，
所以A+C=π3，
所以2AD+1CD=sinA+sinC=sin(π3−C)+sinC，整理得2AD+1CD=sin(C+π3)，
因为0所以C+π3∈(π3,2π3)，
所以sin(C+π3)∈( 32,1],可得2AD+1CD的取值范围是( 32,1].
【解析】本题考查了解三角形，考查了三角恒等变换，考查了利用三角函数性质求解范围问题，考查了函数思想的应用，属于中档题．
(1)利用三角形的面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得tanB=− 3，结合B∈(0,π)，可求B的值；
(2)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求2AD+1CD=sin(C+π3)，可求C+π3∈(π3,2π3)，进而利用正弦函数的性质即可求解．
16.【答案】解：(1)由an2+2an=4Sn−1，
可得an+12+2an+1=4Sn+1−1，
两式作差得an+12−an2=2(an+1+an)，
即(an+1+an)(an+1−an−2)=0，
∵an>0，∴an+1−an=2，
∴{an}成公差为2的等差数列，
又当n=1时，(a1−1)2=0，可得a1=1，
∴an=2n−1.
(2)由an=2n−1，可得Sn=12n(1+2n−1)=n2，
则bn=Snanan+1=n2(2n−1)(2n+1)=14[1+1(2n−1)(2n+1)]=14[1+12(12n−1−12n+1)]，
前n项和为Tn=14[n+12(1−13+13−15+...+12n−1−12n+1)]
=14[n+12(1−12n+1)]=n(n+1)2(2n+1).
【解析】(1)由数列的通项与前n项和的关系，结合等差数列的通项公式，可得所求；
(2)由等差数列的求和公式，以及数列的裂项相消法求出数列的和．
本题考查数列的通项与求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可得1a2+94b2=12a2+32b2=1，解得a2=4，b2=3，
所以椭圆的标准方程为：x24+y23=1；
(2)由(1)可得c= a2−b2=1，
所以椭圆的右焦点F2(1,0)，
当直线l的斜率为0时，则直线l的方程为y=0，
可得|AB|=2a=4，
当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为x=my+1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立x=my+1x24+y23=1，整理可得：(4+3m2)y2+6my−9=0，
因为点F2在椭圆内部，所以Δ>0，且y1+y2=−6m4+3m2，y1y2=−94+3m2，
所以弦长|AB|= 1+m2⋅|y1−y2|= 1+m2⋅ (y1+y2)2−4y1y2
= 1+m2⋅ 36m2(4+3m2)2−4⋅−94+3m2=12(1+m2)1+3(1+m2)
=123+11+m2∈[3,4).
综上所述：|AB|∈[3,4].
【解析】(1)将两个点的坐标代入椭圆的方程，可得a，b的值，进而求出椭圆的方程；
(2)分直线AB的斜率为0和不为0两种情况讨论，设直线AB的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，代入弦长公式，由参数的范围，可得弦长|AB|的范围．
本题考查椭圆的方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题意可知P[55,65)P[65,75)=,
所以抽取的2件产品恰好都在同一组的概率为：P=C32+C22C52=410=25；
(2)因为s2=241，知s≈16，
则a1=5×{61−165}=45,b1=5×[61+165]=75，
该抽样数据落在[45,75]内的频率约为0.16+0.3+0.2=66%>65%，
又a2=5×{61−2×165}=30,b2=5×[61+2×165]=90，
该抽样数据落在[30,90]内的频率约为1−0.03−0.04=0.93=93%<95%，
所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
【解析】(1)根据分层抽样确定抽取比例，然后运用组合求解即可；
(2)根据题中公式，计算出区间并判断数据落在该区间的概率，然后与题中条件比较即可得出结论．
本题考查频率直方图的运用，古典概率和离散型随机变量的期望和方差，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)证明：依题意，以D为坐标原点，分别以DA、DC、DG的方向为x轴，
y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
可得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(1,2,0)，C(0,2,0)，
E(2,0,2)，F(0,1,2)，G(0,0,2)，M(0,32,1)，N(1,0,2).
设n0=(x,y,z)为平面CDE的法向量，
则n0⋅DC=2y=0n0⋅DE=2x+2z=0，取n0=(1,0,−1)，
又MN=(1,−32,1)，可得MN⋅n0=0.
又MN⊄平面CDE，∴MN//平面CDE；
(Ⅱ)∵CB=(1,0,0)，CE=(2,−2,2)，CF=(0,−1,2)，
设平面EBC和平面BCF的法向量分别为m=(x,y,z)，n=(a,b,c)，
则m⋅CB=x=0m⋅CE=2x−2y+2z=0，n⋅CB=a=0n⋅CF=−b+2c=0，
取m=(0,1,1)，n=(0,2,1)，
∴cs=m⋅n|m||n|=3 2× 5=3 10，
∴平面EBC和平面BCF夹角的正弦值为：
1−(cs)2= 1−910= 1010.
【解析】(Ⅰ)建系，根据向量法，线面平行的判定定理，即可证明；
(Ⅱ)根据向量法，向量夹角公式，即可求解．
本题考查向量法求解线面平行问题，向量法求解面面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．